汪淑蘭，黃賢通

(贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州　341000)

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一類矩陣的三特征對(duì)逆二次特征問題* 1

汪淑蘭，黃賢通

(贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州341000)

摘要：研究基于三特征對(duì)的逆二次特征問題，給出問題解存在的條件，并且求出有解存在的條件下解的表達(dá)式，給出算例并證明理論的正確性.

關(guān)鍵詞：特征值；特征向量； 特征對(duì)；逆二次特征問題

二次特征問題，是指已知矩陣三元組(M,C,K)，求數(shù)λ和向量x滿足Q(λ)x=0，這里Q(λ)=λ2M+λC+K，此時(shí)稱滿足detQ(λ)=0的λ為二次特征值，滿足Q(λ)x=0的x稱為對(duì)應(yīng)于λ的特征向量，稱(λ,x)為特征對(duì).這類問題來源于文獻(xiàn)[1]帶阻尼的彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)(此時(shí),M對(duì)應(yīng)質(zhì)量矩陣,C對(duì)應(yīng)阻尼陣,K對(duì)應(yīng)剛度矩陣) 和文獻(xiàn)[2]二階四網(wǎng)孔電路系統(tǒng)(此時(shí),M對(duì)應(yīng)電感矩陣,C對(duì)應(yīng)電阻陣,K對(duì)應(yīng)電容矩陣).如圖1所示.

圖1

圖1中四網(wǎng)孔電路中Ui是電壓，Ii是電流，Ri是電阻，Li是電感，Ci是電容.

逆二次特征問題，是指根據(jù)矩陣三元組(M,C,K)的部分信息，尋找M、C、K的全部信息，使得具有事先給定的特征值，或具有事先給定的特征對(duì)，前者被稱為逆二次特征值問題，后者被稱為逆二次特征對(duì)問題.文獻(xiàn)[3-7]中探究了逆二次特征問題，當(dāng)給定信息不同時(shí)， 使得滿足給定條件以達(dá)到對(duì)電路的設(shè)計(jì).本文以二階電路系統(tǒng)中的四網(wǎng)孔電路的設(shè)計(jì)為背景，研究了三特征對(duì)的逆二次特征值問題：

問題P已知矩陣K∈R4×4中的d3，對(duì)于給定的特征值λ,μ,γ，以及對(duì)應(yīng)的特征向量x=(x1x2x3x4)′，y=(y1y2y3y4)′，z=(z1z2z3z4)′，求矩陣M、矩陣C以及矩陣K中的d2,d4，使得下面的式子是成立的：Q(λ)x=0，Q(μ)y=0，Q(γ)z=0. 其中

1問題的解

假設(shè)x=(x1x2x3x4)′，y=(y1y2y3y4)′，z=(z1z2z3z4)′，對(duì)于方程的解相當(dāng)于聯(lián)立：

(1)

求解出l2,l3,l4,R1,R2,R3,R4,d2,d4，構(gòu)造出M、C、K. 可以將問題P的解按下述策略求得：

為了求解問題，P-1引入記號(hào):

定理1對(duì)于問題P-1有唯一解的條件：當(dāng)D≠0時(shí)，方程有唯一解，且解的表達(dá)式為l4=D-1D1，R4=D-1D2，d4=D-1D3.

證明對(duì)于問題P-1中矩陣方程有唯一解的條件為系數(shù)矩陣是滿秩矩陣.因?yàn)橄禂?shù)矩陣的行列式值D≠0，系數(shù)矩陣必是滿秩矩陣,方程必有唯一解.根據(jù)克萊默法則得到解的表達(dá)式為： l4=D-1D1，R4=D-1D2，d4=D-1D3.

為了求解問題P-2，引入記號(hào):

定理2對(duì)于問題P-2有唯一解的條件：當(dāng)E≠0時(shí)，方程有唯一解，且解的表達(dá)式為l3=E-1E1，R2=E-1E2，R3=E-1E3.

證明對(duì)于問題P-2中矩陣方程有唯一解的條件為系數(shù)矩陣是滿秩矩陣.因?yàn)橄禂?shù)矩陣的行列式值E≠0，系數(shù)矩陣必為滿秩矩陣，方程也必有唯一解.根據(jù)克萊默法則得到解的表達(dá)式為：l3=E-1E1，R2=E-1E2，R3=E-1E3. 為了求解問題P-3，引入記號(hào):

定理3對(duì)于問題P-3有唯一解的條件是：F≠0,H≠0,且滿足F-1F1=H-1H1,F-1F2=H-1H2，且解的表達(dá)式為l2=F-1F1，d2=F-1F2.

由方程組可以得到：l2=F-1F1，l2=H-1H1，所以只有滿足F-1F1=H-1H1，方程組中l(wèi)2才有解. 另外因?yàn)閐2=F-1F2，d2=H-1H2,所以只有滿足F-1F2=H-1H2，方程組d2才有解. 故得到解的表達(dá)式為：l2=F-1F1，d2=F-1F2.

定理4對(duì)于問題P-4有唯一解的條件是：M≠0,N≠0,P≠0,M1M-1=N1N-1=P1P-1，解得表達(dá)式為：R1=M1M-1.

證明因?yàn)镽4,l2已求出，所以方程轉(zhuǎn)化為求下列方程組中的未知數(shù)R1：

引入記號(hào):

(2)

(3)

(4)

由(2)可知，要使方程有解，系數(shù)不能為零，即M≠0，得到R1=M1M-1；

同樣由(3)(4)得到N≠0,P≠0，并且得到R1=N1N-1，R1=P1P-1.因?yàn)镽1是同一個(gè)，所以M1M-1=N1N-1=P1P-1.則解得表達(dá)式為：R1=M1M-1.

2數(shù)值算例

例1已知l2=l3=l4=2，R1=R2=R3=R4=1,d2=d3=d4=1，

試求三元數(shù)組(M,C,K)的特征值和特征向量.

解用MATLAB數(shù)學(xué)軟件計(jì)算出(M,C,K)的特征值和特征向量分別如下：

特征值： λ1=0，λ2、3=-0.251 996 16±0.621 419 06i，λ4、5=-0.260 802 89±1.029 598 85i,

λ6、7=-0.403 867 61±0.034 288 73i

特征向量：

例2給出d3=1，三個(gè)特征值相應(yīng)的特征向量：λ=-0.251 996 2+0.621 419 1i, μ=-0.260 802 9+1.029 598 8i,γ=-0.403 867 6+0.034 288 7i.

求l2,l3,l4,R1,R2,R3,R4,d2,d4，從而構(gòu)造出(M,C,K)，滿足下面的形式：

解因?yàn)閐3=1根據(jù)定理并運(yùn)用MATLAB數(shù)學(xué)軟件計(jì)算可得：

通過求解問題P-1：得l4=D-1D1=2.000 000 00-0.000 000 06i,R4=D-1D2=0.999 999 97-0.000 000 00i,d4=D-1D3=1.000 000 00-0.000 000 02i.

通過求解問題P-2：得l3=E-1E1=2.000 000 00-0.000 000 03i,R2=E-1E2=0.999 999 99-0.000 000 02i,R3=E-1E3=1.000 000 00+0.000 000 00i.

通過求解問題P-3：得l2=F-1F1=1.999 999 99-0.000 000 01i,d2=F-1F2=0.999 999 98-0.000 000 03i.

通過求解問題P-4：得R1=M1M-1=0.999 999 93-0.000 000 03i.

參考文獻(xiàn)：

[1]王正盛.阻尼彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中的逆二次特征問題[J].高等學(xué)校計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005,27(3)：217-224.

[2]Moody.T.Chu, GENEH GlouB. Inverse Eigenvalue Problems：Algorithms,and Ap-plications[M].Oxford:Oxford University Press,2005:62-164.

[3]汪淑蘭，黃賢通.矩陣二次特征問題在四網(wǎng)孔電路分析中的應(yīng)用[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,(6)：7-1.

[4]嚴(yán)深海.雙特征值約束下的兩類逆二次特征值問題[J].江西理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,33:88-92.

[5]黃賢通.雙復(fù)特征值約束下的逆二次特征問題[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2015,(32):39-49.

[6]嚴(yán)深海,黃賢通.二階電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一類逆二次特征問題[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,(33)：10-14.

[7]黃賢通,嚴(yán)深海.一類特殊結(jié)構(gòu)對(duì)稱矩陣三元組的逆二次特征問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展，2012,(1):18-27.

* 收稿日期：2016-02-01

DOI：10.13698/j.cnki.cn36-1037/c.2016.03.004

基金項(xiàng)目：中央財(cái)政支持地方高校發(fā)展專項(xiàng)基金項(xiàng)目；贛南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新專項(xiàng)資金項(xiàng)目(YCX14B003)

作者簡(jiǎn)介：汪淑蘭(1989-)，女，贛南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向：代數(shù)理論及其應(yīng)用；黃賢通，男，贛南師范學(xué)院與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，研究方向：矩陣?yán)碚摷捌涮卣鞣磫栴}.

中圖分類號(hào)：O302

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-8332(2016)03-0014-04

The Quadratic Inverse Eigen-Problem for Three Eigenpairs about a kind of Matrix

WANG Shulan, HUANG Xiantong

(SchoolofMathematics&ComputerScience,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

Abstract:The paper studies the Quadratic Inverse Eigen-Problem basded on the three eigenpairs.The condition about existence of the solution was given and the expression under the condition of solution existence is obtained. The numerical experiment has been showed that the theoretical is correct.

Key words:eigenvalues; eigenvectors; eigenpairs; Quadratic Inverse Eigen-Problem

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20160510.1213.030.html