□顧　健

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認知負荷視閾下小學數(shù)學數(shù)量關系的教學探究

□顧健

【摘要】我們習慣于以一個知識點、一個例題、一組習題方式“勻速”進行數(shù)量關系的教學。結果，有的學生“不識廬山真面目”，有的學生能夠“柳暗花明又一村”。本文就小學數(shù)量關系教學中暴露出來的一些“癥狀”，試圖以“認知負荷”視角探尋解決的三個策略：重組形式，重構教學，化“負”為“正”；優(yōu)化樣例，優(yōu)活媒介，化“難”為“易”；整合內(nèi)容，統(tǒng)合結構，化“零”為“整”。

【關鍵詞】數(shù)量關系；認知負荷；教學策略

孔凡哲教授認為：數(shù)量關系是數(shù)學研究的核心內(nèi)容之一。學生對數(shù)量關系的理解和運用水平在一定意義上已然成為衡量數(shù)學學習水平的試金石，教材不專門安排數(shù)量關系的教學，而是將其滲透在數(shù)據(jù)運算的教學中，如何促進學生對數(shù)量關系的意義理解？如何溝通看似分散、孤立的數(shù)量關系并內(nèi)化為結構模型？這些問題都能用認知負荷理論做出很好的解釋。小學年齡階段的學生，思維認知特點逐漸從具體運算階段向形式運算階段過渡，相應階段的認知策略尚未完全建立，認知負荷容易超出認知總量。這就要求教師在教學中適度減輕認知負擔來破解教學中的難題。當然，這只是淺層理解，認知負荷絕不是一“減”了之，適當時候還需要增加認知負荷。

一、意蘊解讀：認知負荷的內(nèi)涵詮釋及價值探尋

1.認知負荷的內(nèi)涵詮釋

通常認知負荷被分為三類：內(nèi)在、外在和關聯(lián)認知負荷。內(nèi)在認知負荷是由學習內(nèi)容的難度水平導致的負荷。學習內(nèi)容的難易程度，反映在它包含的信息數(shù)量及這些信息間的關聯(lián)度。如“3+3=”和“3×3+2÷3=”的認知難度就不同。

外在認知負荷并不是學生學習過程中所必須經(jīng)歷的過程，很多時候是一種無效認知負荷，主要是由教學設計不當與材料呈現(xiàn)缺乏結構化造成的。比如，單純的文字敘述比“文字+圖片”的形式帶來更高的認知負荷。所以，形式的變化與結構的變換可以實現(xiàn)外在認知負荷的調(diào)節(jié)。

關聯(lián)認知負荷會給學生認知帶來一定的負擔，它是自我調(diào)節(jié)、監(jiān)控和分配認知資源完成相應認知任務的過程，不會阻礙學生的學習，反而能促進學生的學習進程。如簡單的乘法意義模型建立“3×4”，教材呈現(xiàn)了3個4相加和4個3相加，將連加模型與乘法模型溝通，學生頭腦中的乘法模型并不完整。這時可以增加呈現(xiàn)矩陣模型與數(shù)軸模型，學生圖式的建構就更為完美。

2.認知負荷的價值探尋

基于這樣的理論研究基礎，在小學數(shù)學數(shù)量關系的教學中認知負荷理論有怎樣的獨特價值呢？

首先，重組學習材料，優(yōu)化內(nèi)在認知負荷。學習材料的數(shù)量、質(zhì)量及其相互間的交互、融合程度是學習材料的固有屬性，而學習者已有的知識儲備是學習者個體所獨有的既存事實，這二者都不會輕易地發(fā)生改變，所以，對學習內(nèi)容進行重新組織可以從一定程度上優(yōu)化內(nèi)在認知負荷。

其次，改變呈現(xiàn)方式，減弱外在認知負荷。呈現(xiàn)方式越合理，越符合學習者的認知與心智發(fā)展水平，學習者需要分配的注意就越少，產(chǎn)生的外在認知負荷越低，越有利于學習。

再次，促進圖式構建，增加相關認知負荷。圖式有助于解釋為什么背景知識和它在記憶中組織的方式對我們學習新知識特別重要，它能構建信息之間的聯(lián)系，為學習新知提供更大的空間。

二、課堂審視：數(shù)量關系教學中的現(xiàn)實掃描及理性剖析

教材對數(shù)量關系的教學是以一個知識點、一個例題、一組練習方式進行編排，我們也習慣以這樣的“勻速運動”

1.類型多樣——兒童相見不相識

小學數(shù)學量關系包括簡單數(shù)量關系、復合數(shù)量關系及特殊數(shù)量關系。簡單數(shù)量關系是以加、減、乘、除四則運算應用到實際問題中形成的四種數(shù)量關系，即部總關系、相差關系、倍數(shù)關系和份總關系。所謂復合數(shù)量關系是四種基本數(shù)量關系經(jīng)過交錯組合而成的復雜數(shù)量關系，它是一個從簡單到復雜的變化過程。多樣的類型加上不同的言語表述方式，給有限的認知容量帶來沖擊，學生沒有相應的認知資源分配策略，造成認知負荷的極大負擔。

2.結構復雜——亂花漸欲迷人眼

數(shù)量關系的表述依賴于文字的呈現(xiàn)與組織，文字組織的多樣性就使數(shù)量關系呈現(xiàn)復雜的結構。以下面兩種表述為例，第一種：足球有100只，籃球是足球的3倍多13只，籃球有多少只？第二種：足球有100只，足球是籃球的3倍多13只，籃球有多少只？兩種表述看似差別不大，但對智力的挑戰(zhàn)截然不同。第二種呈現(xiàn)方式是對第一種的逆向變換，學生需要借助正確的認知策略分析數(shù)量關系。另外，表述形式中出現(xiàn)的關鍵性詞語，如：增加、增加到等詞語意義的辨別給識別數(shù)量關系人為增加了不必要的認知負荷，造成認知負荷的超載。

三、路徑探尋：遵循認知負荷規(guī)律，催生教學有效策略

認知負荷理論被引入數(shù)量關系的教學中最為核心的是把握認知負荷的分類，可以從學習材料的結構性、教學設計的優(yōu)化等方面有針對性的減少內(nèi)在、外在認知負荷。發(fā)展和完善圖式的構建，增加有關的認知負荷。

1.重組形式，重構教學，化“負”為“正”

內(nèi)在認知負荷就其內(nèi)在固有本質(zhì)屬性而言，確是難以改變。但是，可以圍繞學生原有知識經(jīng)驗對其內(nèi)容進行形式重組，結構重構。最終，確定更為合理的內(nèi)容與方式進行教學。

（1）以“形變”為思維路徑，識別“序”的架構。數(shù)量關系內(nèi)容的表述形式是認知負荷產(chǎn)生的主要來源。改變或重組語言文字的表達方式，就可以減輕內(nèi)在認知負荷。學生根據(jù)大量的具體情景通過歸納提煉和概括抽象出數(shù)量關系，教學中為了體現(xiàn)情境描述的完整性，內(nèi)容的表述往往出現(xiàn)專業(yè)術語或過多的無關信息。殊不知，對這些專業(yè)術語的意義解讀和無關信息的分析都需要占用一定的認知資源，從而導致認知負荷的增加。

“國家游泳中心又稱為“水立方”，設計中運用了泡沫理論，外墻建筑部分有3000個不規(guī)則的泡泡氣枕，整個外墻表面覆蓋面積達到11萬平方米，比德國世界杯安聯(lián)球場的外墻表面覆蓋面積還要大?！八⒎健笨傆娩摿窟_6900噸，每平方米用鋼量僅120千克）、最大跨度有130米。相鄰的鳥巢用鋼量達到了20000噸。相比之下，“水立方”顯然更加節(jié)省能源。⑴“水立方”的總用鋼量比“鳥巢”的總用鋼量少幾分之幾？⑵“水立方”比安聯(lián)球場外墻表面覆蓋面積多多少萬平方米？”

這是一道關于倍數(shù)和相差數(shù)量關系的習題教學，學生普遍反映反復閱讀多遍后才找準數(shù)量關系，造成困難的原因是信息量大、對專業(yè)術語缺乏感性認識，要求有很高的自我認知監(jiān)控能力，作為一般了解的信息需要調(diào)用部分認知資源，影響了對數(shù)量之間關系的把握和提煉。題干的表述可以作如下調(diào)整：

國家游泳中心又被稱為“水立方”，建筑外墻表面覆蓋面積達到11萬平方米，比德國安聯(lián)球場的外墻表面覆蓋面積還要大。“水立方”建筑的用鋼量為6900噸，相鄰的鳥巢用鋼量達到了20000噸。

這里的數(shù)量關系并不復雜，“水立方”“鳥巢”“安聯(lián)球場”都是一般了解的背景知識，屬于相互干擾的信息源。我們可以運用信息臨近原則，重新調(diào)整和篩選，使信息的表述符合學生的思維順序，讓認知資源集中在建立數(shù)量關系。

學校讀書節(jié)推薦閱讀《窗邊的小豆豆》，李悅原計劃25天讀完，實際比計劃多用了6天，原計劃每天讀12頁，實際每天讀幾頁？

學校讀書節(jié)推薦閱讀《窗邊的小豆豆》，李悅原計劃每天讀12頁，25天讀完，實際比計劃多用了6天，實際每天讀幾頁？

很顯然，后面一道的信息排列要求先求出總量，再解決每份數(shù)，屬于典型的歸總關系結構。前兩個信息滿足“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的基本結構，后兩個信息是“較小量+相差量=較大量”的結構，學生可以依據(jù)信息順序探尋解決路徑。

（2）以“聯(lián)系”為思維路徑，洞察“聯(lián)”的因果。學生的原有知識儲備具有普遍性和特殊性。在相同年齡、相同年級和一定區(qū)域的學生有著較為相似的心理特征與知識儲備；而對于學生個體而言，各自又有著獨特的心理規(guī)律與知識背景。教師對這些應該了如指掌。

在神奇的計算機世界里用min（a，b）表示a、b兩數(shù)中的較小者，而用max（a，b）來表示a、b兩數(shù)中的較大者，例如min（4，5）=4，max（3，7）=7。（這兩個新符號的其他運算規(guī)則與我們小學所學四則混合運算規(guī)則相同），請計算：min（2015，10）×max（20.15，8）。

這道題將簡單的倍數(shù)關系與定義新運算相結合，教師可以讓學生通過自我解釋，暴露知識經(jīng)驗，進而找到解決的策略。

2.優(yōu)化樣例，優(yōu)活媒介，化“難”為“易”

教學設計是造成學生外在認知負荷的主要原因，學習材料的呈現(xiàn)、媒體的運用、典型樣例等越符合學生的認知和心理水平，學生需要分配的注意就越少，外在認知負荷就會相應降低。

（1）依托內(nèi)容，“改一點”削弱外在認知負荷。依托原有問題，更換其中的單個條件，以系列化的方式將同一問題情景以題組形式呈現(xiàn)，這樣可以幫助學生降低因加工不同問題情境而調(diào)動的認知資源，就可以將更多的認知資源集中指向數(shù)量關系的分析。以部總關系的教學為例，簡單問題是“工人種松樹40棵，種柏樹80棵，種柏樹多少棵？”如果按照相差關系進行變換，可以把松樹這個條件變換為較小量，即“工人種柏樹80棵，種松樹比柏樹少40棵，種松樹多少棵？”可以通過“較大量-相差量=較小量”獲得結果；也可以把柏樹這個條件變換為較大量“工人種松樹40棵，柏樹比松樹多種40棵，種柏樹多少棵？”可以通過“較小量+相差量=較大量”獲得結果。這樣多角度的變換過程可以讓學生很好地同化數(shù)量關系間的結構，在同一情境中數(shù)量關系的表達以題組的方式出現(xiàn)，跳出情景本身，在比較、分析的過程中迅速捕捉條件之間的關系。

（2）巧借媒介，“添一點”減少外在認知負荷。心理學家研究表明：思維過程中視覺信息和聽覺信息的獲得與加工是分離的，兩種信息獲取的方式對內(nèi)容的理解形成相互補償。小學生以具象思維為主，單純依靠語言或符號的抽象特征，會使部分認知處于閑置狀態(tài)。如行程問題數(shù)量關系非常復雜，學生在解決過程中困惑較多，在日常經(jīng)驗中“同時、相向和相遇”并不具備典型性，但他們之間又有萬變不離其宗的內(nèi)在關系。理解出發(fā)地點、運動方向、運動時間和運動結果四大要素是理順數(shù)量關系的關鍵所在。

釣魚島是我國的固有領土，中國海監(jiān)船51號和66號在釣魚島海域例行維權巡航。某日，海監(jiān)船51號和海監(jiān)船66號同時從東西兩海域相向而行，海監(jiān)51號每小時行36海里，海監(jiān)66號每小時行45海里。兩船在距中點27海里處相遇。兩船出發(fā)地之間相距多少海里？

通過媒體設計動態(tài)直觀的演示理解四個要素的發(fā)生、發(fā)展過程，或借助實物輔以操作、體驗，形成豐富的圖像聯(lián)系來彌補生活經(jīng)驗的缺失，這樣會大大減輕外在認知負荷，騰出更多的認知資源幫助學生建構數(shù)量關系。

（3）精選樣例，“換一點”化解外在認知負荷。典型樣例能清晰呈現(xiàn)解決問題的一般程序，使得只能會意不能言傳的“緘默”知識在自我解釋獲得，有助于學生對數(shù)量關系學習的遷移。以部總關系的兩步復合數(shù)量關系問題為例，首先呈現(xiàn)問題：“一年級有學生100人，二年級有學生150人，兩個年級共有學生多少人？”這個問題中的數(shù)量關系是簡單的部總關系。按照部總關系把二年級學生人數(shù)變化成為兩個部分量，即一年級有學生100人，二年級男生70人，女生有80人，兩個年級共有學生多少人？這個問題就由兩個部總關系復合而成。學生在先前已經(jīng)掌握了簡單的部總關系，能有這樣的樣例示范過程，模仿解決問題的方法與結構。對于更為復雜的相差關系與部總關系復合而成的數(shù)量關系：“二年級有150人，一年級比二年級少50人，兩個年級一共多少人？”也能在自我解釋、教師解釋的過程中逐漸澄明。

3.整合內(nèi)容，統(tǒng)合結構，化“零”為“整”

總體認知負荷不超載的情況下，增加關聯(lián)認知負荷有助于學生提升數(shù)量關系建構與遷移的能力。也就是將簡單的數(shù)量關系信息以網(wǎng)狀形式組成，形成關聯(lián)不斷豐富的圖式，以模塊形式儲存，有效克服認知負荷的限制。

（1）歸納類型，搭建框架——化“點狀”為“網(wǎng)狀”。

隨著學生對數(shù)量關系的不斷體驗和累積，概括和抽象出數(shù)量關系是學生感性認識上升到理性認識的必然選擇。數(shù)量關系的類型化能幫學生激活原有圖式，進一步理解上位的數(shù)量關系。如通過“表內(nèi)乘、除法”的學習后，學生已經(jīng)能夠正確識別份總關系的表達：“總量÷份數(shù)=每份數(shù)、總量÷每份數(shù)=份數(shù)、每份數(shù)×份數(shù)=總量”，借助這三者間的關系，舉一反三地抽象出一些常見的數(shù)量關系，如“單價、數(shù)量與總價；工作時間、工作效率與工作總量”等，而這些數(shù)量關系的獲得必須經(jīng)歷歸納、提煉的過程，這樣的數(shù)量關系以多元表征的方式儲存于認知空間，遇到差異性關系表達，就能更為主動、靈活地選擇。

（2）構建圖式，類比簡化——化“粗疏”為“精細”?？档略f，“圖式是潛藏在人類心靈深處”的一種技術，一種技巧”。具體數(shù)量關系紛繁多變，不宜儲存，不宜提取。不同圖式的建立有助于把問題的基本結構存儲于大腦，并在不同的情境中加以識別、遷移，結構化程度越高，儲存和提取的效果越接近自動化水平，這樣在形成數(shù)量關系時就不需要占用太多的認知空間。

如，幼兒園購進12箱迷你南瓜，每箱24個，一共多少個？數(shù)量關系很簡單，在算12×24時也只需要激活兩位數(shù)乘一位數(shù)的圖式。如果引導學生借助兩位數(shù)乘一位數(shù)的知識經(jīng)驗進行解答，學生就能根據(jù)數(shù)量關系的意義激活連乘（12×4×6）、乘加混合（24×10+24×2）和連加的圖式，得出不同的計算方法。在基本圖式的指引下，縮減了識記的數(shù)量單位，減輕了記憶負擔。

（3）認知監(jiān)控，通達未知——化“被動”為“主動”。

元認知是個體對自身認知加工過程的意識和控制。學生自我認知監(jiān)控意識過程勢必會占據(jù)一定的認知資源。但是，良好的認知策略一旦達到自動化水平，就會在類似問題中空出大量的認知資源。元認知監(jiān)控不能進行獨立教學，它滲透在學習的每個過程，只要把握好恰當?shù)臅r機，學生就能充分體驗“回頭看”即分析、計劃、執(zhí)行、反思在尋找和理解數(shù)量關系過程中的重要性。如，在2個同樣的大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是100個。每個大盒比每個小盒多裝8個，每個大盒和小盒各裝多少個？很顯然，兩種不同的假設過程比較呈現(xiàn)，能更好地幫助學生理解相差關系問題的結構特征。雖然假設的方法不同，但是盒子的數(shù)量不變，總和發(fā)生改變，這與倍數(shù)關系的問題結構不同。這樣的呈現(xiàn)方式和辨析過程，能讓學生更好地體悟認知監(jiān)控的優(yōu)點。

綜上所述，由于認知容量有限，思維過程中很容易因負擔過重而成為進一步加工信息的瓶頸。在教學中，我們可以分析認知負荷的來源及構成，發(fā)現(xiàn)學生學習過程中的認知障礙，給出相應的策略，進行更為有效的教學與設計。

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（編輯：張婕）

中圖分類號：G623.5

文獻標識碼：A

文章編號：1671-0568（2016）10-0057-03

作者簡介：顧健，江蘇淮陰師范學院第一附屬小學教師。方式進行教學。有的學生“不識廬山真面目”，屢屢挫??；有的學生“中了設計的埋伏”，掉入陷阱；當然，也有學生能夠“柳暗花明又一村”，只可惜能達到這樣境界的太少。從認知負荷的角度來講，造成類似情況的原因主要有以下兩點。