程彤霖

(江西省九江市永修縣第一中學(xué)，九江　330304)

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談立體幾何教學(xué)中邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

程彤霖

(江西省九江市永修縣第一中學(xué)，九江330304)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹．邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)．在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)框架；能形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流能力．

立體幾何邏輯推理核心素養(yǎng)教學(xué)培養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需具備的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)，能適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的需要．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的．它包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析．

這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既獨(dú)立，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體．它們幾乎都與立體幾何的教學(xué)直接或間接相關(guān)，其中與符號(hào)表示、轉(zhuǎn)化思想、歸納類比、演繹證明、運(yùn)算求解、反思與建構(gòu)等直接相關(guān)．因此，通過立體幾何的教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，具有廣泛的意義．下面筆者就從幾個(gè)方面淺談立體幾何教學(xué)中學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

一、符號(hào)表示方面

羅素說過，數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯．高中立體幾何學(xué)習(xí)中的點(diǎn)、線、面、體都是用圖形和符號(hào)呈現(xiàn)出來的，對(duì)所研究的立體對(duì)象按照“幾何模型—圖形—文字—符號(hào)”的程序進(jìn)行的．學(xué)習(xí)中要學(xué)會(huì)將抽象的符號(hào)與直觀圖形聯(lián)系起來，讀懂符號(hào)并使用符號(hào)，了解文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言這三種語(yǔ)言的互譯．在立體幾何的教學(xué)中，要經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生用三種語(yǔ)言來表示所學(xué)的定理、公理、定義等．如在教學(xué)中，我們可以用類似表1這樣的方式來引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)．

學(xué)生通過這樣的訓(xùn)練后，無論是空間觀念，還是對(duì)定理的理解與記憶都得到了較大的提高，同時(shí)對(duì)證明和規(guī)范答題也有幫助．在解決用文字語(yǔ)言表達(dá)的數(shù)學(xué)練習(xí)題中，首先就必須把文字語(yǔ)言翻譯成符號(hào)語(yǔ)言，有時(shí)還

表1

需要借助圖形才能正確理解題意．因此，在立體幾何教學(xué)中，教師要注重訓(xùn)練學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言來表達(dá)數(shù)學(xué)信息，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)、規(guī)范的邏輯推理核心素養(yǎng)．

二、轉(zhuǎn)化思想方面

轉(zhuǎn)化思想是一個(gè)極其重要的數(shù)學(xué)思想，在立體幾何中這一思想顯得尤為重要，它是學(xué)好本部分內(nèi)容的關(guān)鍵所在．本部分內(nèi)容的轉(zhuǎn)化思想主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面．

1．文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的互相轉(zhuǎn)化．本部分內(nèi)容出現(xiàn)的定理和性質(zhì)都是以文字形式給出的，證明之前必須先把它們轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，再轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，這是一種學(xué)習(xí)立體幾何的基本功訓(xùn)練，不可等閑視之．

2．空間問題與平面問題的互相轉(zhuǎn)化．處理立體幾何問題，往往要把它轉(zhuǎn)化為平面問題來解決．例如通過截面、展開、射影等手段，將空間中分散的條件集中到同一平面上來．

3．“線線”“線面”“面面”之間的互相轉(zhuǎn)化．立體幾何問題的有關(guān)證明中，“面面垂直”通常轉(zhuǎn)化為“線面垂直”，而“線面垂直”通常轉(zhuǎn)化為“線線垂直”；“二面角”和“線面角”通常轉(zhuǎn)化為“線線角”，“線面距離”“面面距離”通常轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)面距離”．在立體幾何教學(xué)中，要經(jīng)常滲透“轉(zhuǎn)化思想”，在教師潛移默化的訓(xùn)練下，學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”能力必將得到提高，從而使他們?cè)诓恢挥X中提高邏輯推理核心素養(yǎng)．

三、歸納類比方面

歸納就是以特殊性知識(shí)為前提，推出一般性知識(shí)結(jié)論的推理方法．類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象在某些方面的相同或相似，推出它們?cè)谄渌矫娴南嗤蛳嗨频囊环N推理方法．立體幾何教學(xué)中，要加強(qiáng)變式訓(xùn)練，練習(xí)要講究科學(xué)性、有效性，由淺入深、逐步遞進(jìn)，構(gòu)造合理的序列．同時(shí)，練習(xí)還要有一定的靈活性，并注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律、掌握學(xué)習(xí)方法和思維方法，這樣才能使學(xué)生在千變?nèi)f化的問題中應(yīng)付自如．?dāng)?shù)學(xué)題目雖然多樣化，但其規(guī)律和類型都是有限的．引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解題規(guī)律，用規(guī)律指導(dǎo)練習(xí)是提高學(xué)習(xí)質(zhì)量、減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的根本途徑．立體幾何題目繁多，常用的數(shù)學(xué)思想方法有平移、翻折、割補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)、借用、添線、替代、假設(shè)等，在相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)后，讓學(xué)生練習(xí)、應(yīng)用這些基本的解題方法，以提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力．例如：判斷空間直線的位置關(guān)系，最佳方法是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形，它具有直觀和易于判斷的優(yōu)點(diǎn)；遇到證明點(diǎn)或面共線的問題，通常是證明點(diǎn)在同一條直線上；在解翻折問題時(shí)，要注意各個(gè)量在折前與折后的變化與否；有三條相交直線兩兩互相垂直，可以考慮建立空間直角坐標(biāo)系，或者想到長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，等等．

另外教學(xué)中可以把空間中的位置關(guān)系與平面中的位置關(guān)系進(jìn)行類比；空間的距離與平面的距離進(jìn)行類比；空間的角與平面的角進(jìn)行類比．講授新知識(shí)的同時(shí)，回顧與舊知識(shí)的聯(lián)系，創(chuàng)造條件進(jìn)行類比．教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)和分析類比的邏輯推理核心素養(yǎng)．

四、演繹證明方面

演繹證明是運(yùn)用演繹推理所作的證明．立體幾何證明是學(xué)習(xí)立體幾何必不可少的內(nèi)容之一．它對(duì)邏輯思維的訓(xùn)練和發(fā)展有著相當(dāng)重要的作用．但是很多學(xué)生有“證明恐懼癥”，存在有證明思路卻無法用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表達(dá)或證明，證明過程煩瑣不規(guī)范等問題．教師在教學(xué)中，首先對(duì)定理的教學(xué)要有推理證明的過程，不能直接給出讓學(xué)生被動(dòng)接受．其次對(duì)例題的求解要做必要的科學(xué)、規(guī)范、簡(jiǎn)潔、邏輯嚴(yán)密的書寫示范．同時(shí)要求學(xué)生對(duì)“線線平行”“線面平行”“面面平行” 及“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”的相互推導(dǎo)做到爛熟于心．結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的解題過程，使證明問題得到解決．

五、運(yùn)算求解方面

運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要求培養(yǎng)的重要能力，也是每年高考必定考查的一種能力．在立體幾何中，集中體現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算求解的內(nèi)容就是用向量法解立體幾何問題．這種方法有別于傳統(tǒng)的純幾何方法，是將幾何元素用向量表示，進(jìn)行向量運(yùn)算，再回歸到幾何問題中．

學(xué)生用向量法解決立體幾何問題時(shí)，求解的方法是通性通法的，解題思路很明確．常見的問題是方法都會(huì)，一算就錯(cuò)．經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)坐標(biāo)運(yùn)算錯(cuò)誤、法向量求解錯(cuò)誤、代入計(jì)算錯(cuò)誤等．教師在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生解題時(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)和專注，建立不同的坐標(biāo)系求解同一問題，運(yùn)用向量法和傳統(tǒng)法求解同一問題，不斷提高學(xué)生的運(yùn)算速度和運(yùn)算的正確率．

六、反思與建構(gòu)方面

反思是對(duì)自己的思維過程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的檢驗(yàn)過程，是自我喚醒的過程，它是學(xué)習(xí)中不可缺少的重要環(huán)節(jié)．建構(gòu)主義也叫結(jié)構(gòu)主義，建構(gòu)主義認(rèn)為，由主客體相互作用而形成的對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)．知識(shí)是不能簡(jiǎn)單地被傳授的，必須通過學(xué)生自身已有的經(jīng)驗(yàn)、方式和信念，以主動(dòng)、積極的建構(gòu)方式獲得．未經(jīng)反思的知識(shí)是無法融入或建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的，是一種低效的甚至無效的學(xué)習(xí)．

立體幾何與平面幾何有著密切的聯(lián)系．立體幾何中的許多定理、公式和法則都是平面幾何定理、公式、法則在空間中的推廣，處理問題的思想方法有許多相似之處，但必須注意這兩者之間又有著明顯的區(qū)別，有時(shí)平面幾何的局限性會(huì)對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一些干擾和阻礙作用，如果僅憑平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，用平面幾何的結(jié)論套用到空間中的物體，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．例如，在平面幾何中命題“若a⊥b，b⊥c，則b∥c”“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”都為真命題，但在立體幾何中未必是真命題．因此，平面幾何的定義、定理對(duì)空間圖形需要經(jīng)過證明才能應(yīng)用．在立體幾何教學(xué)中教師要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)自己的思維過程不斷地反思，總結(jié)反思之后建構(gòu)出對(duì)此問題新的認(rèn)識(shí)．

總之，在立體幾何教學(xué)中，只要我們認(rèn)真地去學(xué)習(xí)和探索，大膽科學(xué)地去實(shí)踐新課改所呈現(xiàn)的教育教學(xué)理念，有意識(shí)地從以上幾方面對(duì)學(xué)生加以點(diǎn)撥、引導(dǎo)，就一定能不斷提高學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)．

(責(zé)任編輯：李珺)