傅雪慧

中學(xué)數(shù)學(xué)中的排列組合是一類思考方式較為獨(dú)特的問題。它對分析能力要求較高，解法也非常靈活，是高考的難點之一。因此，恰當(dāng)?shù)剡x擇思考方法，對于解決排列組合問題至關(guān)重要。分類計數(shù)，分步計數(shù)兩個原理是解決排列、組合問題的基本方法，利用該兩個原理及課堂中學(xué)習(xí)的常規(guī)解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆綁法等解決某些問題總感覺較難或者解答較繁。針對該現(xiàn)象，本文列舉幾例介紹解排列組合問題的非常規(guī)解題思路。

一、列舉法

把符合條件的安排不重復(fù)、不遺漏的一一列舉出來，是最簡單、最原始但也是最基本的計數(shù)方法。教材中多次應(yīng)用到，高考中也常用枚舉法解決問題。

例1，某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方法有（ ）。

A、5種 B、6種 C、7種 D、8種

解析：根據(jù)所給選項數(shù)字較小，不難用枚舉法解決。

單片買3張，磁盤買2盒，花費(fèi)320元；單片買3張，磁盤買3盒，花費(fèi)390元；單片買3張，磁盤買4盒，花費(fèi)460元；單片買4張，磁盤買2盒，花費(fèi)380元；單片買4張，磁盤買3盒，花費(fèi)450元；單片買5張，磁盤買2盒，花費(fèi)440元；單片買6張，磁盤買2盒，花費(fèi)500元。故選購方式有7種，選A。

例2，從1到100的一百個自然數(shù)中，每次取出兩個數(shù)，使其和大于100，這樣的取法共有多少種？

解：從1到100的一百個自然數(shù)中，每次取出兩個數(shù)，其中必有一個是較小的。我們先按較小的一數(shù)枚舉，而當(dāng)較小的數(shù)取定以后，使和超過100的另一個相應(yīng)較大的數(shù)不難一一例舉，所有情況如下表：

所以共有：1+2+3+…+49+50+49+…+1=2500種不同的取法。

利用枚舉法解題，直觀性強(qiáng)，是處理排列組合問題的好方法。

二、“正難則反”

解決問題，當(dāng)正面難以解決時，不妨從反面、側(cè)面思考，順繁則逆、正難則反。

例3，有五張卡片，他們的正反面分別寫有0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？

解析：①0不能做百位，但可以作十位或個位。②0與1在同張卡片上，因此直接分類既要考慮0又要考慮1分類較復(fù)雜。于是先不考慮任何情況算出總數(shù)，然后減去0在左邊第一位的號碼即為所求。由于任取三張可以組成不同的三個數(shù)的號碼有：C³₅·2³·A³₃，其中0在左邊第一位的號碼有：c；-2。-Ai，故所求的不同三位數(shù)共有：C³₅·2³·A³₃-C²₄·2²·A²₂=432個。

例4，從1，2，3，……，1995，這1995個自然數(shù)中，取出9個互不相鄰的自然數(shù)，有多少種方法？

解析：由于符合題意的條件錯綜復(fù)雜，正面進(jìn)攻思維受阻，此時采用反面去考慮問題。

問題相當(dāng)于“9個女生不相鄰地插入站成一列橫隊的1986個男生之間（包括首尾外側(cè)），有多少種方法？”

任意相鄰2個男生之間最多站1個女生，隊伍中的男學(xué)生首尾兩側(cè)最多也可各站1個女學(xué)生，于是，這就是1987個位置中任選9個位置的組合問題，共有C⁹₁₉₈₇種方法。

三、利用映射關(guān)系解題

就是運(yùn)用集合的概念、邏輯語言、運(yùn)算、圖形來解決數(shù)學(xué)問題或非純數(shù)學(xué)問題的思想方法。

例5，圓上有10個點，每兩點連成一條線段，這些線段在圓內(nèi)最多有多少個交點？以這些交點為頂點的三角形最多有多少個？

解析：該題如果用枚舉法顯然很困難；同樣用基本極數(shù)原理先算出弦的總數(shù)，然后算出交點，在減去圓外和圓上的交點個數(shù)亦很困難，利用映射關(guān)系，化難為易。

一個交點s是由兩條線段p，q相交而得，反之，依題意，兩條在圓內(nèi)相交的線段p，q確定一個交點s，即s與（p，q）可建立一一對應(yīng)關(guān)系，兩條線段p，q分別是由圓上的兩對點A，B與C，D連接而成。故又可在（p，q）與（A，B，C，D）之間建立一一對應(yīng)關(guān)系。因此，若令M={S|題中線段的交點}，N={（A，B，C，D}110個點中，任意四個不同的點組}，則M與N中的元素構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，從而有|M|=|N|但N中元素個數(shù)顯然為C⁴₁₀=210，所以題中交點為210個。同樣的考慮，圓內(nèi)一個三角形與圓上6個點之間構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，因此，題中所求三角形的個數(shù)為C⁶₁₀=210個。

四、利用遞推關(guān)系解題

例6，有一樓梯共10級，每步只能跨上1級或2級，問要登上最后一級共有多少種走法？

解析：因為每步只能跨上1級或2級，所以最后一步可能從第9級也可能從第8級跨上第10級，向前遞推關(guān)系不變。設(shè)登上第k級有a_k種走法，顯然a₁=1，a₂=2，當(dāng)k>2時，登上第k級臺階的走法可以分兩種情況得到：從第k-1級臺階跨一級登上第k級，或從第k-2級臺階，一步跨兩級登上第k級。故當(dāng)k≥3時，有a_k=a_k-1+2_k-2。

∴a₁₀=a₉+a₈=2a₈+a₇=……=34a₂+21a₁=89

例7，把圓分成10個不相等的扇形，并且用紅、黃、藍(lán)三種顏色給扇形染色，但不允許相鄰的扇形有相同的顏色，問共有多少種染色法？

解析：前9個扇形依次染色并不難，但第10個扇形既與第九個相鄰也與第1個相鄰，這兩個扇形顏色可能相同也可能不相同，所以直接用記數(shù)原理有困難，但建立遞推關(guān)系并不難。

設(shè)將圓分成n個不相等的扇形時，滿足題設(shè)的染法有a_n種。依次記n個扇形為s₁，……s_n。顯然a₁=3，當(dāng)n=2時，先對s₁染色，有3種方法；s₁染色后再對s₂染色，有2種方法，故a₂=6，當(dāng)n≥3時，我們依次對s₁，s₂，……s_n染色。對s₁染色，有3種方法，對s₁染色后再對s₂染色有2種方法，同樣的對s₃，s₄……，s_n分別有2種方法，由乘法原理共有3·2^n-1種染色方法。但這樣做s_n與s₁有可能同色。即在3·2^n-種染色方法中包含了s_n與s₁同色的染色方法。對于s_n與s₁同色的情形，拆去s_n與s₁的邊界使s_n與s₁合并，便得到將圓分為n-1個扇形時，同色不相鄰的染色方法，這樣的情況有a_n-1種。故a_n=3·2^n-1-a_n-1（n≥3）。所以a₁₀=3·2⁹-a₉=3·2⁹-3·2⁸+a₈=3·2⁹-3·2⁸+3·2⁷-a₇=……=3.2⁹-3.2⁸+3.2⁷-3.2⁶+3.2⁵-3·2⁴+3·2³-3·2²+3.2¹=2¹⁰+2=1026。

五、利用對稱性解題

對稱是美的一種形式，對稱思想在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，挖掘數(shù)學(xué)問題中隱含的對稱性，運(yùn)用對稱思想解題，往往得到出人意料的簡捷解法。

例8，A，B，C，D，E五人站成一排，若B必須站在A的右邊（A，B可以不相鄰）的不同站法有（ ）。

A、24種 B、60種 C、90種 D、120種

解：∵B站在A的右邊與B站在A的左邊一樣多，由對稱分析得1/2A⁵₅=60種，選B。

應(yīng)用對稱性簡捷明快，給人以美的享受。

六、利用不等式（方程）組解題

在解決某些數(shù)學(xué)問題時，先設(shè)定一些未知數(shù)。然后把它們當(dāng)作已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)本身各量間的制約，列出等式，解方程即可。

例9，一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球，若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？

例10，將10個完全相同的小球放人編號為1，2，3的三個盒子內(nèi)，要求放入盒子的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法有（ ）。

A、20種 B、15種 C、14種 D、12種

解：設(shè)編號為1，2，3的三個盒子中分別放入x，y，z個小球，于是題中不同的放法即為方程：x+y+z=10，且x≥1，y≥2，z≥3的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)。令u=x-1，v=y-2，w=z-3，得u+v+w=4，所以該方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)即為所求的放法數(shù)目C⁴₄₊₃₊₁=15，故選B。

七、等價轉(zhuǎn)換、構(gòu)造模型解題

例11，馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？

解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型：在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞熄燈有C³₅種。

例12，某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？

解：等價于4人插5空模型：A⁴₅。

一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型、排隊模型、裝盒模型等，可使問題直觀解決！

八、多排問題改為直排解題

一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究。

例13，8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法？

解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有A²₄種，再排后4個位置上的特殊元素有A¹₄種，其余的5人在5個位置上任意排列有A⁵_5q種，則共有A²₄A¹₄A⁵₃種。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是知識建構(gòu)的過程，是思維訓(xùn)練的過程。本文列舉了幾種特殊的解題方法，歸納規(guī)律，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法。