徐伯華　朱鳳琴

1歷史發(fā)生法：探尋數(shù)學知識的歷史發(fā)生規(guī)律

在HPM（數(shù)學史與數(shù)學教育）研究中，歷史發(fā)生法是被廣泛應用的發(fā)生學方法。所謂發(fā)生學方法（Genetics Methodology），“是在研究自然和社會現(xiàn)象時以分析它們的起源和發(fā)展過程為基礎的一種研究方法”。發(fā)生學研究有兩種取向：一是基于歷史考查的歷史發(fā)生研究，一是基于個體觀察的個體發(fā)生研究。前者反映人類種族的認識發(fā)生，涉及的時問、區(qū)域、文化的跨度通常比較大，涉及的人物、事件及其影響通常是典型的、確定的甚至定論的，得到的結(jié)論更具有普遍性和規(guī)律性。后者反映人類個體的認識發(fā)生，時間、區(qū)域、文化的跨度通常很小，人物、事件及其影響可能是非典型的甚至是不確定的，結(jié)論更具有啟發(fā)性和代表性。不過，很多人相信“種族的發(fā)展積淀為個體的發(fā)展，歷史的過程以邏輯的形式保存在個體發(fā)生中”，這就在歷史發(fā)生和個體發(fā)生之間架起了一座橋梁。因此，通過數(shù)學史的研究，尋求數(shù)學認識的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，就能預見現(xiàn)在學生的數(shù)學認知，解決當前的數(shù)學教育問題，在很大程度上提高數(shù)學教學的效益。這種追本溯源、探索演變、尋求規(guī)律的研究方法就是歷史發(fā)生法。

理解現(xiàn)在學生的數(shù)學認知和數(shù)學學習提供了有益的思路，一經(jīng)提出就得到很多教育學家和數(shù)學教育家的支持。不過，歷史發(fā)生原理畢竟是一個認識論假設，人們對它表現(xiàn)出四種態(tài)度：

（1）相信，直接的應用。典型代表是龐加萊、F·克萊因、A·Sfard等。如A·Sfard多次指出，數(shù)學史是分析、解釋學生學習過程和學習困難的最寶貴資源，歷史發(fā)生原理在同化、創(chuàng)造一個新概念時顯得特別突出，已有的知識系統(tǒng)必須要經(jīng)歷一個完整的重建過程。還有美國學者表現(xiàn)得更堅決，“指導個體認知發(fā)展的最佳方式是讓他重溯人類的認知發(fā)展，即使知識點A在邏輯上先于知識點B，但如果B在歷史上先于A出現(xiàn)，那么我們?nèi)詰冉藼”。

（2）原則上相信，批判的應用。典型代表是皮亞杰、維果斯基、波利亞、弗賴登塔爾等。如維果斯基認為，社會文化和環(huán)境會通過不同工具的使用改變?nèi)说乃季S活動，個體發(fā)生是由種族發(fā)生和社會歷史條件共同決定的。弗賴登塔爾也清楚地指出，“我們不應該遵循發(fā)明者的足跡，而是經(jīng)過改良同時有更好地引導作用的歷史過程”，“從某種意義上說，兒童應該重蹈歷史，盡管不是實際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先己經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史”。

（3）檢驗，支持應用。自20世紀80年代開始，對歷史發(fā)生原理的實證檢驗逐漸增多，幾乎所有的檢驗結(jié)果都表明它是成立的。不過，歷史發(fā)生原理畢竟難以獲得完全的檢驗，不少人更愿意把它稱為歷史相似性原理，并支持在相似的意義下恰當?shù)亟梃b歷史。

（4）質(zhì)疑。20世紀90年代以后，質(zhì)疑的聲音時常出現(xiàn)。如A-Arcavi就對A-Sfard提出的“利用歷史作為分析代數(shù)概念教與學的工具”給予質(zhì)疑：“當年天才數(shù)學家對概念的理解過程，能幫助我們更好地了解現(xiàn)今學生的學習嗎？”。K.Brating和J.Pejlare也指出，把數(shù)學的歷史認識與學生的概念發(fā)展相提并論，會因為概念架構(gòu)不同、默認觀點不同、智力水平不同而產(chǎn)生嚴重的問題。

盡管有質(zhì)疑，大家對歷史發(fā)生原理的態(tài)度總體上還是積極的，尤其在數(shù)學史融入數(shù)學教學的研究中，正如Fauvel和Maanen所說：怎么用數(shù)學史？一方面是用數(shù)學史來了解并克服數(shù)學理解發(fā)展中的認識障礙，其中歷史發(fā)生原理下的深刻分析是必要的；另一方面是把數(shù)學史當作一面鏡子，在研究數(shù)學概念的發(fā)展中反映數(shù)學思想轉(zhuǎn)變的機制，歷史的視角與心理的視角相結(jié)合很值得重視。

運用歷史發(fā)生原理考查數(shù)學歸納法的學習過程，學生也應該經(jīng)歷從不完全歸納到直覺的完全歸納、再到演繹的完全歸納的認識路線，其中可能會遇到從不完全歸納到完全歸納的困難、從有限到無限的困難、構(gòu)建遞推步的困難、認識歸納原理的困難等，而要化解這些困難，需要讓學生很好地理解無窮的思想、遞推的思想、不完全歸納法、完全歸納法、演繹法、歸納公理。但是，從學生的心理發(fā)展水平看，歸納公理和無窮的思想具有很強的基礎性，對高中生的要求不宜太高，應把重點放在完全歸納的理解、遞推步驟的構(gòu)建和方法的適用條件上。

3歷史發(fā)生教學法：依據(jù)學生數(shù)學發(fā)生設計課堂教學

發(fā)生教學法是與公理化教學法相對的，前者注重數(shù)學知識的認識發(fā)生過程，后者注重形式演繹過程。由于人的認識總是從簡單到復雜、從具體到抽象，所以公理化教學法違背了人的認識規(guī)律。新數(shù)運動的失敗也證明公理化教學法不符合學生數(shù)學學習的實際。而發(fā)生教學法不把數(shù)學知識視為既定的結(jié)果，而是促進學生去數(shù)學發(fā)現(xiàn)，這就容易引起學生的意識活動，因此能夠提高學生的數(shù)學理解水平和數(shù)學認識能力。

教學法是對教學要素的組織方式。歷史發(fā)生教學法就是根據(jù)某個數(shù)學知識的歷史發(fā)生規(guī)律，考慮學生個體的認知過程和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通過適當?shù)慕虒W法加工，促進學生數(shù)學認知的發(fā)生發(fā)展，化解可能遇到的困難，提供有用的教學資源，設計出有助于學生數(shù)學學習的教學方案。

1963年，托普利茨出版《微積分：發(fā)生原理》，標志著“發(fā)生教學法的思想最終形成”。作者把數(shù)學史作為教學的指南，主張從數(shù)學史中獲取概念發(fā)展的關(guān)鍵方式，在樸素水平上就開始教授本質(zhì)的觀念，然后是較低水平的應用，然后是深入到背景的解釋和應用，在學生獲得概念的意義之后，再逐步增加概念的精確性和嚴密性，很好地應用了微積分的歷史發(fā)生過程和規(guī)律。

歷史發(fā)生教學法有多種形式，可以用數(shù)學史不談數(shù)學史，或者用數(shù)學史也談數(shù)學史，還可以把數(shù)學史和數(shù)學方法論、數(shù)學哲學、數(shù)學文化結(jié)合起來使用。在HPM實踐中，以下兩種模式是比較典型的：

（1）臺灣師范大學蘇意雯博士提出的三面向模式。即在認識論和自我詮釋理論指導下，把數(shù)學知識的邏輯分析、歷史分析和心理分析結(jié)合起來，通過學習單的設計和實施，使教學內(nèi)容和形式既能適應學生的認知水平和課程目標，又能提高學習興趣、增強數(shù)學體驗、發(fā)展數(shù)學能力。主要操作步驟是：①體會教科書編者、課程標準與教科書內(nèi)容；②體會古代數(shù)學家、數(shù)學知識、數(shù)學理論之精神；③考慮學生需求，編制學習單；④課堂教學。

（2）華東師范大學汪曉勤團隊提出的歷史發(fā)生原理工程化。即以Gmssman學科教學知識框架和認知的歷史發(fā)生原理為基礎，通過研讀數(shù)學史，獲得關(guān)于特定課題的學科性質(zhì)知識、學科本質(zhì)知識、課題來源及發(fā)展的知識、學生理解和誤解的知識以及數(shù)學課程與教材的知識等，再結(jié)合課堂和學生的實際，組織特定的教學策略和知識表征。主要操作步驟是：①了解所教主題的歷史；②理解該主題歷史進化的關(guān)鍵步驟；③在現(xiàn)代情境下重構(gòu)推動進化的關(guān)鍵思想或問題，使之適合介紹新知；④從易到難給出上述重構(gòu)的問題系列；⑤課堂教學。

關(guān)于數(shù)學歸納法的教學分析和設計，可參考文獻，不再贅述。