高滿屯， 李 陽， 王淑俠， 王守霞

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

一類三焦點(diǎn)曲線

高滿屯， 李 陽， 王淑俠， 王守霞

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

針對三焦點(diǎn)曲線進(jìn)行研究。首先提出一類三焦點(diǎn)曲線的概念和數(shù)學(xué)表達(dá)式，對該類三焦點(diǎn)曲線表達(dá)式的性質(zhì)進(jìn)行分析。其次，通過變化三焦點(diǎn)曲線參數(shù)，用計(jì)算機(jī)編程方法對三焦點(diǎn)曲線進(jìn)行定量化分析和形狀分析，分析和總結(jié)得到了曲線性質(zhì)和規(guī)律。最后，通過對實(shí)際物體圖像進(jìn)行處理、提取邊緣、曲線擬合等圖像處理方法獲得物體圖像的三焦點(diǎn)曲線表示，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了誤差分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明三焦點(diǎn)曲線能夠精確表示某些自然物體圖像的輪廓。

三焦點(diǎn)曲線；自然物體；圖像處理；曲線擬合；誤差分析

物體(包括三維和二維物體)的表示是計(jì)算機(jī)視覺和圖形學(xué)中最基本的問題，是對物體進(jìn)行描述、分析、設(shè)計(jì)、制造、檢測、識(shí)別、匹配和檢索的理論基礎(chǔ)。

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，可以用各種各樣的參數(shù)方程(如有理B樣條等)表示物體的曲線曲面，雖然這樣的表示法對靈活設(shè)計(jì)、分析曲線曲面具有很大的方便和優(yōu)點(diǎn)，但其不具有唯一性，即同一條曲線可以用不同的參數(shù)方程予以表示，同一條曲線分段的節(jié)點(diǎn)不同，其表示方程也不同；這樣的表示法是局部的，如有理 B樣條所具有的局部性使得工程設(shè)計(jì)更加方便、靈活，但是在物體的識(shí)別、匹配和檢索中難以使用，給實(shí)用工作帶來了困難，需探索新的曲線表示方法。三焦點(diǎn)曲線曲面是一種很好的方法。

自然界很多物體可用三焦點(diǎn)曲線曲面來進(jìn)行

唯一、整體的表示，比如天體及其運(yùn)行軌跡、動(dòng)物器官、細(xì)胞、植物果實(shí)等。圓是具有唯一焦點(diǎn)的曲線，橢圓和雙曲線是具有兩個(gè)焦點(diǎn)的曲線，人們對其的定義、幾何性質(zhì)、物理意義及其成因已有非常豐富的認(rèn)識(shí)。但人們對三焦點(diǎn)曲線曲面尚未見相關(guān)研究報(bào)道。

文獻(xiàn)[1]提出一種特殊的多焦點(diǎn)圓概念，該文實(shí)際上是采用多段圓弧連續(xù)拼接來表示橢圓和卵圓，并沒有多焦點(diǎn)曲線的本質(zhì)意義。物體輪廓線的表示、識(shí)別、匹配和檢索是計(jì)算機(jī)視覺中的一個(gè)重要問題[2]。文獻(xiàn)[3]提出一種物體特征曲線的識(shí)別方法，其采用B樣條表示和進(jìn)行匹配，特征集為曲率和撓率；文獻(xiàn)[4]提出二維物體輪廓線用B樣條曲線進(jìn)行表示和匹配以識(shí)別二維物體。在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中有些學(xué)者研究了隱式的曲線曲面表示方法[5-8]。

1 三焦點(diǎn)曲線定義和公式

三焦點(diǎn)曲線定義：三焦點(diǎn)曲線是到3個(gè)焦點(diǎn)的加權(quán)距離之和等于定長點(diǎn)的集合。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中，(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3)為3個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，r表示定長(正實(shí)數(shù))，ω1, ω2,ω3為權(quán)重(實(shí)數(shù))。為了方便表述，將權(quán)重為正值的焦點(diǎn)稱為正焦點(diǎn)，將權(quán)重為負(fù)值的焦點(diǎn)稱為負(fù)焦點(diǎn)。將焦點(diǎn)(a1,b1),···,(a3,b3)依次連接構(gòu)成一個(gè)三邊形，稱為焦點(diǎn)三邊形。

三焦點(diǎn)曲線的焦點(diǎn)構(gòu)成的圖形形狀有多種可能性，如正三角形、等腰三角形、一般三角形、一條直線、其中的兩個(gè)焦點(diǎn)重合等多種情況。三焦點(diǎn)曲線的形狀是由焦點(diǎn)構(gòu)成的三邊形形狀及其大小、定長長度和權(quán)重所決定的。

為了分析三焦點(diǎn)曲線形狀和性質(zhì)，本文通過量化焦點(diǎn)坐標(biāo)、定長和權(quán)重參數(shù)，繪制曲線圖形的方式，獲得不同情況下的三焦點(diǎn)曲線。并對得到的可視曲線圖形進(jìn)行研究，分析三焦點(diǎn)曲線的規(guī)律。

2 焦點(diǎn)曲線定量分析

研究三焦點(diǎn)曲線采用的量化方法與研究超二次曲線的方法類似，即通過改變?nèi)裹c(diǎn)曲線公式中的不同參數(shù)，包括焦點(diǎn)位置(坐標(biāo))、定長參數(shù) r和權(quán)重，得到不同的三焦點(diǎn)曲線，并分析總結(jié)三焦點(diǎn)曲線的形狀及其性質(zhì)。對參數(shù)進(jìn)行有規(guī)律的定量化改變，最終對得到的曲線形狀、規(guī)律及其變化趨勢進(jìn)行分析。通過軟件標(biāo)記焦點(diǎn)的坐標(biāo)，控制參數(shù)變化，繪制圖形。

2.1 焦點(diǎn)三邊形為正三角形

以焦點(diǎn)三邊形為正三角形為例，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下。

(1) 無負(fù)焦點(diǎn)時(shí)，限定定長和權(quán)重值，正三角形的邊不斷增大，觀察三焦點(diǎn)曲線形態(tài)的變化情況。三焦點(diǎn)曲線的公式為

類似于橢圓，該公式表示到3個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定長的點(diǎn)的集合。其中r為20，3個(gè)權(quán)重均為1。通過改變焦點(diǎn)的坐標(biāo)，改變正三角形邊長 l，控制正三角形的大小變化，得到三焦點(diǎn)曲線的形狀，如圖1所示。

分析與結(jié)論：通過繪圖實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)焦點(diǎn)三邊形為正三角形時(shí)，對應(yīng)的三焦點(diǎn)曲線始終為中心對稱圖形。①當(dāng)l/r比較小時(shí)，三焦點(diǎn)曲線類似于圓形。隨著l/r的增大，曲線逐漸變?yōu)轲z頭和寶石形。②當(dāng)l/r較大時(shí)，形成規(guī)則的中心對稱曲線。③當(dāng)邊長為10時(shí)，3個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)正好位于曲線的3個(gè)頂點(diǎn)處；當(dāng)邊長超過10時(shí)，曲線在焦點(diǎn)多邊形的內(nèi)部，并逐漸縮?。辉?l≥13后，沒有滿足條件的曲線。

(2) 有且僅有一個(gè)負(fù)焦點(diǎn)時(shí)，限定定長和權(quán)重值，正三角形的邊長不斷增大，觀察三焦點(diǎn)曲線形態(tài)的變化情況。三焦點(diǎn)曲線的公式為

實(shí)際上，該公式表示到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和與到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離之差點(diǎn)的集合，其中 r為20，通過改變焦點(diǎn)的坐標(biāo)，改變?nèi)切芜呴Ll，控制正三角形的大小不斷變化，得到三焦點(diǎn)曲線的形狀，如圖2所示。

在圖2的繪制實(shí)驗(yàn)中，3個(gè)焦點(diǎn)仍構(gòu)成正三角形，通過固定定長r(本實(shí)驗(yàn)為20個(gè)單位)和權(quán)重(兩個(gè)為1，一個(gè)為-1)，變化正三角形邊長(邊長l通過計(jì)算機(jī)模擬從2個(gè)單位逐漸增加至20 000個(gè)單位)的方式，以獲得三焦點(diǎn)曲線形狀。

圖1 限定定長和權(quán)重值，正三角形的邊不斷增大，三焦點(diǎn)曲線形狀變化

圖2 限定定長和權(quán)重值，正三角形的邊長不斷增大，三焦點(diǎn)曲線形狀變化情況

在正三角形邊長較小時(shí)，l/r較小，曲線形狀接近圓形，焦點(diǎn)三邊形在圖形的中心；隨著正三角形邊長增大，l/r增大，焦點(diǎn)三邊形逐漸向負(fù)焦點(diǎn)對應(yīng)一側(cè)的曲線偏移。該焦點(diǎn)相應(yīng)一側(cè)的曲線逐漸平緩并在l=8時(shí)接近水平；隨著l進(jìn)一步增大，負(fù)焦點(diǎn)對應(yīng)一側(cè)的曲線逐漸內(nèi)凹，曲線形成類似心形線的曲線，在 l= 10時(shí)，曲線通過上側(cè)焦點(diǎn)； l＞ 10時(shí)上側(cè)曲線進(jìn)入焦點(diǎn)多邊形；隨著l進(jìn)一步增大，曲線逐漸變?yōu)樵獙毿危划?dāng)l/r非常大時(shí)，曲線逐漸變?yōu)殚僮影晷沃钡皆卵佬?。整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程形成的三焦點(diǎn)曲線都是關(guān)于通過上側(cè)焦點(diǎn)的豎直直線的軸對稱圖形。圖 2中最后一圖給出了邊長由2到10變化時(shí)曲線的詳細(xì)對比圖。

2.2 焦點(diǎn)多邊形為等腰三角形

(1) 焦點(diǎn)多邊形為等腰三角形，且無負(fù)焦點(diǎn)時(shí)，限制定長，改變等腰三角形的高。多焦點(diǎn)曲線公式為

三角形底邊定點(diǎn)的坐標(biāo)(0,0)、(2,0)，高度H從1逐漸變?yōu)?20，利用軟件繪制曲線的變化情況，部分試驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 限制定長，改變等腰三角形的高度，三焦點(diǎn)曲線形狀變化情況(H為等腰三角形的高，括號(hào)中的數(shù)字為第3個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo))

從圖3中可以看出，當(dāng)高度較小，H/r較小時(shí)，焦點(diǎn)曲線接近圓形；隨著高度增大，H/r變大，三角形逐漸變大、變高，焦點(diǎn)曲線被沿縱向拉長，并形成上小下大的類似雞蛋的卵圓圖形；當(dāng)H/r再增大時(shí)，上方逐漸形成一個(gè)尖點(diǎn)，焦點(diǎn)曲線變?yōu)樗螤睿划?dāng)達(dá)到臨界狀態(tài)，上方焦點(diǎn)通過焦點(diǎn)曲線后，上方曲線逐漸穿過焦點(diǎn)多邊形，并形成較小的卵圓圖形；H/r進(jìn)一步增大時(shí)，卵圓圖形逐漸縮小，直至沒有滿足焦點(diǎn)曲線方程的曲線和點(diǎn)。

(2) 焦點(diǎn)多邊形為等腰三角形，且有一個(gè)負(fù)焦點(diǎn)時(shí)，限制定長，改變等腰三角形的高度。多焦點(diǎn)曲線公式為

底邊定點(diǎn)的坐標(biāo)(0,0)、(2,0)，高度H從1逐漸變?yōu)?20，利用軟件繪制曲線的變化情況，部分試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 限制定長，改變等腰三角形的高度，三焦點(diǎn)曲線形狀變化情況(H為等腰三角形的高，括號(hào)中的數(shù)字為第3個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo))

頂點(diǎn)處的焦點(diǎn)對應(yīng)焦點(diǎn)曲線公式中權(quán)重為負(fù)的項(xiàng)，從圖 4中可以看出，當(dāng)高度較小，三角形相對形狀較小，H/r較小，焦點(diǎn)曲線接近圓形；

隨著高度增大， H/r變大，三角形逐漸變大，變高，頂點(diǎn)上方的曲線變得平緩并在達(dá)到水平之后內(nèi)凹，此時(shí)曲線在三角形上方；當(dāng) H /r再增大時(shí)，上方曲線內(nèi)凹形成類似心形線的曲線，曲線穿過上方頂點(diǎn)后，上方曲線進(jìn)入焦點(diǎn)多邊形，曲線再次變平緩。試驗(yàn)中曲線均為和等腰三角形同軸的軸對稱圖形。

2.3 3個(gè)焦點(diǎn)位于一條直線上

(1) 3個(gè)焦點(diǎn)排列在一條直線上，且無負(fù)焦點(diǎn)時(shí)，固定定長，變化焦點(diǎn)間的距離，三焦點(diǎn)曲線公式為

初始焦點(diǎn)值為(0,0)，(1,0)，(20,0)定長取30，將中間的焦點(diǎn)按照確定的規(guī)律從左向右移動(dòng)，繪制曲線圖形，如圖5所示。

圖5 3個(gè)焦點(diǎn)在一條直線上，變化焦點(diǎn)距離時(shí)三焦點(diǎn)曲線變化情況

當(dāng)3個(gè)焦點(diǎn)在一條直線時(shí)，三焦點(diǎn)曲線為以該直線為對稱軸的中心對稱圖形，左右兩側(cè)均為卵圓形狀，當(dāng)中間的焦點(diǎn)從左向右移動(dòng)時(shí)，曲線的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)從左側(cè)移到右側(cè)，和焦點(diǎn)數(shù)目較多的一側(cè)一致，當(dāng)中間的焦點(diǎn)移動(dòng)到兩側(cè)焦點(diǎn)正中間時(shí)，曲線高低點(diǎn)也移動(dòng)到正中間。

(2) 3個(gè)焦點(diǎn)排列在一條直線上，且具有一個(gè)負(fù)焦點(diǎn)時(shí)，固定定長，變化焦點(diǎn)間的距離，曲線公式為

3個(gè)焦點(diǎn)在一條直線上，其中第3個(gè)焦點(diǎn)對應(yīng)負(fù)多項(xiàng)式。初始的焦點(diǎn)值為{(0,0), (1,0), (20,0)}，定長取30，將第2個(gè)焦點(diǎn)按照確定的規(guī)律，從左向右移動(dòng)，繪制曲線圖形，如圖6所示。

兩側(cè)焦點(diǎn)對應(yīng)公式的系數(shù)，分別取正號(hào)和負(fù)號(hào)，曲線在取負(fù)系數(shù)時(shí)對應(yīng)焦點(diǎn)的一側(cè)向內(nèi)凹陷，且曲線大部分都在該方向的反向存在。將中間的焦點(diǎn)從左側(cè)移動(dòng)到右側(cè)時(shí)，曲線向右側(cè)移，且右側(cè)的凹陷逐漸平緩并消失，最后形成卵圓圖形。

圖6 3個(gè)焦點(diǎn)在一條直線上，變化焦點(diǎn)距離時(shí)三焦點(diǎn)曲線變化情況

2.4 三焦點(diǎn)中兩焦點(diǎn)重合

(1) 固定定長，移動(dòng)重合焦點(diǎn)的位置時(shí)三焦點(diǎn)曲線的變化。三焦點(diǎn)曲線的公式為

多焦點(diǎn)曲線3個(gè)焦點(diǎn)中有2個(gè)焦點(diǎn)重合，固定定長，將重合的焦點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離定點(diǎn)焦點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)初始焦點(diǎn)為：(1,1)、(2,1)，其中(2,1)為重合焦點(diǎn)，初始定長為20，繪制的圖形如圖7所示。

當(dāng)重合焦點(diǎn)從左向右按照一定規(guī)律移動(dòng)時(shí)，曲線由圓形逐漸變?yōu)槁褕A；進(jìn)一步向右移動(dòng)焦點(diǎn)，曲線逐漸變?yōu)榈撞繉?yīng)重合焦點(diǎn)的水滴形曲線，之后變?yōu)椴灰?guī)則曲線，只有少許點(diǎn)滿足曲線方程，當(dāng)重合焦點(diǎn)移動(dòng)到足夠遠(yuǎn)時(shí)，沒有滿足要求的點(diǎn)。

(2) 2焦點(diǎn)重合，固定焦點(diǎn)位置改變定長時(shí)三焦點(diǎn)曲線的變化。曲線的公式為

多焦點(diǎn)曲線3個(gè)焦點(diǎn)中有2個(gè)焦點(diǎn)重合，第1個(gè)焦點(diǎn)的權(quán)重為1，重合的焦點(diǎn)權(quán)重為-2，從1開始不斷增加定長，繪制的三焦點(diǎn)曲線圖形如圖 8所示。

隨著定長的增大，曲線逐漸變?yōu)椴灰?guī)整的卵圓，之后滿足公式的點(diǎn)越來越少，最終沒有滿足條件的點(diǎn)。

通過大量繪制三焦點(diǎn)曲線，總結(jié)得到三焦點(diǎn)曲線主要性質(zhì)及規(guī)律：

(1) 三焦點(diǎn)曲線形態(tài)主要受焦點(diǎn)的相對位置、定長和權(quán)重值的影響。

(2) 三焦點(diǎn)曲線的軸對稱特性與焦點(diǎn)三邊形的對稱性一致。隨著定長相對焦點(diǎn)三邊形的逐漸增大，三焦點(diǎn)曲線會(huì)變得越來越規(guī)則，并逐漸接近圓形，因而對稱性逐漸和圓形一致。

(3) 當(dāng)焦點(diǎn)的權(quán)重均為正值時(shí)，三焦點(diǎn)曲線為一種光滑凸閉合圖形，在少數(shù)極端情況下會(huì)出現(xiàn)退化，三焦點(diǎn)曲線出現(xiàn)一階連續(xù)點(diǎn)，或者三焦點(diǎn)曲線直接退化為有限個(gè)點(diǎn)。當(dāng)存在焦點(diǎn)的權(quán)重為負(fù)值時(shí)，三焦點(diǎn)曲線變化過程中會(huì)出現(xiàn)凹陷，且凹陷位置與權(quán)重為負(fù)的焦點(diǎn)位置相對應(yīng)。

圖7 2個(gè)焦點(diǎn)重合，變化重合焦點(diǎn)位置時(shí)三焦點(diǎn)曲線的變化情況

圖8 重合焦點(diǎn)的權(quán)重為負(fù)值，改變定長時(shí)三焦點(diǎn)曲線的變化情況

3 物體圖像輪廓對應(yīng)的三焦點(diǎn)曲線

在CPU Core i5；內(nèi)存8 GB，Windows 7環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，采用Matlab 2010b軟件進(jìn)行編程，在實(shí)驗(yàn)的過程中，選取的圖像絕大部分來自于實(shí)拍物體。

3.1 圖像處理

利用Matlab 2010b軟件對實(shí)物圖像進(jìn)行處理。首先讀入目標(biāo)圖像，利用函數(shù) im2bw將 RGB模式的原始圖像轉(zhuǎn)換為二值圖像，使用最大類間差方法找到圖片的一個(gè)合適閾值，進(jìn)行二值化轉(zhuǎn)化；構(gòu)造結(jié)構(gòu)化元素，并利用im rode函數(shù)對剛剛產(chǎn)生的二值圖像進(jìn)行腐蝕，腐蝕的結(jié)果是把二值圖像 BW中比較小的孔洞進(jìn)行腐蝕掉，使除了圖形就是一個(gè)黑色的背景，不存在小洞，利用bwboundaries函數(shù)進(jìn)行二值圖形的邊緣提取，并且去掉內(nèi)部的圖像，將提取后邊緣各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，以矩陣的形式進(jìn)行保存，如圖9所示。

圖9 圖像處理

3.2 擬合三焦點(diǎn)曲線

雖然可以采用Hough變換的方法檢測橢圓[9]，但Hough變換方法并不適合于檢測本文的對象。本文設(shè)計(jì)了一種巧妙的擬合方法，首先通過圖像處理的辦法，提取實(shí)際物體圖像的輪廓邊緣坐標(biāo)信息(xi, yi)，其次構(gòu)造目標(biāo)最優(yōu)化函數(shù)fun_in函數(shù)，通過fm incon函數(shù)對fun_in進(jìn)行最優(yōu)化求解，求出fun_in中對目標(biāo)數(shù)據(jù)(xi, yi)殘差最小的參數(shù)，函數(shù)將利用包含梯度法等優(yōu)化算法，進(jìn)行曲線擬合和參數(shù)求解。利用上一節(jié)量化參數(shù)三焦點(diǎn)曲線形態(tài)分析，確定目標(biāo)圖像參數(shù)的大概范圍。本實(shí)驗(yàn)對初值的選取沒有很強(qiáng)的依賴性，fm incon初值在參數(shù)取值的較大范圍內(nèi)可隨機(jī)取值。檢查參數(shù)曲線中是否存在非零點(diǎn)，利用循環(huán)語句遍歷曲線方程中的點(diǎn)的坐標(biāo)，使用fzero()函數(shù)對參數(shù)曲線的零點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行檢查并標(biāo)記，對于可能因?yàn)榫植繗埐?、噪點(diǎn)或其他原因引起的非零點(diǎn)，可以求取 xi極小鄰域范圍內(nèi)的極小值點(diǎn)，并進(jìn)行標(biāo)記。最后輸出曲線公式中對應(yīng)的各個(gè)參數(shù)，畫出曲線圖，并給出誤差分析圖。誤差分析圖是在縱向坐標(biāo)一致的情況下，比較曲線上點(diǎn)和原始圖像上已知點(diǎn)之間的誤差。

3.3 實(shí)驗(yàn)說明

選取了大量常見物體的照片進(jìn)行測試，部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。圖10中從左至右的4幅圖分別為原始輸入圖像、提取邊緣坐標(biāo)后的圖像、擬合后的圖像和誤差分析圖像。

在Matlab中圖像按照矩陣的形式進(jìn)行表示和存儲(chǔ)，第1、2幅圖像的像素點(diǎn)的坐標(biāo)信息都是以矩陣的形式在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行存儲(chǔ)。第 1幅圖像為物體的原始的照片或者圖片；第 2幅為提取邊緣后的邊緣圖像；在第3幅擬合圖像中，用y表示縱向的坐標(biāo)，用x表示橫向的坐標(biāo)，分別對應(yīng)行、列坐標(biāo)信息。藍(lán)色圈表示從原始圖像上提取的點(diǎn)的坐標(biāo)，表示為(x,y)，紅色曲線為擬合后的圖像，點(diǎn)的坐標(biāo)表示為(x,ys)。在誤差圖像中，橫坐標(biāo)表示圖像對應(yīng)的點(diǎn)，縱坐標(biāo)表示對于相同的 x對應(yīng)的點(diǎn)，擬合后的曲線的坐標(biāo)與原始圖像邊緣點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo)之差，即y-ys。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在圖10的擬合圖像中，藍(lán)色的圓圈圖像表示從圖像邊緣提取的坐標(biāo)點(diǎn)，紅色曲線為擬合后按照參數(shù)方程畫出的曲線。從實(shí)驗(yàn)可以看出，對于雞蛋、圓滑的石頭等物體誤差非常低，在1以內(nèi)，曲線幾乎完全重合；獼猴桃和檸檬的誤差也比較小，在1.5左右，主要由于其表面不夠光滑；桃子等的誤差也很低。

為了方便統(tǒng)計(jì)誤差率，用式(1)來計(jì)算圖像的平均誤差K，其等于對所有擬合曲線與原圖像邊緣曲線的 Y坐標(biāo)之差求和再除以坐標(biāo)總數(shù)；用式(2)來表示平均誤差率，其等于所有擬合曲線與原圖像邊緣曲線的 Y坐標(biāo)之差再全部求和，除以對應(yīng)

原圖邊緣曲線坐標(biāo)值之和，并用該結(jié)果除以坐標(biāo)總數(shù)。式(1)和(2)為

圖10 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

利用擬合方法求出圖像輪廓邊緣曲線對應(yīng)的三焦點(diǎn)曲線各個(gè)參數(shù)，結(jié)果如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的具體數(shù)據(jù)

4 總 結(jié)

通過實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)本身誤差受初值的選取影響不大。三焦點(diǎn)曲線能夠用來表示、分析、匹配和識(shí)別大量物體圖像輪廓，如雞蛋或者桃子、草莓、蘋果、檸檬等水果，以及石頭、水滴、手雷、蘿卜等物體。用三焦點(diǎn)曲線擬合雞蛋、桃子、檸檬、獼猴桃圖像輪廓等誤差率非常小，能夠很好表示這類物體，因此三焦點(diǎn)曲線能夠精確化表示這類物體。

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A K ind of Trifocal Points Curve

Gao Mantun, Li Yang, Wang Shuxia, Wang Shouxia

(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an Shaanxi 710072, China)

A kind of trifocal points curve is mainly researched. Firstly, the concept and formula of this kind of trifocal points curve is presented, and the properties of the trifocal points curve are also analyzed. Secondly, quantitative and shape analysis is made on the trifocal points curve by turning its parameters, and the programm ing method is used to realize the shape analysis of the trifocal points curve. The properties and rules of the trifocal points curve are analyzed and summarized. Finally, the parameters of the trifocal points curve are calculated by using of the image processing and fitting method which is the contours of images of some objects. Moreover, the error analysis is given and the fitting curve is described. The experiment results show that the trifocal points curve can be the precise representation of the contours of the images of some natural objects.

trifocal points curve; natural object; image processing; curve fitting; error analysis

TP 391.41

10.11996/JG.j.2095-302X.2016040457

A

2095-302X(2016)04-0457-10

2016-02-29；定稿日期：2016-04-20

國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(51105310)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2016JM 6054)；浙江大學(xué)CAD&CG國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題項(xiàng)目(A1615)；西北工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)意創(chuàng)新種子基金項(xiàng)目(Z2016082)

高滿屯(1962?)，男，山西襄汾人，教授，碩士。主要研究方向?yàn)槔碚搱D學(xué)、視覺與圖像。E-mail：gaomant@nwpu.edu.cn