王 迪，李述山，莊緒園

（山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東青島 266590）

Archimedean copula函數(shù)非參數(shù)估計法的改進

王 迪，李述山，莊緒園

（山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東青島 266590）

針對Archimedean Copula函數(shù)的參數(shù)估計問題，文章利用Archimedean Copula函數(shù)的對稱性提出了一種新的估計Kendall秩相關(guān)系數(shù)的非參數(shù)估計法，并且在理論上證明了新非參數(shù)估計法比傳統(tǒng)非參數(shù)估計法更有效。在此基礎(chǔ)上改進了Archimedean Copula函數(shù)參數(shù)的非參數(shù)估計法，并利用隨機模擬驗證了改進的有效性。

Archimedean Copula；非參數(shù)估計法；對稱性；有效性

0 引言

Copula函數(shù)[1]是一種通過數(shù)據(jù)和單個變量的邊緣分布函數(shù)來構(gòu)造多個變量聯(lián)合分布函數(shù)的統(tǒng)計學(xué)方法。Copula函數(shù)的出現(xiàn)不僅將風(fēng)險分析和多個變量時間序列分析推向了一個新的階段，同時作為一種刻畫變量之間相依結(jié)構(gòu)的工具，在不能決定線性相關(guān)系數(shù)能否正確度量相關(guān)關(guān)系的情況下，為變量之間相依結(jié)構(gòu)的分析帶來了很大方便。自從Copula函數(shù)被提出后，Copula函數(shù)在變量之間相關(guān)性分析、時間序列分析、金融風(fēng)險及風(fēng)險管理等方面得到了廣泛的應(yīng)用[2]。Copula函數(shù)較多，常用的主要有兩類：橢圓Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)，由于阿基米德Copula函數(shù)構(gòu)造比較方便、計算簡單，另外還具有各種各樣的分布特征以及良好的統(tǒng)計性質(zhì)，從而在金融領(lǐng)域得到廣泛運用。常用的Archimedean Copula函數(shù)有Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula、GS Copula等，這些Copula函數(shù)大多都是單參數(shù)函數(shù)，要更好的分析金融市場，必須首先得到較為精確的Copula函數(shù)，即要得到未知參數(shù)較好的估計。經(jīng)過多年的研究，現(xiàn)如今對于單參數(shù)Archimedean Copula函數(shù)已有眾多估計方法[3]。通過對Archimedean Copula函數(shù)參數(shù)估計文獻的查閱，本文對其中的非參數(shù)估計法進行了改進。改進的方式就是改變樣本Kendall秩相關(guān)系數(shù)的估計量，使其包含了更多信息，進而讓非參數(shù)估計變得更加準(zhǔn)確。

1 基本概念

定義[1]:設(shè)(X1，Y1)，(X2，Y2)是互相獨立并且與(X，Y)具有相同分布的二維隨機向量，則稱τ=P[(X1-X2)(Y1-Y2)>0] -P[(X1-X2)(Y1-Y2)<0]為X和Y的Kendall秩相關(guān)系數(shù)。

定理1[1]:隨機變量X和Y的Copula函數(shù)是由生成元?生成的Archimedean copula函數(shù)，則X、Y的一致性相關(guān)系數(shù)Kendallτ為：

由定理1知，對于單參數(shù)的Archimedean copula函數(shù)來說，Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ與其單參數(shù)θ具有一一對應(yīng)關(guān)系。常用二元Archimedean copula函數(shù)參數(shù)值θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的對應(yīng)關(guān)系如表1所示：

表1 參數(shù)值θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的對應(yīng)關(guān)系

2 非參數(shù)估計法

定理2[4]:設(shè)(xi，yi)(i=1…n)為取自連續(xù)隨機向量(X，Y)的樣本，則Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的估計量為：

推論1：連續(xù)隨機向量(X，Y)有Archimedean copula函數(shù) C(u，v)=C(F(x)，G(y))，設(shè) ui=F(xi)，vi=G(yi)，則Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的估計量為：

3 改進的非參數(shù)估計法

3.1 方法概述

通過Archimedean copula函數(shù)的生成元和表達式不難看出，Archimedean copula函數(shù)具有對稱性，即C(u，v)=C (v，u)。

定理3：若(ui，vi)和(uj，vj)是獨立同分布于C(u，v)的，則(ui，vi)和(vj，uj)也獨立同分布于C(u，v)。

推論2：由定理3可知如下等式成立：

3.2 估計量的性質(zhì)

(1)無偏性

證明：為了使證明更具一般性，引入兩個均大于0的常數(shù)α，β定義如下：

由于Archimedean copula函數(shù)具有對稱性，利用式（2）可得：

故可得：

(2)有效性

由Archimedean copula函數(shù)的對稱性可知：

證明：討論α和 β的取值，考慮式（5）中的部分式子：

上式對α求導(dǎo)得：2(2α-1)ET12-2(2α-1)E(T1T2)=2 (2α-1)(ET12-E(T1T2))，由于已知E(T1T2)

4 隨機模擬

由于Archimedean copula函數(shù)數(shù)量眾多且性質(zhì)相似，所以本文以Gumbel Copula函數(shù)為例進行數(shù)據(jù)模擬研究。其表達形式如下：其中θ?[1，￥)

本文數(shù)據(jù)模擬思路是分別取θ為0.5，1，1.5，2，2.5和3，對于每一個給定的θ模擬產(chǎn)生隨機數(shù)據(jù)(ui，vi)(i=1…n)，為了觀察樣本容量對估計的影響，分別令n為100，1000和10000，然后利用得到的隨機數(shù)據(jù)用兩種估計方法依次估計θ，每種方法估計m=1000次，將第i次的估計值記作i，最后求估計的絕對誤差結(jié)果如表2所示：

表2 參數(shù)估計結(jié)果

由表2可得如下結(jié)論：

（1）對于同一個θ，改進的非參數(shù)估計比傳統(tǒng)非參數(shù)估計絕對誤差小。

（2）隨著n的增大，改進的非參數(shù)估計和傳統(tǒng)非參數(shù)估計的絕對誤差都越來越小。

5 結(jié)論

綜上所述，本文利用Kendall秩相關(guān)系數(shù)的特征將對隨機向量樣本數(shù)據(jù)求Kendall秩相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)化成了對其相應(yīng)Archimedean Copula函數(shù)樣本數(shù)據(jù)求Kendall秩相關(guān)系數(shù)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)Archimedean Copula函數(shù)的對稱性提出了新的Kendall秩相關(guān)系數(shù)估計量，使其相對于原先的估計量包含了更多信息，并且在理論上證明了新估計量比原先的估計量更有效。進一步利用新估計量改進了傳統(tǒng)的Archimedean Copula非參數(shù)估計法，并且通過隨機模擬驗證了改進的有效性。由于非參數(shù)估計方法簡單，計算量小，所以當(dāng)樣本較大時，改進的非參數(shù)估計法是對Archimedean Copula進行參數(shù)估計的不錯選擇。

[1]Nelsen R B，Oregon P.An Introduction to Copulas[M].New York: Springer，1999.

[2]張堯庭.連接函數(shù)(copula)技術(shù)與金融風(fēng)險分析[J].統(tǒng)計研究，2002，(4).

[3]杜江，陳希鎮(zhèn).Archimedean Copula函數(shù)的參數(shù)估計[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2009，(3).

[4]李霞.Archimedean copula函數(shù)模型選擇方法的改進[J].統(tǒng)計與決策，2014，(13).

（責(zé)任編輯/易永生）

O212.7

A

1002-6487（2016）21-0016-03

王 迪（1991—），男，山東濱州人，碩士，研究方向：金融統(tǒng)計。

李述山（1966—），男，山東蒙陰人，博士，教授，研究方向：統(tǒng)計學(xué)。