廣州市廣雅中學(xué)(510160)何智　吳新華

在高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)的案例研究*

廣州市廣雅中學(xué)(510160)何智吳新華

一、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思意識(shí)的背景與價(jià)值

數(shù)學(xué)反思是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生對(duì)自身數(shù)學(xué)思維活動(dòng)進(jìn)行的自我觀察、探究、監(jiān)控和評(píng)價(jià),包括反思的知識(shí)、技能及內(nèi)容.數(shù)學(xué)反思的知識(shí)包括程序性知識(shí)、陳述性知識(shí)和情境性知識(shí),技能有經(jīng)驗(yàn)、理論、分析、策略、實(shí)踐和評(píng)價(jià)技能等[1].數(shù)學(xué)反思意識(shí)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中能主動(dòng)、自發(fā)地對(duì)自我的學(xué)習(xí)活動(dòng)過程進(jìn)行反思.

學(xué)生的數(shù)學(xué)反思意識(shí)的特點(diǎn)有探究性、自主性、發(fā)展性和創(chuàng)造性.在古代教育中,人類就具有反思意識(shí),更有教育家提出的“吾日三省吾身”,”書丁心自問”,“反諸求己”等理論.孔子也重視反思意識(shí)的培養(yǎng)“學(xué)而不思則周,思而不學(xué)則殆”,“不憤不啟,不徘不發(fā),舉一隅不以三隅反,則不復(fù)也”.

當(dāng)前教育改革的目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),這就要求學(xué)生不僅掌握相關(guān)知識(shí),更重要的是掌握學(xué)習(xí)方法策略,學(xué)會(huì)調(diào)控自我和提高反思意識(shí).學(xué)生在學(xué)習(xí)中要善于從不同角度觀察事物,授之于魚不如授之于漁,提出問題并解決問題,使反思意識(shí)貫穿整個(gè)認(rèn)知活動(dòng)過程中.此外,在高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的修訂中,最大的變化是提出每一個(gè)學(xué)科應(yīng)具備核心素養(yǎng),學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的數(shù)學(xué)教育過程中,逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)涵蓋六個(gè)方面,包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析,這些素養(yǎng)我們可以通過有效培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)來實(shí)現(xiàn).因此,培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中值得研究和探索的問題.

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思意識(shí)的常用教學(xué)策略

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思意識(shí),是在教師的引導(dǎo)下,通過學(xué)生自身的努力,能自覺地完成對(duì)認(rèn)知活動(dòng)的反思而不需要做出意志的努力.影響學(xué)生數(shù)學(xué)反思意識(shí)的因素有很多,有內(nèi)在的因素,也有外在的因素.內(nèi)在的因素是指認(rèn)知個(gè)體的認(rèn)知、智能結(jié)構(gòu)及心理特征等即學(xué)生個(gè)體本身.外在的因素主要指學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境、受教育的環(huán)境及人際交往等方面,即教師和社會(huì)因素兩個(gè)方面.在教師因素中,教師的教學(xué)方法是影響學(xué)生反思意識(shí)發(fā)展的重要外在因素.內(nèi)在因素通過外在因素起作用.

事實(shí)上,學(xué)生反思性意識(shí)的培養(yǎng)單純地依賴?yán)蠋熤v解輸出知識(shí),是不可能實(shí)現(xiàn)的.教師需要在教學(xué)方法、教學(xué)策略上狠下功夫,考慮每個(gè)環(huán)節(jié),把握可以鍛煉學(xué)生反思意識(shí)的細(xì)節(jié),為學(xué)生最大限度地創(chuàng)造培養(yǎng)反思意識(shí)的機(jī)會(huì).老師要達(dá)到這個(gè)目標(biāo),需要平時(shí)多積累、多反思,從自身做起,為學(xué)生樹立培養(yǎng)反思習(xí)慣的榜樣,身教重于言教,潤物細(xì)無聲,在潛移默化中影響帶動(dòng)學(xué)生的反思意識(shí),提高反思能力.

其次,思維是學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的中心樞紐,決定認(rèn)知活動(dòng)成敗的關(guān)鍵.思維品質(zhì)實(shí)質(zhì)是人的思維的個(gè)性特征,反應(yīng)了每個(gè)個(gè)體智力或思維水平的差異.良好的思維品質(zhì)是學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展的基礎(chǔ),但良好的思維并非與生俱來,很大程度上要靠后天的努力形成.學(xué)生的思維品質(zhì)包括思維的靈活性、廣闊性、深刻性和批判性等,培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí),本質(zhì)上就是鍛煉學(xué)生的思維能力,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

終上所述,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思意識(shí)的常用教學(xué)策略是變式教學(xué).變式教學(xué)是對(duì)數(shù)學(xué)中的定理和命題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式,以暴露問題的本質(zhì)特征,揭示不同知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計(jì)方法.題目的形式可以千變?nèi)f化,但本質(zhì)不變:或考察內(nèi)容的基本概念不變,或考察內(nèi)容的思想方法不變,或考察內(nèi)容的技巧思路不變.關(guān)鍵是有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”中探求規(guī)律,逐步培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí),求異思維,增強(qiáng)其應(yīng)變能力,優(yōu)化思想品質(zhì),激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識(shí),從而真正把對(duì)能力的培養(yǎng)落到實(shí)處.

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思意識(shí)的案例研究

1.問題解決的變式

數(shù)學(xué)教學(xué)過程是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程,數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程,這一過程的關(guān)鍵在于引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思考,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決問題的能力.其中,問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,是把知識(shí)、技能、思想方法聯(lián)系起來的一條紐帶,揭示規(guī)律、啟發(fā)思維、激勵(lì)創(chuàng)新、培養(yǎng)能力的目標(biāo).問題解決變式的三個(gè)維度包括:一個(gè)問題多種變化,其中既包括解題過程中的各種鋪墊(如引理特殊化等),也包括對(duì)原問題的各種引申(如改變條件、改變結(jié)論、一般化);一個(gè)問題的多種解決方法,也即將同一個(gè)問題的不同解決過程作為變式來聯(lián)結(jié)各種不同的解法;同一方法解決多種問題,將某種特定的方法用于一類似的問題,由此可產(chǎn)生一些用于引發(fā)化歸、探究策略的變式.

在問題解決的教學(xué)過程中,當(dāng)學(xué)生獲得基本解法后,可以通過改變問題的條件設(shè)置,改變問題所求結(jié)論、改變問題情境等多種方式,使學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的理解和掌握得到強(qiáng)化,以便學(xué)生形成對(duì)問題的多方面、多角度的思考,使學(xué)生的思維跳出某一固定模式,避免形成思維定勢.從而提出新問題或獲得同一問題的多種解答或多種結(jié)果.讓學(xué)生在解決問題的過程中形成反思意識(shí),尋找問題解決的最佳路徑.問題解決變式主要包括一題多解(證)變式,一題多變變式,多題歸一變式和一題多用變式.

圖1　

這是一題多解(證)變式,是對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題,如果從不同的角度去分析,得到不同的解題方法,也就是說從多個(gè)角度去想就會(huì)有多種解法.這樣做可以使思維更開闊,也能從中找到最佳的解題方法.從而達(dá)到培養(yǎng)發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí),總結(jié)規(guī)律、方法,提高數(shù)學(xué)能力的目的.在解題過程中,鍛煉自己舉一反三能力,進(jìn)行一題多解、發(fā)散思維的訓(xùn)練,拓寬解題思路,可極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和濃厚的興趣,同時(shí)也可提高學(xué)生的反思意識(shí),繼而提高解題能力.

【案例二】如果一個(gè)定義在?上的非零偶函數(shù)y=f(x),對(duì)定義域內(nèi)的任何一個(gè)自變量x,都滿足f(x+1)=且當(dāng)x∈[-3,-2]時(shí),f(x)=2x,則的大小關(guān)系是()

A.c＞a＞bB.a＞c＞b

C.b＞c＞aD.c＞b＞a

在課堂上,筆者把這題變式為:如果一個(gè)定義在?上的非零偶函數(shù)y=f(x),對(duì)定義域內(nèi)的任何一個(gè)自變量x,都滿足f(x+1)=且當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)=2x,請(qǐng)大家試求一下(0,1)上的表達(dá)式.

學(xué)生會(huì)有兩張方法:

解法一:任給x∈(0,1),則-x∈(-1,0),又因?yàn)閥=f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=2-x;

解法二:任給x∈(0,1),則x-1∈(-1,0),又因?yàn)閒(x+1)=則f(x)=

兩種解法,但答案截然不同,問題出在哪里呢? f(x+1)=除了可以推出函數(shù)y=f(x)的周期為2,還能推出什么嗎?

學(xué)生通過老師點(diǎn)撥反思:還能推出相隔為1的兩個(gè)自變量的函數(shù)值應(yīng)該互為倒數(shù).那這個(gè)結(jié)論能與偶函數(shù)“協(xié)調(diào)”嗎?

筆者順勢提問,那這題怎么改就可以使得條件“協(xié)調(diào)”呢?

學(xué)生給出的一些方案:去掉偶函數(shù)中的“偶”字,或者把條件f(x+1)=改成f(x+2)=f(x),或者把條件f(x+1)=改成中文“函數(shù)f(x)的周期為2”來敘述,……,學(xué)生們能在“經(jīng)驗(yàn)”的基礎(chǔ)上,通過“思考”、“活動(dòng)”實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”.切實(shí)讓學(xué)生明白式子f(x+1)=和 f(x+2)=f(x)是不等價(jià)的,前者包含的信息量要比后者更加豐富,它不僅僅能推出函數(shù)f(x)的周期為2,而且還能推出兩個(gè)相隔為1的自變量的函數(shù)值應(yīng)該互為倒數(shù).

一題多變變式,就是通過對(duì)某一題目進(jìn)行條件和結(jié)論的變換、題型的改變、逆向思考、圖形變化、類比、推廣等多角度、多方位的探討,使一個(gè)題變?yōu)橐活愵},達(dá)到舉一反三,觸類旁通的目的,迸而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性,深刻性,靈活性,獨(dú)創(chuàng)性,非常有意義.

2.基本概念的變式

數(shù)學(xué)由數(shù)學(xué)概念、思想和方法構(gòu)建起來,其中數(shù)學(xué)概念處于基礎(chǔ)的地位.數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式,是對(duì)一類數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的反映,是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,也是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)重要組成部分,數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓和靈魂.正確理解概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提,是學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ),因此,概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一環(huán).如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí),使學(xué)生通過概念的掌握和應(yīng)用,最終理解、掌握概念及其中所包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,形成真正的數(shù)學(xué)能力,變式教學(xué)具有不可替代的作用.

通過概念與概念變式之間,以及概念變式與非概念變式之間的聯(lián)系與區(qū)別來把握概念,對(duì)概念進(jìn)行多角度剖析與理解.有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛,很難一步到位,需要分成若干步,逐步加強(qiáng)提高.許多新概念的引入是對(duì)已有概念的繼承、發(fā)展和完善,數(shù)學(xué)上許多概念都有著密切的聯(lián)系,如平行線與平行向量、平面角與空間角、方程與不等式、映射與函數(shù)等.從培養(yǎng)學(xué)生思維能力,創(chuàng)新意識(shí)的要求來看,數(shù)學(xué)概念的形成過程,其內(nèi)涵、外延的揭示過程,比數(shù)學(xué)概念的定義本身更重要.在形成概念的過程中,可以利用變式引導(dǎo)學(xué)生積極參與形成概念的全過程,這就要求教師從實(shí)際或已知出發(fā),創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,通過多樣化的變式讓學(xué)生感知概念,形成認(rèn)識(shí);培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析以及概括的能力.數(shù)學(xué)概念變式主要包括概念的引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式.

【案例三】如圖2,正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E,F,G分別是CC1,DD1,B1C的中點(diǎn),

王燕茹：今年3月份，黃宇因?yàn)榇蛭冶恍芯?日，那時(shí)候想著先休息一段時(shí)間。 6月份，黃宇的親戚威脅說，黃宇不會(huì)有事，黃道龍也不會(huì)受到什么影響，到時(shí)候會(huì)讓我在揚(yáng)州待不下去。我怕被打擊報(bào)復(fù)，就跑到北京，選擇在北京中紀(jì)委和國家信訪局繼續(xù)反映情況。

圖2　

[變式1]求直線A1B1與平面BB1C1C所成的角.

[變式2]求直線A1B與平面BB1C1C所成的角.

[變式3]求直線D1B與平面BB1C1C所成的角.

[變式4]求直線A1B與平面A1B1CD所成的角.

[變式5]求直線A1B與平面A1B1EF所成的角.

[變式6]求直線B1C與平面ACD1所成的角.

[變式7]求直線B1C1與平面ACD1所成的角.

[變式8]求直線AG與平面ACD1所成的角.

案例三的變式4是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版必修2第66頁的例2,這題是在講授了線面角的定義后的第一道例題,但難度稍大,學(xué)生不容易想到點(diǎn)的垂足,因而在講授這題時(shí),應(yīng)該設(shè)計(jì)一些難度更基礎(chǔ)的變式題,作為這道題的鋪墊.而上述變式1-3正是為例4所做的鋪墊,難度比較簡單,斜線的射影比較容易找到.而變式5-8則難度逐漸加深,找斜線的射影難度逐漸加大,我引導(dǎo)學(xué)生用“平移”的思想,把斜線平移到一些比較容易找射影的線段上去,例如變式7中的斜線B1C1可平移到AD,而變式8中,要尋找點(diǎn)G的射影,可轉(zhuǎn)移去研究點(diǎn)B1的射影.本題全部變式始終圍繞正方體來研究,變式教學(xué)的效果很好,可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí).

概念辨析變式,就是教師在引進(jìn)概念后針對(duì)概念的內(nèi)涵與外延設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生辨析概念,或是尋找概念的等價(jià)形式或是明確變式含義,并探討等價(jià)形式及其變式的應(yīng)用,達(dá)到透徹理解概念,靈活應(yīng)用概念的目的.“理越辯越明”,通過對(duì)這些問題的討論達(dá)到使學(xué)生正確理解概念的目的.在概念形成后,不應(yīng)急于應(yīng)用概念解決問題,而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位、多層次地探索并主動(dòng)操作概念變式,透過現(xiàn)象看本質(zhì).在弄清其內(nèi)涵與外延的過程中,進(jìn)行深刻反思,從而培養(yǎng)思維的深刻性.

四、在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)的實(shí)踐反思

通過變式教學(xué)實(shí)踐,體會(huì)到有助于培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí),進(jìn)而提升學(xué)生思維品質(zhì).

1.數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)有助于促進(jìn)學(xué)生思維的靈活性.學(xué)生在解決問題的時(shí)候能靈活運(yùn)用己有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),多角度,多方面的思考問題,擺脫消極定式思維的約束,從而實(shí)現(xiàn)解決問題的目的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路,不只滿足于問題的解決,要挖掘題目的本質(zhì),注意問題的一題多解,比較不同方法的差異和優(yōu)缺點(diǎn),總結(jié)一套屬于自己的思維方式.這樣,學(xué)生便達(dá)到了“做一道題會(huì)一類型”的目的,即使將題目進(jìn)行改頭換面,學(xué)生也可以觸類旁通、舉一反三.

2.數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)有助于促進(jìn)學(xué)生思維的廣闊性.思維的廣闊可看到事物的細(xì)微.反之,狹隘的思維即只見樹木不見森林,容易以偏概全,終究看不到事物本質(zhì),得不到自我的提高.學(xué)生在理解一道題目的基礎(chǔ)上,反思題目的本質(zhì),將題目進(jìn)行延伸和變式訓(xùn)練.從而可以使學(xué)生對(duì)原題有更深層次的理解,并且對(duì)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生新的領(lǐng)悟,從而提高思維的廣闊性.學(xué)生在學(xué)習(xí)中要透徹理解基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和基礎(chǔ)類型題,不能僅僅停留在表面層次的理解上,要反思其中的本質(zhì).這樣在遇到較復(fù)雜的問題就不會(huì)無從下手,而是能夠根據(jù)己有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)找出突破口,看到問題的本質(zhì),找到解決問題的思路,在反思中提高思維的廣闊性.

3.數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)有助于促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性.思維的深刻性是指在思維活動(dòng)的邏輯水平和抽象程度,涉及思維的深度和難度.深刻性集中表現(xiàn)在智力活動(dòng)中深入思考問題,善于概括總結(jié),抽象邏輯性強(qiáng),善于抓住事物的本質(zhì)和規(guī)律,開展系統(tǒng)的理解性過程,遇見事物的發(fā)展過程.學(xué)生面對(duì)一些不熟悉的、較復(fù)雜的題型,要看穿問題的本質(zhì),找出考察的知識(shí)點(diǎn).尤其是對(duì)一些“陷阱”類的題目,要多總結(jié),多反思,提高自己思維的深刻性,找出題目的“開關(guān)”.

4.數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)有助于促進(jìn)學(xué)生思維的批判性.思維的批判性指的是思維活動(dòng)中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和批判的程度.一個(gè)人是循規(guī)蹈矩、人云亦云還是獨(dú)立思考善于發(fā)現(xiàn)問題,這是思維過程中一個(gè)很重要的品質(zhì),它來自于對(duì)思維活動(dòng)各個(gè)環(huán)節(jié)、方面進(jìn)行調(diào)整和校正的自我意識(shí).教師在教學(xué)過程中是對(duì)話的“提問者”、學(xué)習(xí)的“指導(dǎo)者”、學(xué)業(yè)的“評(píng)價(jià)者”,要鼓勵(lì)學(xué)生敢于對(duì)問題反思、質(zhì)疑,抱著批判、辯證的態(tài)度接受新事物,靈活運(yùn)用知識(shí),提高思維的批判性.

隨著社會(huì)的發(fā)展,時(shí)代的進(jìn)步,學(xué)習(xí)型人才的需求越來越大,這就要求學(xué)校培養(yǎng)的學(xué)生不僅掌握基本的知識(shí)技能,更重要的是學(xué)生要真正具備良好的自我反思能力.教師要培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí),使學(xué)生在學(xué)習(xí)中能自覺地進(jìn)行反思,提高學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力,我們需要為未來而教.

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*本論文是廣東省教育科學(xué)十二五規(guī)劃課題《運(yùn)用變式教學(xué)提升高中生數(shù)學(xué)反思能力的實(shí)踐研究》的階段性研究成果.