廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)初級中學(xué)(528231)譚鑄權(quán)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中進(jìn)行分類思想教學(xué)的嘗試*

廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)初級中學(xué)(528231)譚鑄權(quán)

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》在“課程基本理念”部分指出,“(數(shù)學(xué)課程內(nèi)容)不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果,也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法”;在總目標(biāo)部分指出,“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”.由此可見,“數(shù)學(xué)思想”不僅是數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個基本目標(biāo).筆者現(xiàn)以分類討論的數(shù)學(xué)思想為例,談?wù)勗谥锌紡?fù)習(xí)教學(xué)方面的一些嘗試.

1　明確分類原則,使學(xué)生明確進(jìn)行分類討論是“有法可依”的

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中有大量的例題和習(xí)題都需要學(xué)生運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解決的.教師在日常的解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地滲透分類討論的標(biāo)準(zhǔn)或原則,使學(xué)生明確解題時進(jìn)行分類討論是“有法可依”的.如何分類?分類討論有什么原則?這是擺在我們面前的現(xiàn)實問題.我們知道分類討論的原則有很多,在初中階段筆者認(rèn)為實操性強(qiáng)并且較適合初中學(xué)生解題的分類討論原則有以下四條:

(1)同一性原則;(2)完整性原則;(3)互斥性原則;(4)層次性原則.

實施建議:在日常的教學(xué)中教師可以通過概念或定義的講述、定理的證明、公式的運(yùn)用、例題評講和習(xí)題練習(xí)等途徑逐步滲透利用分類討論的思想進(jìn)行解題時要遵循的原則,以期讓他們在解題時能適時并合理地運(yùn)用分類思想解決問題.

2　深挖教材內(nèi)容,使學(xué)生明確常見分類討論的知識母源

現(xiàn)行教材中,雖然并沒有明確地揭示和總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)思想方法只是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識體系之中,但教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過深挖和重組教材的知識點(diǎn),使學(xué)生明確哪些數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含著分類討論的思想.

成果舉隅:筆者在中考第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)的過程中讓學(xué)生以表格的方式按《數(shù)與式》、《方程與不等式》、《函數(shù)》、《幾何與證明》和《統(tǒng)計與概率》等五個板塊分類呈現(xiàn)將課本中蘊(yùn)含著分類討論思想的知識點(diǎn)盡可能列舉出來,以下呈現(xiàn)的是學(xué)生提交作業(yè)的部分成果:

表1　

通過這樣的表格方式,要求學(xué)生進(jìn)行完善和補(bǔ)充能將課本中蘊(yùn)含著需要進(jìn)行分類討論的“知識母源”呈現(xiàn)出來,這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的歸納能力又能使其在日后的生活或考試中遇到相關(guān)的內(nèi)容時能條件反射用分類討論的思想解決問題.

3　通過多種方式,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用分類討論的能力

3.1精心設(shè)計教學(xué)過程,使學(xué)生體會分類討論的必要性

分類討論思想的獲得不能簡單地通過走馬觀花式的解題來實現(xiàn)或灌輸完成,它需要教師在充分了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上,精心設(shè)計教學(xué)過程,透過“庖丁解?！笔降木毩?xí)和講解才能使學(xué)生逐步體會分類討論的必要性.

例:已知點(diǎn)A(2,y1),B(1,y2),C(-1,y3),D(-2,y4)都在反比例函數(shù)的圖象上,比較y1,y2,y3,y4的大小.

變式1:已知點(diǎn)A(2,y1),B(1,y2),C(-1,y3), D(-2,y4)都在反比例函數(shù)的圖象上,比較y1,y2,y3,y4的大小.

變式2:已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且x1＜x2＜x3＜0比較y1,y2,y3的大小.

變式3:已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且x1＜x2＜0＜x3比較y1,y2,y3的大小.

變式4:已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且x1＜x2＜x3比較y1,y2,y3的大小.

師:可以將A、B和C點(diǎn)的位置用分類討論的思想分為若干種情況逐個擊破不就解決了嗎?點(diǎn)A、B和C點(diǎn)的位置可以分為哪幾種情況?

(學(xué)生有恍然大悟的感覺!)

生2:我們可以對點(diǎn)A、B和C點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論(如圖1-4),得出三種解答情況為:

(1)(如圖1和2)當(dāng)0＜x1＜x2＜x3或x1＜x2＜x3＜0時,y3＜y2＜y1;

(2)(如圖3)當(dāng)x1＜x2＜0＜x3時,y2＜y1＜y3;

(3)(如圖4)當(dāng)x1＜0＜x2＜x3時,y1＜y3＜y2.

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

師:生2同學(xué)的解答非常好、很完整,通過以上的練習(xí)同學(xué)們有什么收獲?

生:我們可以發(fā)現(xiàn)在比較反比例函數(shù)值大小的時候,如果k的值和所給的點(diǎn)的位置不確定,那么必須要分別對它們進(jìn)行分類討論.

師:你們的總結(jié)都很好,其實在我們?nèi)粘５木毩?xí)中很多問題都需要根據(jù)題目的特點(diǎn)和實際背景進(jìn)行分類討論.請同學(xué)們課后完成變式5,體會分類討論的思想:

變式5:已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且x1＜x2＜x3比較y1,y2,y3的大小.

3.2剖析題目特點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識

學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想方法進(jìn)行解題的能力不是“與生俱來”的,需要教師在日常的解題教學(xué)中有意識地培養(yǎng),也只有教師培養(yǎng)學(xué)生分類的意識,然后才能引導(dǎo)學(xué)生在合理分類的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論.筆者認(rèn)為深入剖析題目特點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生分類的意識的較好做法.常見有以下三種做法:

(1)分析題目的表述方式,合理分類

例:已知:A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2),求點(diǎn)D的坐標(biāo),使以A、B、C和D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

分析:以A、B、C和D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形有三種情況分別是平行四邊形ABD1C、平行四邊形ABCD2和平行四邊形ACBD3(如圖5所示).如果將題目的表述方式變?yōu)椤耙阎?A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2),求點(diǎn)D的坐標(biāo),使四邊形ABCD是平行四邊形”,由于題目的表述方式改變了,題目已經(jīng)將四邊形的形狀固化為平行四邊形ABCD,各頂點(diǎn)的順序確定了無需進(jìn)行分類討論,這樣的對比有助于培養(yǎng)學(xué)生把握分類討論的時機(jī).

圖5　

(2)分析題目的類型,合理分類

如果題目中含有字母或圖形運(yùn)動的時候要有分類討論的意識,這是由字母可以代表正數(shù)、0或負(fù)數(shù)以及圖形運(yùn)動時會產(chǎn)生不同的形狀所決定的.

例1:解關(guān)于x的不等式ax+3＞2x+a

分析:通過移項、合并同類項,不等式化為(a-2)x＞a-3,根據(jù)不等式的性質(zhì),需要對a-2進(jìn)行分類討論.

例2:如圖6,邊長為1的正方形ABCD,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿A→D→C→B的路徑向點(diǎn)B運(yùn)動,當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B時,另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,設(shè)△AMN的面積為S,運(yùn)動時間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系.

分析:本題可以按點(diǎn)N在不同位置分為以下三種情況:

(1)當(dāng)點(diǎn)N在AD上運(yùn)動時,如圖7;

(2)當(dāng)點(diǎn)N在CD上運(yùn)動時,如圖8;

(3)當(dāng)點(diǎn)N在BC上運(yùn)動時,如圖9,進(jìn)行討論.

圖6　

圖7　

圖8　

圖9　

(3)分析題目的是否具有前面所說的“知識母源”,合理分類

例:若等腰三角形的兩個角度的比是1:2,則這個三角形的頂角為()

分析:題目中的兩個角有可能是等腰三角形的頂角或底角,符合前述所說的分類“知識母源”因此要分類討論.

3.3劃分階段循序漸進(jìn),培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力

我們知道對于一種思想方法的領(lǐng)悟不是一蹴而就的,需要經(jīng)歷一個由淺入深、循序漸進(jìn)的過程的.相對于剛進(jìn)入初中不久的學(xué)生而言,九年級畢業(yè)生雖然在數(shù)學(xué)知識面和數(shù)學(xué)思維能力上都有較大的提高,但是由于之前老師的教學(xué)不到位或自身對數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的意識不夠,容易造成學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題能力不強(qiáng),因此在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中必需滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué),此過程可以分為以下三個階段進(jìn)行.

第一階段:重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生對課本概念的內(nèi)涵與外延、法則或公式的變換、定理的適用范圍等的掌握程度,所選題目內(nèi)容較為基礎(chǔ),題型一般以選擇題或填空題為主.

例:已知直角三角形的兩邊分別是4和5,則第三邊的長度為___.

分析:題目中的邊長為5的邊有可能是直角邊也有可能是斜邊,因此要分類討論.

解題策略:是弄清楚課本概念的內(nèi)涵與外延、法則或公式的變換、定理的適用范圍.

第二階段:重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生的分類討論意識和書寫格式,所選題目中一般含有字母而需要分類討論,題型一般以較為簡單的解答題為主.

例:已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實數(shù)根,求m的取值范圍.

分析:要對m2進(jìn)行合理分類:“m2=0”或“m2≠0”從而得出最后的結(jié)果.

解題策略:分清字母表示的意義,合理分類.

第三階段:重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生的分類討論思維和掌握解題的規(guī)律,這階段以動態(tài)問題為主,題型可以是較為綜合性的選擇題、填空題或解答題.

例:如圖10,Rt△NPM中,∠P=90°,PM=PN, MN=8cm,矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm,點(diǎn)C和點(diǎn)M重合,BC和MN在一條直線上.令Rt△NPM不動,矩形ABCD沿MN所在的直線向右以1cm/s的速度移動(如圖11所示),直到點(diǎn)C與點(diǎn)N重合為止.設(shè)移動t秒后,矩形ABCD與△NPM重疊部分的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式

圖10　

圖11　

分析:可以根據(jù)整個運(yùn)動狀態(tài),分為(如圖12-14)三種情況,從而得出結(jié)果.

圖12　

圖13　

圖14　

解題策略:這類問題一般是由幾何圖形的可變性引起的討論.“化動為靜”就是較好的解題策略,把問題分成幾類或幾部分來處理,采取分而治之的方法來各個擊破.

總之,分類討論的思想方法是在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和應(yīng)用的過程中形成和發(fā)展的,它的靈活掌握是需要有個潛移默化的過程,中考復(fù)習(xí)教學(xué)只是這個漫長過程中的一個短暫環(huán)節(jié),客觀地說學(xué)生要真正活學(xué)活用在解題中做到適時地分類討論是非?？简炇┙陶叩恼n堂駕馭能力和教學(xué)智慧,對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力具有實踐價值.

*本文是董磊主持的廣東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年度立項課題“如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實踐研究”(課題批準(zhǔn)號: 2011TJK014)的研究成果之一.