【摘要】本文主要通過(guò)以微積分課程為主的系列高等數(shù)學(xué)課程與中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容的區(qū)別和聯(lián)系的視角，從高等數(shù)學(xué)中的微積分、線(xiàn)性代數(shù)、高等幾何等知識(shí)的角度出發(fā)，以中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的范例為依據(jù)，表明高等數(shù)學(xué)的思想方法在處理中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有關(guān)問(wèn)題上能發(fā)揮出突出的作用。

【關(guān)鍵詞】微積分 ?高等數(shù)學(xué) ?中學(xué)數(shù)學(xué) ?教學(xué)思想 ?教學(xué)方法

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ?【文章編號(hào)】2095-3089（2016）11-0091-03

一、引言

自新課改后，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和考試題中皆增加了以分析、幾何等一些高等數(shù)學(xué)（簡(jiǎn)稱(chēng)高數(shù)）知識(shí)作為背景的內(nèi)容和問(wèn)題。因此，作為新形勢(shì)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)從高等數(shù)學(xué)的角度高屋建瓴地看待課本知識(shí)和內(nèi)容，從而在教學(xué)中起到舉一反三、化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到更高的目的和高度，使許多較深?yuàn)W的問(wèn)題得以深入討論和解決，培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和處理問(wèn)題的能力，為他們以后持續(xù)進(jìn)修和獲取更高層次的數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ)。

有關(guān)該論題的研究不少，文[1]在精選大量試題實(shí)例說(shuō)明了高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、方法在解決中學(xué)數(shù)學(xué)有著事半功倍的效果;文[9]揭示高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，與此同時(shí)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)科任教中師的教學(xué)實(shí)施提出自己獨(dú)特的見(jiàn)解和建議;文[10]從行列式出發(fā)，研究了怎樣將行列式應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué);文[11]主要剖析了極限思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透，等等。

本文在吸取前人研究成果的前提下，將高數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用以對(duì)兩者之間的解題思路、方式做對(duì)比的形式，給中學(xué)數(shù)學(xué)科任教師在講授的同時(shí)將高數(shù)滲透到平時(shí)的課堂之中提供些有益參考。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系

1.中學(xué)數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)的概念界定

中學(xué)時(shí)期學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)幾乎都是17世紀(jì)中葉之前的，其包括表層、深層知識(shí)這兩個(gè)層面。概念、性質(zhì)、法則、公式、公理和定理等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是中學(xué)數(shù)學(xué)的表層知識(shí)的組成部分，而深層知識(shí)主要有兩個(gè)部分，一個(gè)是數(shù)學(xué)思想，另一個(gè)是數(shù)學(xué)方法[1]。中學(xué)階段的數(shù)學(xué)都是比較淺顯的，學(xué)生欲接受較為深刻的思想等要求他們得先學(xué)好一定的簡(jiǎn)單概念、定義等，才能繼續(xù)進(jìn)行對(duì)更深?yuàn)W內(nèi)容的探索、磚研。

高數(shù)主要由微積分、極限、幾何等構(gòu)造成為一個(gè)整體，在這一整體中極限論是最基礎(chǔ)的，它為高數(shù)提供了活動(dòng)空間;微積分是高等數(shù)學(xué)最重要的構(gòu)成部分，它們能夠用連續(xù)的觀點(diǎn)看待函數(shù)變化趨勢(shì)，函數(shù)變化的宏觀規(guī)律性由積分來(lái)體現(xiàn)，函數(shù)的有關(guān)局部性則可以通過(guò)微分表現(xiàn)出來(lái)，積分和微積分連接的橋梁則是牛頓的微積分基本定理[4];級(jí)數(shù)理論是研究解析函數(shù)的一個(gè)很好的工具，無(wú)窮級(jí)數(shù)的作用是解析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以離散的側(cè)面為切入點(diǎn)，來(lái)對(duì)函數(shù)進(jìn)行表現(xiàn)和計(jì)算，而廣義積分則提供了把無(wú)窮極數(shù)與積分的內(nèi)容連接起來(lái)的渠道[5];微分方程則是從方程的角度出發(fā)，使得函數(shù)、積分、微分可以得到有機(jī)的聯(lián)系，內(nèi)在的揭示了它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。所以，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容組成結(jié)構(gòu)大致如下圖所示[6]：

上圖所展現(xiàn)的是高等數(shù)學(xué)各相關(guān)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，它只占高數(shù)體系的一小部分，專(zhuān)業(yè)不一樣，高數(shù)的知識(shí)的延伸、拓展也將向著不一樣的趨向發(fā)展，如今數(shù)學(xué)科學(xué)的不斷進(jìn)步，新的數(shù)學(xué)思想、方法連綿不絕地產(chǎn)生、發(fā)展，如與離散數(shù)學(xué)有關(guān)的基礎(chǔ)理論、非標(biāo)準(zhǔn)分析、模型思想等，從而提高了高數(shù)內(nèi)容的吸引力。

2.中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系

高等數(shù)學(xué)的原型蘊(yùn)藏在中學(xué)數(shù)學(xué)之中，在中學(xué)數(shù)學(xué)中一些不容易解釋明白或解答的問(wèn)題運(yùn)用高等數(shù)學(xué)來(lái)思考則容易理解并且求出答案[7]。

長(zhǎng)期以來(lái)，中國(guó)學(xué)者對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容方面作出了很大的調(diào)整，而在高等數(shù)學(xué)中的貢獻(xiàn)卻是幾乎為零。實(shí)際上，數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不能夠隨意拆分的有機(jī)整體。中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)這兩者是相互關(guān)聯(lián)的，前者是后者的根本，而后者是前者的延續(xù)和補(bǔ)充，其各個(gè)部分相互間的聯(lián)系體現(xiàn)了其生命力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念以及增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的目的。

高數(shù)課程的數(shù)學(xué)思想和方法為一些中學(xué)數(shù)學(xué)中難以解決的問(wèn)題提供了新的方法和手段，幫助我們從更高的視角看待中學(xué)數(shù)學(xué)、在解決具體問(wèn)題的同時(shí)還時(shí)常能幫助我們更加深入地理解這些題目的實(shí)質(zhì)，從中厘清“為何這樣做”和應(yīng)當(dāng)“怎樣做”的問(wèn)題。

三、高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.高等幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例1（蝴蝶定理）若為圓O的一條弦，M平分.經(jīng)過(guò)M點(diǎn)任意引兩條弦AB和CD，連接AD、BC分別交弦于E、F。求證ME=MF.

證明一（弧不單單可以表示度數(shù)，還可以表示長(zhǎng)度，所以，在表示圓周角和它所對(duì)的弧度數(shù)相等時(shí)，要表達(dá)清晰。若是還未給出“度數(shù)”，在等于號(hào)上方要寫(xiě) ，它表示的是弧的“度數(shù)”;假如句子中有“度數(shù)”字樣，則不必加m 。如“弧BC的度數(shù)”。）

如圖1所示，作軸對(duì)稱(chēng)變換：

圖1

故四點(diǎn)共圓.

從而

因此

所以

證明二如圖2所示，經(jīng)過(guò)圓心O作AD與BC的垂線(xiàn)，

垂足為S、T，連接OE，OF，OM，OT，MT，MS.

在例1中如果只是應(yīng)用中學(xué)的幾何知識(shí)，如證明一和證明二來(lái)解題的話(huà)，能夠得到許多不一樣的解法，但是解答過(guò)程相對(duì)比較繁雜，而將高等幾何的交比概念應(yīng)用到該題的解題中，則證明起來(lái)就相當(dāng)簡(jiǎn)單了。

類(lèi)似證明三這種方法，運(yùn)用了高等數(shù)學(xué)中的交比概念，既能夠使結(jié)論得到驗(yàn)證，還將結(jié)論延展到二次曲線(xiàn)的情形。也就是把“蝴蝶定理”里的圓轉(zhuǎn)換成橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、一對(duì)平行線(xiàn)或是一對(duì)相交直線(xiàn)，結(jié)論仍然是成立的。

例2設(shè)線(xiàn)段MN為橢圓O上一條弦，E是MN的中點(diǎn)，由E點(diǎn)隨意畫(huà)出兩條弦PQ、RS，使得PS、RQ分別和弦MN相交，交點(diǎn)為W、T，證明：EW=ET.

證明如圖4所示。連接PM、PN、RM、RN，則以P為中心的線(xiàn)束被MN所截，有（PM，PQ，PS，PN）=（ME，WN），同理以R為中心的線(xiàn)束被MN所截，有（RM，RQ，QR，RN）=（MT，EN）=（MT，EN），由于弧度或弧長(zhǎng)一樣，則其所對(duì)之圓周角全部都相等，所以，，

所以有

即

又E為MN的中點(diǎn)，所以

高等幾何在課本中所編排的知識(shí)和中學(xué)教材上的相應(yīng)知識(shí)并非完全相同。在中學(xué)的數(shù)學(xué)課本里面，有關(guān)幾何部分的編排幾乎只是實(shí)例再展現(xiàn)概念和定理。然而在高等數(shù)學(xué)里卻不僅給出了定義、定理，而且再加以解釋、證明。此外對(duì)學(xué)生起到的訓(xùn)練是不同的，高等幾何使學(xué)生抽象思維得到鍛煉，而中學(xué)數(shù)學(xué)更多的是鍛煉學(xué)生的形象思維，角度不一樣，但對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題所得到的結(jié)果卻一樣。

2.矩陣在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例3 解出下面所給出的方程組

解法一：

第1方程乘以 ，加到第3方程即可得消去和，得到

將代入另外后兩個(gè)方程得和再用消元法即可求出. 則原方程組的解為

解法二：利用矩陣的表述方法和初等變換的工具，即可得到

對(duì)于方程組的概念，初中教材就有解題的方法介紹，消元法、代入法等都是中學(xué)數(shù)學(xué)用以解方程組的常用方法。而矩陣是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，利用矩陣的性質(zhì)可以簡(jiǎn)便地化解方程組，并且能夠?qū)⑺蠓匠探M解的情況清楚地展示，一目了然。

3.極限思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

微積分課程里面絕大部分的數(shù)學(xué)概念比如導(dǎo)數(shù)、積分等皆由極限進(jìn)行定義，所以，極限內(nèi)容它是微積分的基本概念之一。目前我國(guó)人教版中學(xué)課本里有關(guān)極限的嚴(yán)格定義并未做出明示，但大量教材內(nèi)容或者習(xí)題解答皆普遍應(yīng)用了極限思想方法。

新課程改革后的高中數(shù)學(xué)教材選修2-1第2.3.2節(jié)關(guān)于雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)內(nèi)容中，則以探究的表現(xiàn)形式給出：由學(xué)生自己動(dòng)手用教學(xué)軟件繪出雙曲線(xiàn)，給落在第一象限里面的部分當(dāng)中標(biāo)出點(diǎn)M，標(biāo)示出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)Xm并標(biāo)出其距直線(xiàn)的長(zhǎng)度，隨著Xm的距離（無(wú)限）增大而無(wú)限接近，但永遠(yuǎn)也不會(huì)相交。按教材中的方法，能夠知道雙曲線(xiàn)在另外三個(gè)象限和直線(xiàn)接近的情形。如此雙曲線(xiàn)的圖像就越發(fā)規(guī)范，準(zhǔn)確，并且快速，解決問(wèn)題亦更加方便，與此同時(shí)還讓我們通過(guò)有限的圖形了解到無(wú)限的思想[1]。

例4求出雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)方程.

解法一：雙曲線(xiàn)方程可化為：

漸近線(xiàn)的斜率

在y軸上的截距

故所求的漸近線(xiàn)方程為：

解法二：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為

由題目知所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為

由該例題中解法一直接運(yùn)用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程可以快速、簡(jiǎn)便地得到答案;而解法二則是從極限的角度出發(fā)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決，這一方法將漸近線(xiàn)的延伸趨勢(shì)形象地描述出來(lái)。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容里面相當(dāng)關(guān)鍵的一部分內(nèi)容，而該部分內(nèi)容大部分存在漸近線(xiàn)，新課改后中考和高考當(dāng)中皆將函數(shù)做為重點(diǎn)評(píng)測(cè)的知識(shí)點(diǎn)，函數(shù)題型比較新穎、解法靈活多變，要是能快速地捕捉到函數(shù)的圖象變化，再利用數(shù)形結(jié)合的方法就能又快又準(zhǔn)地解答函數(shù)題。在教學(xué)過(guò)程中，運(yùn)用極限的思想方法能夠?qū)⒑瘮?shù)漸近線(xiàn)的變化趨勢(shì)描述出來(lái)，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生體驗(yàn)漸近線(xiàn)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，幫助他們理解和掌握漸近線(xiàn)方程的原理。

4.微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

微分中值定理開(kāi)始成為微分學(xué)非常重要的一部分是從柯西開(kāi)始的，并且其在柯西的微積分理論體系中扮演著不可或缺的角色，發(fā)揮著至關(guān)關(guān)鍵的效能。比方說(shuō)用中值定理給出了洛必達(dá)法則的嚴(yán)格證明，并且泰勒公式的余項(xiàng)也是通過(guò)微分中值定理給出的，它也成為研究函數(shù)性態(tài)的重要[3]。

微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的運(yùn)用十分廣泛，許多中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著舉足輕重的作用，文中僅選取了柯西中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行論證?？梢钥吹嚼?證明一和證明二的解法表現(xiàn)了一特殊與一般的情況，證明方法一在高中數(shù)學(xué)解題中常用的方法，需要對(duì)未知量進(jìn)行分類(lèi)討論，過(guò)程繁瑣，容易錯(cuò)漏;而方法二只需判斷題干條件是否符合柯西中值定理，若是則直接利用中值定理進(jìn)行求解。

四、總結(jié)與展望

本文列舉了運(yùn)用高等幾何中交比、線(xiàn)性代數(shù)的矩陣、微積分的極限思想、微分中值定理等多種高數(shù)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。進(jìn)而得知從高等數(shù)學(xué)的知識(shí)出發(fā)，處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的某些疑難問(wèn)題往往會(huì)更加周全、更加深刻。高數(shù)的應(yīng)用能夠有效地鍛煉學(xué)生分析和處理問(wèn)題的技能，開(kāi)發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識(shí)。所以中學(xué)數(shù)學(xué)科任老師在講授知識(shí)的同時(shí)，如果能應(yīng)當(dāng)找出教材內(nèi)容與高數(shù)的衍接點(diǎn)，這樣就能夠比較好地引導(dǎo)、幫助學(xué)生分析、處理他們所遇到的一些比較深?yuàn)W的問(wèn)題，增強(qiáng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心以及掌握好更深層次數(shù)學(xué)知識(shí)的信心。高等數(shù)學(xué)給中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和解題提供了更寬闊的思路和幫助，給人以開(kāi)發(fā)和啟迪。

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作者簡(jiǎn)介：韋玉球（1981-），女，廣西都安人，研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育.