顧桂龍

一、直線與方程的應(yīng)用

重要知識(shí)

1.直線方程的五種形式

（1）點(diǎn)斜式：y-y1=k（x-x1）.

（2）斜截式：y=kx+b.

（3）兩點(diǎn)式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（x1≠x2，y1≠y2）.

（4）截距式：xa+yb=1（a≠0，b≠0）.

（5）一般式：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為0）.

2.三種距離公式

（1）A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)間的距離：

AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2.

（2）點(diǎn)到直線的距離：d=|Ax0+By0+C|A2+B2（其中點(diǎn)P（x0，y0），直線方程：Ax+By+C=0）.

（3）兩平行線間的距離：d=|C2-C1|A2+B2（其中兩平行線方程分別為l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0）.

3.當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時(shí)

（1）兩直線平行l(wèi)1∥l2k1=k2.

（2）兩直線垂直l1⊥l2k1·k2=-1.

題型分析

例1已知直線l1：mx+8y+n=0與l2：2x+my-1=0互相平行，且l1，l2之間的距離為5，求直線l1的方程.

解析：先根據(jù)兩直線平行確定參數(shù)m的值，再根據(jù)兩直線的距離確定參數(shù)n的值即可.

∵l1∥l2，∴m2=8m≠n-1.

∴m=4

n≠-2或m=-4

n≠2.

（1）當(dāng)m=4時(shí)，直線l1的方程為4x+8y+n=0，把l2的方程寫成4x+8y-2=0.

∴|n+2|16+64=5，解得n=-22或n=18.

所以，所求直線的方程為2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.

（2）當(dāng)m=-4時(shí)，直線l1的方程為4x-8y-n=0，l2的方程為2x-4y-1=0.

∴|-n+2|16+64=5，解得n=-18或n=22.

所以，所求直線的方程為2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.

點(diǎn)評(píng)：（1）求點(diǎn)到直線距離時(shí)，直線方程一定化成Ax+By+C=0的形式.

（2）求兩平行線間的距離時(shí)，一定化成l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的形式.

二、圓的方程

重要知識(shí)

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)圓心為（a，b），半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2+y2=r2.

2.圓的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，表示以（-D2，-E2）為圓心，D2+E2-4F2為半徑的圓.

題型分析

例2（1）若圓C經(jīng)過（1，0），（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸相切，則圓C的方程為.

（2）已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x=-2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長(zhǎng)為23，且與直線l2：2x-5y-4=0相切，則圓M的方程為.

解析：（1）由題意知圓C的半徑為2，且圓心坐標(biāo)可設(shè)為（2，b），因此有（2-1）2+（b-0）2=2，解得b=±3，

從而圓C的方程為（x-2）2+（y±3）2=4.

（2）由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為（a，0），a>-2，半徑為r，得（a+2）2+（3）2=r2

|2a-4|4+5=r，

解得滿足條件的一組解為a=-1

r=2，所以圓M的方程為（x+1）2+y2=4.

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題要根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问?解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：（1）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；（2）代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).

三、直線與圓的位置關(guān)系

重要知識(shí)

1.解答直線與圓的位置關(guān)系問題的兩種方法

（1）幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑長(zhǎng)r的大小關(guān)系來判斷.

若d>r，則直線與圓相離；若d=r，則直線與圓相切；若d

（2）代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)（也就是方程組解的個(gè)數(shù)）來判斷.

如果Δ<0，方程無實(shí)數(shù)解，從而方程組也無實(shí)數(shù)解，那么直線與圓相離；

如果Δ=0，方程有唯一實(shí)數(shù)解，從而方程組也有唯一一組實(shí)數(shù)解，那么直線與圓相切；

如果Δ>0，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，從而方程組也有兩組不同的實(shí)數(shù)解，那么直線與圓相交.

2.有關(guān)弦長(zhǎng)問題的兩種方法

（1）幾何法：直線被圓截得的半弦長(zhǎng)l2，弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2=（l2）2+d2；

（2）代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長(zhǎng)|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+1k2（y1+y2）2-4y1y2.

3.過一點(diǎn)求圓的切線的方法

（1）過圓上一點(diǎn)（x0，y0）的圓的切線方程的求法

先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為-1k，由點(diǎn)斜式方程可求切線方程.若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程x=x0.

（2）過圓外一點(diǎn)（x0，y0）的圓的切線方程的求法

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，切線方程為y-y0=k（x-x0），即kx-y+y0-kx0=0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程.當(dāng)斜率不存在時(shí)要加以驗(yàn)證.

題型分析

例3已知圓C：x2+y2-8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0.

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；

（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB=22時(shí)，求直線l的方程.

解析：將圓C的方程x2+y2-8y+12=0配方，得標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y-4）2=4，則此圓的圓心為（0，4），半徑為2.

（1）可以將直線與圓的方程聯(lián)立，消元后得到一個(gè)一元二次方程，根據(jù)判別式得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)a的等式，從而求解，或者根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑得到一個(gè)等式求解.

若直線l與圓C相切，則有|4+2a|a2+1=2.解得a=-34.

（2）利用圓心到直線的距離和弦長(zhǎng)一半以及半徑三者的關(guān)系建立等式求解.

過圓心C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，得

CD=|4+2a|a2+1，

CD2+DA2=AC2=22，

DA=12AB=2.解得a=-7或-1.

∴直線l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.

點(diǎn)評(píng)：（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：幾何法和代數(shù)法（根的判別式）.（2）關(guān)于圓的弦長(zhǎng)問題，可用幾何法從半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半所組成的直角三角形求解，也可用代數(shù)法的弦長(zhǎng)公式求解.

四、圓與圓的位置關(guān)系

重要知識(shí)

1.圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓有五種位置關(guān)系，分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.

外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離；外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.

兩圓相離——沒有公共點(diǎn)，兩圓相切——有唯一公共點(diǎn)，兩圓相交——有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

2.判斷兩圓的位置關(guān)系常用的方法是幾何法

判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，利用兩圓組成的方程組解的個(gè)數(shù)，不能判斷內(nèi)切與外切，外離與內(nèi)含.

題型分析

例4已知圓C1：（x-a）2+（y+2）2=4與圓C2：（x+b）2+（y+2）2=1，若兩圓相外切，則ab的最大值為；若兩圓相交，則公共弦所在的直線方程為.

解析：由圓C1與圓C2相外切，

可得（a+b）2+（-2+2）2=2+1=3，即（a+b）2=9，

根據(jù)基本不等式可知ab≤（a+b2）2=94，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

由題意得，把圓C1，圓C2的方程都化為一般方程.

圓C1：x2+y2-2ax+4y+a2=0，①

圓C2：x2+y2+2bx+4y+b2+3=0，②

由②-①得（2a+2b）x+3+b2-a2=0，

即（2a+2b）x+3+b2-a2=0為所求公共弦所在直線方程.

故答案為94，（2a+2b）x+3+b2-a2=0.

點(diǎn)評(píng)：1.處理兩圓位置關(guān)系多用圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷，一般不采用代數(shù)法.

2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.

五、圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

重要知識(shí)

1.圓錐曲線的定義

（1）橢圓：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）；

（2）雙曲線：||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）；

（3）拋物線：|PF|=|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.

2.圓錐曲線方程的求法

求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”.

（1）定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.

題型分析

例5（1）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線過點(diǎn)（2，3），且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=47x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為.

（2）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為.

解析：（1）由雙曲線的漸近線y=bax過點(diǎn)（2，3），可得3=ba×2.①

由雙曲線的焦點(diǎn)（-a2+b2，0）在拋物線y2=47x的準(zhǔn)線x=-7上，可得a2+b2=7.②

由①②解得a=2，b=3，所以雙曲線的方程為x24-y23=1.

（2）∵橢圓的離心率為32，∴ca=a2-b2a=32，

∴a=2b，∴橢圓方程為x2+4y2=4b2.

∵雙曲線x2-y2=1的漸近線方程為x±y=0，

∴漸近線x±y=0與橢圓x2+4y2=4b2在第一象限的交點(diǎn)為（255b，255b），

∴由圓錐曲線的對(duì)稱性得四邊形在第一象限部分的面積為255b×255b=4，∴b2=5，∴a2=4b2=20.∴橢圓C的方程為x220+y25=1.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay（a≠0），橢圓常設(shè)mx2+ny2=1（m>0，n>0），雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1（mn>0）.

六、圓錐曲線的幾何性質(zhì)

重要知識(shí)

1.橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系

（1）在橢圓中：a2=b2+c2，離心率為

e=ca=1-（ba）2.

（2）在雙曲線中：c2=a2+b2，離心率為

e=ca=1+（ba）2.

2.雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線方程為y=±bax.

3.拋物線的焦半徑

拋物線上任意一點(diǎn)P（x0，y0）到焦點(diǎn)F的距離稱為焦半徑.有以下結(jié)論（p>0）：

（1）對(duì)于拋物線y2=2px，|PF|=p2+x0；

（2）對(duì)于拋物線y2=-2px，|PF|=p2-x0；

（3）對(duì)于拋物線x2=2py，|PF|=p2+y0；

（4）對(duì)于拋物線x2=-2py，|PF|=p2-y0.

題型分析

例6（1）橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y=bcx的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是.

解析：設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1（-c，0），如圖，連接QF1，QF，設(shè)QF與直線y=bcx交于點(diǎn)M.

由題意知M為線段QF的中點(diǎn)，且OM⊥FQ.

又O為線段F1F的中點(diǎn)，

∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，

|F1Q|=2|OM|.

在Rt△MOF中，tan∠MOF=|MF||OM|=bc，|OF|=c，

可解得|OM|=c2a，|MF|=bca，

故|QF|=2|MF|=2bca，|QF1|=2|OM|=2c2a.

由橢圓的定義得|QF|+|QF1|=2bca+2c2a=2a，

整理得b=c，∴a=b2+c2=2c，故e=ca=22.

點(diǎn)評(píng)：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.

（2）若拋物線y2=4mx的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓x27+y23=1的左焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為.

解析：拋物線y2=4mx的準(zhǔn)線方程為x=-1m，橢圓x27+y23=1的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），

由題意知-1m=-2，所以實(shí)數(shù)m=12.

點(diǎn)評(píng)：涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.

七、直線與圓錐曲線位置關(guān)系

重要知識(shí)

直線與圓錐曲線位置關(guān)系與“Δ”的關(guān)系

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量（如y）得出方程Ax2+Bx+C=0.

①若A=0，則圓錐曲線可能為雙曲線或拋物線，此時(shí)直線與圓錐曲線只有一個(gè)交點(diǎn).

②若A≠0，則：

當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)（相交）；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與圓錐曲線沒有公共點(diǎn)（相離）.

在涉及直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一般不是求出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而是設(shè)出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立后所得方程的根的情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代入，這種設(shè)而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問題的最基本方法.

題型分析

例7過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，已知AB=613BC.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，若x軸上存在一定點(diǎn)M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程.

解析：（1）∵A（-a，0），設(shè)直線方程為y=2（x+a），B（x1，y1），

令x=0，則y=2a，∴C（0，2a），

∴AB=（x1+a，y1），BC=（-x1，2a-y1），

∵AB=613BC，∴x1+a=613（-x1），y1=613（2a-y1），

整理得x1=-1319a，y1=1219a，

∵點(diǎn)B在橢圓上，

∴（-1319）2+（1219）2·a2b2=1，∴b2a2=34，

∴a2-c2a2=34，即1-e2=34，∴e=12.

（2）∵b2a2=34，可設(shè)b2=3t，a2=4t，

∴橢圓的方程為3x2+4y2-12t=0，

由3x2+4y2-12t=0

y=kx+m，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12t=0，

∵動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，∴Δ=0，即64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12t）=0，

整理得m2=3t+4k2t，

設(shè)P（x1，y1），

則有x1=-8km2（3+4k2）=-4km3+4k2，

y1=kx1+m=3m3+4k2，

∴P（-4km3+4k2，3m3+4k2），

又M（1，0），Q（4，4k+m），

∵x軸上存在一定點(diǎn)M（1，0），使得PM⊥QM，

∴（1+4km3+4k2，-3m3+4k2）·（-3，-（4k+m））=0恒成立，整理得3+4k2=m2.

∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1.

∴橢圓的方程為x24+y23=1.

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長(zhǎng)公式等簡(jiǎn)化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問題時(shí)，也可用“點(diǎn)差法”求解.