范正良

摘 要 本文以我在柯橋小學(xué)六7班進(jìn)行數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之“數(shù)學(xué)思考”時所執(zhí)教的《圖形中的規(guī)律》一課為案例，進(jìn)行具體分析，對如何用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐闡述一些自己的見解。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想 教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）04-0034-03

【案例背景】

在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓形和簡單的組合圖形，會用字母表示數(shù)。學(xué)生可通過觀察、歸納進(jìn)行簡單的推理運(yùn)算，他們可以正確地填補(bǔ)數(shù)列“1，3，5，（ ），（ ）?！敝械目瞻滋幍臄?shù)字。

【案例描述】

一、探究圖形中蘊(yùn)含的規(guī)律

問題情境：（師）同學(xué)們，請你們用教具擺一個三角形，需要幾根小棒？兩個，三個呢？

生1：擺1個要3根，擺2個要6根，擺3個要9根。

生2：不對，擺2個只要5根，擺3個只要7根。（將自己擺的圖形指給老師看）

師：同學(xué)們思考都很積極，要表揚(yáng)。這道題目要用“分類討論”的思想，分兩種情況：①每個三角形獨(dú)自擺；②有一邊公用（用PPT展示）。下面讓我們一起來討論：

①每個三角形獨(dú)自擺放時：

其中3n=n€？，n表示三角形的個數(shù)。

②有一邊公用時：

誰能說出三角形的個數(shù)為n時，需要小棒的根數(shù)是幾根？

1.展示學(xué)生火熱的數(shù)學(xué)思考

（1）1+n€？ （2）3+（n-1）€？ （3）n€？-（n-1）

師：答案（1）怎么理解？

生1：（邊指邊說）擺第一個三角形時，先擺左邊的△的一邊，以后都只要擺2根小棒就可以了。共有n個三角形，因此是1+n€？。（其他學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同）

師：答案（2）中，“2”從哪里來？

生2：擺第1個三角形需3根小棒，以后每個三角形只需2根，共有（n-1）個，因此是3+（n-1）€？。（教師用PPT展示動畫）

師：那么答案（3）又如何理解呢？

生3：假設(shè)每個三角形都要3根小棒，共需n€？根，實(shí)際從第2個三角形起，每擺一個三角形只需2根小棒，多擺了1根，因此要減去1€祝╪-1），最后答案為n€？-（n-1）。

師：同學(xué)們都積極開動了腦筋，大家的思維很活躍。這3種答案都正確，并且都可以統(tǒng)一寫成2n+1。你們贊成嗎？

生：同意！

（教師在黑板上書寫1+n€？=2n+1，

3+（n-1）€？=3+2n-2=2n+1，

n€？-（n-1）=3n-n+1=2n+1）

師：同學(xué)們已能用符號表示數(shù)學(xué)式子。下面請大家回答PPT上顯示的幾道題目：

①擺15個三角形需要幾根小棒？

生4：15€？+1=30+1=31（根）

②照這種擺法，15根小棒可以擺幾個三角形？

生5：（15-1）€？=14€？=7（個）

2.同類圖形遷移、拓展

師：大家已掌握了三角形個數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系。讓我們一起來探究所擺圖形為正方形時的情況。特別強(qiáng)調(diào)：下面提到的所有組合圖形都是“一邊公用”的！

（同樣經(jīng)歷學(xué)生擺教具、小組交流討論、教師提問點(diǎn)評等環(huán)節(jié)，因與三角形的情況類似，故省略。）

PPT展示問題：①擺49個正方形需要幾根小棒？生6：49€？+1=147+1=148（根）②用49根小棒可以擺出幾個這樣的正方形？生7：（49-1）€？=48€？=16（個）

師：下面我們一起探究五邊形、六邊形的情形，請大家用教具擺擺看，發(fā)現(xiàn)有何規(guī)律？可以在小組內(nèi)交流討論。

（學(xué)生經(jīng)歷了前面的探究思考過程，對這一游戲活動興趣盎然。通過擺教具，在紙上畫草圖分析等自主探究，學(xué)生們很快找到了規(guī)律。）

生8：老師，五邊形有這樣的規(guī)律：小棒的根數(shù)=4€孜灞咝蔚母鍪？1。

師：真厲害，答對了！接著讓我們看看六邊形有什么規(guī)律？

同樣，學(xué)生不一會兒就找到了規(guī)律：小棒根數(shù)=5n+1（n為六邊形個數(shù)）。

師：完全正確！大家用掌聲鼓勵一下自己。今天我們所擺的圖形與所需小棒根數(shù)之間到底有著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請大家與同桌討論或小組內(nèi)交流。

（學(xué)生積極思考，將之前三角形、正方形、五邊形、六邊形與小棒之間的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想類比，并在小組內(nèi)認(rèn)真交流討論。）

師：有結(jié)論了嗎？請大家一起響亮地回答。

生：小棒的根數(shù)=（圖形邊數(shù)-1）€淄夾胃鍪？1

3.鞏固與發(fā)展

問題一：1張方桌可坐4人，2張方桌可坐6人。則：

①5張方桌可坐幾人？②n張方桌可坐幾人？ ③坐16人需要幾張方桌？

問題二：猜數(shù)游戲4，7，10，13，（ ），（ ），……（ ）

前兩個括號中填入正確的數(shù)，最后一個括號中填入含n的式子。

問題三：觀察下列圖形，找出三角形個數(shù)與正方形個數(shù)之間的關(guān)系。

……

二、教學(xué)總結(jié)

（一）數(shù)學(xué)知識

用字母表示數(shù)；三角形、正方形、五邊形、六邊形等幾何圖形。

（二）數(shù)學(xué)思想方法

1.分類。一種按數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。案例中教師將擺放的三角形分為單獨(dú)擺放的和有一條邊重合（公用）兩種情況，做到了“不重復(fù)、無遺漏、標(biāo)準(zhǔn)同一”。

2.歸納法。通過對一些個別的、特殊的情況加以觀察，分析，進(jìn)而導(dǎo)出一個一般性結(jié)論的推理方法。案例中教師讓學(xué)生觀察三角形個數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系時，三角形個數(shù)從1，2，3一直增加到n，小棒根數(shù)也從3，6，9一直增加到3n，從特殊到一般，正是歸納法的特點(diǎn)。歸納法的本質(zhì)特征是從已知到未知，從特殊到一般，從個性到共性，從經(jīng)驗事實(shí)到事物內(nèi)在規(guī)律的飛躍過程。此外，案例中教師引領(lǐng)學(xué)生從三角形、正方形類比推理到五邊形、六邊形直至任意多邊形，經(jīng)歷了表層類比（形式或結(jié)構(gòu)上的簡單類比）、深層類比（方法或模式上的縱向類比），牢牢抓住這些圖形公用一邊（公用1根小棒），從而探索、歸納出規(guī)律。

（三）學(xué)法指導(dǎo)

當(dāng)我們遇到一個復(fù)雜的問題時，先從特殊的、簡單的情況著手解決，并獲得一定的初步經(jīng)驗，再把該經(jīng)驗推廣到一般的情況，提出猜想，通過驗證這個猜想來獲得新的知識（案例中教師讓學(xué)生說說他們各自答案的由來即是對猜想的驗證）。

【案例評價】

2011版義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法?！?/p>

本案例正是遵循了這一原則，重視培養(yǎng)學(xué)生操作、歸納、猜想和推理能力，努力讓學(xué)生體驗成功解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的喜悅。本案例還具有以下特點(diǎn)：

1.將數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)有機(jī)地結(jié)合起來；

2.研究學(xué)生，研究教材，積極改進(jìn)數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式。第一，找準(zhǔn)教學(xué)的起點(diǎn)。案例中教師把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并用數(shù)學(xué)語言（字母）表述數(shù)學(xué)規(guī)律和總結(jié)獲得規(guī)律的方法上。第二，改進(jìn)數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式。教師在尊重教材的基礎(chǔ)上，把教材當(dāng)做教學(xué)資源，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際創(chuàng)造性地對教材內(nèi)容進(jìn)行有目的的挖掘、選擇、補(bǔ)充和調(diào)整。案例中教師把表格中的“10”這一具體數(shù)字換成字母n，增加了題目的難度，這是基于柯橋小學(xué)整體的數(shù)學(xué)教學(xué)水平較高和學(xué)生整體認(rèn)知水平較高的基礎(chǔ)上的。而且，教師增加了五邊形、六邊形兩個例子，并對高中將要學(xué)習(xí)的數(shù)列知識中的通項公式也在練習(xí)題中進(jìn)行了簡單的闡述，使學(xué)生有一初步的印象。

3.尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和重視歸納猜想方法的掌握與運(yùn)用。案例中教師認(rèn)真聽取學(xué)生的意見，充分詳盡地展示了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，及時恰當(dāng)?shù)卦u價學(xué)生的想法。教師把探究知識的自主權(quán)交給學(xué)生，在引領(lǐng)學(xué)生正確得出規(guī)律后，教師通過幾道練習(xí)題讓學(xué)生在具體應(yīng)用中及時掌握知識和方法，并學(xué)會靈活運(yùn)用。

4.歸納猜想方法的表述符合學(xué)生的實(shí)際。由于小學(xué)生的思維發(fā)展處于具體形象思維和抽象思維的過渡階段，且主要是具體的形象思維。因此，教師要用自然語言結(jié)合數(shù)學(xué)例子加以說明。歸納猜想方法的教學(xué)設(shè)計始終要遵循“多次孕育”“初步理解”“簡單應(yīng)用”這一順序。

三、進(jìn)一步思考

我國古代兵書《三十六計》開篇寫道：“六六三十六，數(shù)中有術(shù)，術(shù)中有數(shù)?！闭f明古人早已意識到數(shù)學(xué)與方法、策略之間的密切關(guān)系。

數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的根源，還是解決具體問題的“向?qū)А?。因此，在具體的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)充分重視并利用數(shù)學(xué)思想，努力在學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)、游戲活動、日常生活中滲透數(shù)學(xué)思想，達(dá)到潛移默化的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧泠沅，朱成杰.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.

[2]婁阿鳳.把數(shù)學(xué)思想滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起始階段[J].生活教育，2011，（08）.

（責(zé)任編輯 劉 馨）