【摘要】“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的領(lǐng)域，它承載著極其豐富的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容?？茖W(xué)有效的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅能幫助學(xué)生理解幾何形體的特征，體驗(yàn)幾何原理的生長(zhǎng)過(guò)程，也是學(xué)生建立和發(fā)展空間觀念、提升數(shù)學(xué)學(xué)力、培育數(shù)學(xué)情感的重要途徑。

【關(guān)鍵詞】“圖形與幾何”；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；幾何學(xué)習(xí)；空間觀念；范式建構(gòu)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）09-0031-03

【作者簡(jiǎn)介】毛新薇，江蘇省江陰市徐霞客實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇江陰，214406）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師，無(wú)錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

在“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)，能夠借助一定的工具，開(kāi)展平移、折疊、拼合等積極的實(shí)踐活動(dòng)，在“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程中理解知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展空間觀念與空間想象力。在教學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容時(shí)開(kāi)展科學(xué)有效的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅能幫助學(xué)生正確理解幾何形體的特征，體驗(yàn)幾何原理的生長(zhǎng)過(guò)程，也有助于學(xué)生建立和發(fā)展空間觀念、提升數(shù)學(xué)學(xué)力、培育數(shù)學(xué)情感。

一、尋繹：教材文本中的實(shí)驗(yàn)基因

在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“圖形與幾何”領(lǐng)域包括圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、運(yùn)動(dòng)與位置這四大內(nèi)容。依據(jù)實(shí)驗(yàn)的目的，筆者將這四大內(nèi)容中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為理解型、探究型和驗(yàn)證型三類(lèi)。理解型實(shí)驗(yàn)有：圓錐的認(rèn)識(shí)；做圓柱與圓錐，求底面周長(zhǎng)與底面積；量圓錐實(shí)物，理解高與底面；理解平面圖繪制中各部分的占地形狀；等等。探究型實(shí)驗(yàn)有：圓柱的認(rèn)識(shí)；選擇合適規(guī)格的鐵皮做長(zhǎng)方體；等等。驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)有：擺正方體，從不同方向觀察其形狀；折正方體并展開(kāi)，驗(yàn)證其展開(kāi)圖；等等。

二、建構(gòu)：“圖形與幾何”領(lǐng)域中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作范式

筆者重點(diǎn)提煉了“圖形的認(rèn)識(shí)”“圖形的測(cè)量”“圖形的運(yùn)動(dòng)”這三個(gè)范疇中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的范式。在具體實(shí)施時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)具體情況靈活調(diào)整，形成適合教學(xué)實(shí)際的“變式”，以更好地提高實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有效性。

1.“圖形的認(rèn)識(shí)”的實(shí)驗(yàn)范式。

“圖形的認(rèn)識(shí)”是空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，它是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，其大部分內(nèi)容均與概念教學(xué)有關(guān)，屬于“形概念”教學(xué)?！皥D形的認(rèn)識(shí)”的實(shí)驗(yàn)范式如圖1所示：

2.“圖形的測(cè)量”的實(shí)驗(yàn)范式。

“圖形的測(cè)量”是學(xué)生三維空間觀念逐步建構(gòu)和完善的過(guò)程，主要包括長(zhǎng)度、面積、體積的度量和圖形周長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算公式推導(dǎo)兩大部分。筆者以計(jì)算公式的推導(dǎo)為例，說(shuō)明“圖形的測(cè)量”的實(shí)驗(yàn)范式（如圖2）。

3.“圖形的運(yùn)動(dòng)”的實(shí)驗(yàn)范式。

“圖形的運(yùn)動(dòng)”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生從平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)變換等運(yùn)動(dòng)變化的角度認(rèn)識(shí)圖形，了解圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，感受、欣賞圖形的美，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能，其實(shí)施范式如圖3所示：

三、深耕：“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)嶒?yàn)教學(xué)的智性實(shí)踐

1.理解型實(shí)驗(yàn)：“高觀點(diǎn)”下洞悉“圖形與幾何”知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

理解型實(shí)驗(yàn)是為了讓學(xué)生形成“形概念”，理解圖形的特征，體驗(yàn)圖形的多方面性質(zhì)（如度量性質(zhì)、組合性質(zhì)、穩(wěn)定性質(zhì)等），體悟定理、公式產(chǎn)生的原理而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)。教師應(yīng)站在“制高點(diǎn)”上審視理解型實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，根據(jù)學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生真正洞悉幾何知識(shí)的本質(zhì)屬性。

（1）多元突破：豐盈學(xué)生的感知力

根據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，教師可以采取多種途徑與方法來(lái)幫助學(xué)生感知幾何知識(shí)。表1中列舉了幾種實(shí)驗(yàn)方法。

（2）舉象會(huì)意：豐滿學(xué)生的表象力

教師要通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給予學(xué)生豐富的表象，讓學(xué)生通過(guò)表象來(lái)領(lǐng)會(huì)幾何知識(shí)的意義，從而使他們更好地進(jìn)行抽象的“思”。例如：蘇教版三上《軸對(duì)稱(chēng)圖形》的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，一是從生活實(shí)例中抽象出軸對(duì)稱(chēng)圖形，讓學(xué)生通過(guò)觀察直觀建立“前表象”概念；二是通過(guò)折一折、比一比等操作活動(dòng)概括軸對(duì)稱(chēng)圖形的本質(zhì)屬性，尋求其背后的物質(zhì)表象，建立“準(zhǔn)表象”概念；三是借助長(zhǎng)方形、正方形紙片等工具，設(shè)計(jì)、創(chuàng)造一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，以此豐富學(xué)生的元認(rèn)知表象，實(shí)現(xiàn)內(nèi)化與躍遷。

（3）逐層推進(jìn)：豐厚學(xué)生的理解力

教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，要按照知識(shí)的邏輯程序和學(xué)生的認(rèn)知程序進(jìn)行梯度式實(shí)驗(yàn)，分層推進(jìn)，逐步建構(gòu)。例如：教學(xué)蘇教版五下《圓的認(rèn)識(shí)》，教師先呈現(xiàn)圓形的實(shí)物圖形，讓學(xué)生感受圓的基本特征，這對(duì)應(yīng)學(xué)生對(duì)感官型概念理解的心理水平；其次，讓學(xué)生用圓規(guī)或自主設(shè)計(jì)畫(huà)圓工具來(lái)畫(huà)圓，概括圓的本質(zhì)屬性，這對(duì)應(yīng)學(xué)生對(duì)工具型概念理解的心理水平；最后，讓學(xué)生用圓形圖片模擬車(chē)輪沿桌面邊緣滾動(dòng)，猜想車(chē)軸的運(yùn)動(dòng)軌跡并解釋將車(chē)軸裝在圓心的原理，這對(duì)應(yīng)學(xué)生對(duì)關(guān)系型概念理解的心理水平。三層實(shí)驗(yàn)和三度思考，有助于學(xué)生深入地理解圓的概念。

2.探究型實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生深入進(jìn)行幾何學(xué)習(xí)。

探究型實(shí)驗(yàn)是指學(xué)生事先不知道結(jié)論，通過(guò)開(kāi)展有針對(duì)性的探究實(shí)驗(yàn)活動(dòng)獲取結(jié)果。在教學(xué)幾何圖形的定理、公式時(shí)，教師可以借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生深入進(jìn)行探究活動(dòng)，親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，體驗(yàn)探究成功的樂(lè)趣。

（1）“姿態(tài)”大氣：從控權(quán)到放權(quán)

教師要做到“姿態(tài)大氣”：在理念上，要從只關(guān)注知識(shí)技能培養(yǎng)走向關(guān)注人的發(fā)展；在方式上，要從離身學(xué)習(xí)走向具身學(xué)習(xí)；在材料上，要從封閉單一走向開(kāi)放多元；在過(guò)程上，要從小步子推進(jìn)走向大空間探究。當(dāng)然，“放權(quán)”不是放任自流，當(dāng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)受阻或偏離方向時(shí)、實(shí)驗(yàn)方法不科學(xué)或數(shù)據(jù)失真時(shí)、探究結(jié)論遇到困難時(shí)，都需要教師的指點(diǎn)、幫助和引領(lǐng)。

（2）過(guò)程完整：從操作到內(nèi)化

鄭毓信教授曾指出：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要實(shí)現(xiàn)對(duì)操作層面的必要超越?！睌?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的外化與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的內(nèi)化是相互統(tǒng)一的，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不能停留于實(shí)驗(yàn)操作的層面，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中實(shí)現(xiàn)必要的重構(gòu)，在活動(dòng)過(guò)程中理解幾何對(duì)象的內(nèi)在屬性，提升幾何思維水平。

（3）視野完好：從現(xiàn)象到本質(zhì)

在實(shí)驗(yàn)時(shí)，學(xué)生往往只會(huì)關(guān)注那些表面的、外在的、直觀的現(xiàn)象，而很難深入知識(shí)的深層內(nèi)核，挖掘知識(shí)的本質(zhì)，這就需要教師加以引導(dǎo)，幫助學(xué)生體悟現(xiàn)象背后的本質(zhì)屬性。例如：蘇教版五上《平行四邊形的面積》實(shí)驗(yàn)教學(xué)結(jié)束時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)背后的本質(zhì)，感受平行四邊形可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，從而對(duì)圖形的特征及其內(nèi)在關(guān)系建立起基本的數(shù)學(xué)感覺(jué)。

3.驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)：開(kāi)掘?qū)W生幾何學(xué)習(xí)的潛能。

驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)是指學(xué)生已經(jīng)知道或者大概知道結(jié)論，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作和觀察、記錄、分析等手段，嘗試運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法對(duì)已有的數(shù)學(xué)猜想給出證明或“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的實(shí)驗(yàn)。這類(lèi)實(shí)驗(yàn)對(duì)學(xué)生推理能力、實(shí)踐能力和理性精神的培養(yǎng)有著不可替代的作用。

（1）猜想：驗(yàn)證的起點(diǎn)

教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)推導(dǎo)大膽地提出自己的合理猜想，同時(shí)要追問(wèn)學(xué)生猜想的依據(jù)是什么，幫助學(xué)生調(diào)整思路、篩選結(jié)果，不斷提高學(xué)生的猜想水平。如教學(xué)蘇教版六下《長(zhǎng)方體的體積》練習(xí)課時(shí)，有這樣一道題目：把一張長(zhǎng)5cm、寬4cm的長(zhǎng)方形紙分別繞它的長(zhǎng)和寬旋轉(zhuǎn)一周，形成的物體是什么形狀？它的體積最大是多少？教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度猜想：一是利用已有生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)猜想；二是融入動(dòng)態(tài)表象，讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)態(tài)操作想象，使長(zhǎng)方形在他們頭腦中“動(dòng)”起來(lái)，建立起一個(gè)連續(xù)、漸變的圓柱表象。

（2）實(shí)驗(yàn)：驗(yàn)證的基點(diǎn)

教師通過(guò)設(shè)計(jì)多維互證的方式，讓學(xué)生采用多種方法來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。例如：教學(xué)蘇教版六下《圓錐的體積》時(shí)，在學(xué)生猜測(cè)后，教師可以提供多種實(shí)驗(yàn)材料，讓學(xué)生分組驗(yàn)證。面對(duì)富有挑戰(zhàn)性的實(shí)驗(yàn)材料，學(xué)生可能會(huì)想出多種驗(yàn)證方案：用橡皮泥捏等底等高的圓柱與圓錐尋求體積關(guān)系；削圓錐形蘿卜后稱(chēng)重量比較；通過(guò)注水法探求體積關(guān)系；等等。然后引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中印證圓錐體積公式的合理性。

（3）有本有源地思辨：驗(yàn)證的落腳點(diǎn)

為了使學(xué)生避開(kāi)操作誤差的干擾，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行思想實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)進(jìn)行理性的思辨尋求結(jié)論背后的理論支撐，以增強(qiáng)結(jié)論的可信度。例如：教學(xué)《圓錐的體積》一課，在學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作獲得結(jié)論后，教師可以以“你知道嗎”的形式補(bǔ)充圓錐體積的推導(dǎo)過(guò)程：用平行于圓錐底面的平面把它切成一些近似的小圓柱，將這些小圓柱的體積求和就近似于原來(lái)圓錐的體積，切成小圓柱的份數(shù)越多，結(jié)果就越精確。這樣的理性推導(dǎo)，直抵圓錐公式的本源，既與操作的結(jié)論相印證，又能拓展學(xué)生的知識(shí)視界，培養(yǎng)學(xué)生的分析、推理能力，讓學(xué)生的驗(yàn)證真正落到知識(shí)本源處。

總之，從本質(zhì)上看，學(xué)習(xí)是一種基于經(jīng)驗(yàn)的自然生長(zhǎng)。生長(zhǎng)需要土壤、水分和陽(yáng)光，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)因其獨(dú)特的內(nèi)在價(jià)值，能夠成為學(xué)生空間觀念培養(yǎng)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的加速器，能夠賦予學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)以生長(zhǎng)的力量。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學(xué)版＼2017＼02＼KT1.TIF>

【參考文獻(xiàn)】

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注：本文獲2016年江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，有刪改。