◎范連眾 孔凡哲

對指向?qū)W科核心素養(yǎng)的初中數(shù)學教科書的理解
——以“整式的加減”為例

◎范連眾 孔凡哲

我國當前正在使用的各版本的初中數(shù)學教科書，在“整式加減”一章的修訂中表現(xiàn)出了高度的一致，這既不符合教科書“一標多本”的教材建設(shè)體制的初衷，又將教科書的內(nèi)容設(shè)計局限于數(shù)學學科思維的羈絆。指向培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)的數(shù)學教科書的理解，應依托數(shù)學學科核心知識，指向數(shù)學思維發(fā)展過程中所帶給學生的文化修養(yǎng)與品格塑造、注意學習情境的主題化與生活化、學習內(nèi)容的典型性與可遷移性、編排設(shè)計的螺旋化等設(shè)計策略的運用。

學科核心素養(yǎng)；初中數(shù)學；教科書

一、問題的提出：教科書修訂后的困惑

我國從1986年開始，改革“一綱一本”的通用教材，實行“一標多本”的教材建設(shè)體制，這是中國近代數(shù)學教育史上的重要轉(zhuǎn)折，標志著中央對教材建設(shè)方面的課程權(quán)力進行了適當?shù)南路?。實行教材多樣化的政策的緣由是由于中國幅員廣大，經(jīng)濟文化發(fā)展很不平衡，義務教育的內(nèi)容應該因地制宜，有所不同。各地可以根據(jù)當?shù)氐膶嶋H狀況，自主地選擇優(yōu)質(zhì)教材，提高教材的使用效率，同時也激活教材出版，有利于形成了良性的競爭市場。2001年，在教育部頒布的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》的指導下，北師大、華師大、人教社等多家出版社先后通過審核并發(fā)行了義務教育課程標準實驗教科書。十年后，教育部修訂并發(fā)布了《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，各家出版社也開始發(fā)行修訂后的義務教育教科書，新修訂的初中數(shù)學教科書都已通過審核并被使用。2014年，國家公布了《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)的框架》（征求意見稿），我國的基礎(chǔ)教育將走入“核心素養(yǎng)”時代，這給教師研究和使用教科書提供了廣闊的空間。

對當前主要版本的教科書中“整式及其加減”的內(nèi)容編排進行比較，可以發(fā)現(xiàn)，修訂后的教科書“雷同”現(xiàn)象較為突出。首先，修訂后的各版本教科書在內(nèi)容選擇上高度一致，都把用字母表示數(shù)、列代數(shù)式、求代數(shù)式的值、單項式、多項式、整式、單項式系數(shù)、次數(shù)、多項式的項數(shù)、次數(shù)的概念、合并同類項、去括號、整式的加減做為主要內(nèi)容，只是北師版增加了探索與表達規(guī)律，華師版介紹了多項式的升降冪排列，青島版將函數(shù)的初步知識融合進來。其次，在結(jié)構(gòu)安排上，修訂前有三個版本的教科書安排了兩章，按螺旋上升式進行編排。修訂后有兩個版本都變兩章為一章，七個版本中有六個表現(xiàn)出了高度的統(tǒng)一。最后，在邏輯順序上，絕大多數(shù)版本都是按字母表示數(shù)—代數(shù)式—代數(shù)式的值—整式及其加減的順序進行。那么，是不是這部分內(nèi)容的特點決定了這種編排的唯一性呢？

二、蘊含在建立“符號意識”過程中的數(shù)學思維與學生發(fā)展

“整式加減”的學習是建立在學生學習了有理數(shù)的基礎(chǔ)之上，傳統(tǒng)的內(nèi)容包括字母表示數(shù)、代數(shù)式、整式、合并同類項、去括號、整式的加減運算等，這些內(nèi)容既是對有理數(shù)的概括與抽象，又是后繼學習整式的乘除、分式和根式的運算、方程、函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，還是學習物理、化學等學科及其他科學技術(shù)不可缺少的工具。這部分內(nèi)容是培養(yǎng)和發(fā)展學生符號意識的重要素材。

羅素說過：數(shù)學就是符號加邏輯。所謂符號，就是針對具體事物抽象概括出來的一種簡略的記號或代號，數(shù)、字母、圖形、關(guān)系式等，都是符號。數(shù)學符號是數(shù)學的語言，是數(shù)學的思維工具，同時還是數(shù)學知識和數(shù)學思維方法的載體，數(shù)學知識只有通過數(shù)學語言的表述才能被人們掌握、理解、應用和交流。數(shù)學符號具有形式上的簡潔性、內(nèi)涵的精確性、使用上的統(tǒng)一性、應用上的可操作性等特點，同時數(shù)學符號還具有簡約思維、提高效率、便于交流的功能。

Abraham A認為，符號意識主要包括六個成分：對符號的理解和審美能力、對符號表達式的理解及運算能力、用符號關(guān)系式表征言語和圖像信息的意識、選擇恰當符號表征問題的能力、判斷與比較符號的多種含義的意識、對不同情境下符號所起不同作用的直覺感?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中指出，“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性?！睂Α胺栆庾R”的理解應該與對“數(shù)感”的理解有所區(qū)分，“感”是指對數(shù)學對象中隱含的意義整體性地領(lǐng)悟感受，“意識”則是建立在學生數(shù)學思維活動經(jīng)驗之上，需要通過學生努力而形成的一種直覺之上、能力之下的一種積極的心理傾向。對于學生而言，數(shù)學符號是學好數(shù)學的基礎(chǔ)，建立符號意識將有助于理解符號的意義，有助于有效地運用符號解決問題，有助于理解符號的使用是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式，從而有助于學生更好學習數(shù)學和發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)。

義務教育階段，學生用符號表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系是一個漸進的過程。在小學階段，學生經(jīng)歷了從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)并應用單一運算符號進行數(shù)的運算的第一次抽象。在初中階段，將用字母表示數(shù)及其數(shù)量關(guān)系，從研究一個個特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，其抽象程度顯然超過了小學階段抽象出數(shù)的過程，是學生的認識上的一個階段性的飛躍。在初等代數(shù)中，用字母表示既包括用字母表示數(shù)，表示公式、運算律，現(xiàn)實世界和各門學科中的各種數(shù)量關(guān)系，還包括表示變化規(guī)律等等。因此各版本教科書都在字母表示數(shù)這一節(jié)中安排了這四個方面的例子，北師版更是單獨設(shè)立一節(jié)來用字母表示變化規(guī)律，青島版還將用字母表示變量、常量及它們之間的關(guān)系融合在用字母表示數(shù)這一節(jié)課中，應該說是一種有益的探索。

對于符號的解釋，教科書可以通過課堂練習或者課后作業(yè)來進行適當?shù)臐B透，例如對代數(shù)式“4a”都可以怎樣解釋的問題。而對于符號的運算，湘教版修訂前的教科書進行了嘗試，在第二章中先學習一次式的加減，在第四章中再學習較復雜的多項式的加減。而臺灣的教科書則安排得更為合理，在學生學習了單項式的概念之后，增加了單項式與一個數(shù)相乘，讓學生體會乘法交換律、結(jié)合律在式的運算中的應用，在學習完多項式的概念之后，同樣安排了多項式與數(shù)的乘法運算，這樣既體會到了乘法分配律的應用，又總結(jié)了去括號的方法，這樣的內(nèi)容設(shè)計，值得國內(nèi)的教材編寫者學習。對于幫助學生理解符號之間相互轉(zhuǎn)換的問題，臺灣的教科書更具有特色一些，他們通過讓學生利用多種方法解決一些與自己熟悉的生活之中的實際問題，來加深學生對符號的理解，發(fā)展學生的符號意識和推理能力。

在利用符號解決現(xiàn)實問題這個領(lǐng)域，各版本教科書都利用課前引例、課堂例題、課堂練習和課后作業(yè)等各種機會進行滲透。只是哪些實際問題更與學生的生活實際相聯(lián)系，問題解決更有挑戰(zhàn)性方法還存在差異。有些教科書中的實際問題的成人眼光太強了些，有些問題現(xiàn)實性弱了些，人為編造的痕跡強了些，追求應用角度的面面俱到，對一個問題的描述超過幾十字，超出了學生的經(jīng)驗理解。

三、跳出學科思維的羈絆，指向培養(yǎng)學生發(fā)展的核心素養(yǎng)

教科書是以課程標準為基礎(chǔ)，依據(jù)教學規(guī)律，由學科專家編寫，經(jīng)權(quán)威組織審定，供學校施教使用的文本教學材料。教科書是學生直接的學習對象，是理解課程內(nèi)容并實現(xiàn)課程目標的媒介，其重要性不言而喻。在教科書編寫的過程中，學科專家的學科思維起著重要的作用。

“整式的加減”這部分內(nèi)容的嚴謹性、連貫性，層層遞進和深入，表現(xiàn)出了典型的數(shù)學思維，即便是刪刪減減，也都是以和后繼學習相關(guān)聯(lián)。但“整式的加減”僅僅是學生代數(shù)學習的起點和基礎(chǔ)，學生在以后的方程、函數(shù)的學習過程中，都將不斷地加深對其理解，過早地將這部分內(nèi)容完備化、邏輯化，不見得是最科學的方法。比如前面提到過的去括號，利用乘法分配律學生可以自然地遷移和理解，嚴謹?shù)?、程序化的的去括號法則反而會將學生帶入了程序化的思維空間。

再如本章的數(shù)學概念繁多，學科專家大都采用從特殊到一般，從具體實例到代數(shù)抽象的處理方式，將學生的思維固化為簡單的類比和抽象，給學生帶來深刻體驗的是對概念的辨析和應用，而不是對生活的數(shù)學理解。同時，由于教學目標的多元性，教學對象的多樣性，教學情境的復雜性，不存在一種絕對有效和最優(yōu)的、在各種情況下都適用的教科書編寫策略。但是，選擇或建構(gòu)一種教科書編寫策略，對于教科書的編寫、修訂和理解，仍然是十分重要。為此，筆者提出以下策略。

（一）以一兩個主問題情境，貫穿符號理解學習的始終

感受符號學習的必要性是學生建立符號意識的前提已成為共識，如果學生一開始就不理解符號的含義，那么接下來的操作過程必定是是機械的、無意義的。當下的教科書無論是概念引入，還是例題習題，提供的問題情境比較多，每一個概念、符號的引入都有不同的情境，學生在建立符號意識的開始要接受的第一個挑戰(zhàn)就是在各種新情境中完成從生活到數(shù)學的抽象，而實際上完成一個情境下的一個例子，是無法實現(xiàn)這一情境類型下的模型建立和數(shù)學抽象，更可況要實現(xiàn)不同情境下對同一個數(shù)學概念或數(shù)學模型的抽象，這無疑增加了學生學習的難度。事實上，以整式加減的學習為例，無論是用字母表示數(shù)、代數(shù)式、整式等概念的學習，還是合并同類項、去括號等法則的學習，都可以利用現(xiàn)實生活中的購買商品的問題情境或者是一個數(shù)學內(nèi)部需找規(guī)律的問題情境來貫穿始終。學生在一個熟悉的、穩(wěn)定的學習背景下，就會把注意力集中到抽象本質(zhì)的思維中，有利于完成學習目標。

（二）抓住學科知識的內(nèi)涵實質(zhì)，發(fā)展數(shù)學學習的可遷移性

眾所周知，式的學習要與數(shù)的學習進行類比，運算律在式的運算中同樣成立。然而對學生而言，只用貼標簽的方式并不足以讓學生信服和理解。既然要學生運用符號進行運算和轉(zhuǎn)換，抓住數(shù)學本身的內(nèi)涵實質(zhì)，感受符號轉(zhuǎn)換的合理性就顯得十分重要。例如讓學生用不同的方法計算a盒大包裝和b盒小包裝糖果的價錢，就讓學生自然而然地理解字母參與運算的法則，這一思考問題的過程就是數(shù)學思考的過程，發(fā)展符號意識也就是讓學生運用符號進行思考，這也是數(shù)學抽象、推理和模型思想的集中反映?？梢杂嬎闾枪膬r錢類似，計算不同商品的包裝價格可以繁衍出與“整式的加減”有關(guān)的很多數(shù)學概念和運算規(guī)則。而將包裝問題、出租車的計費問題、通訊費的計算問題等不同情境下的實際問題相聯(lián)系、相比較，真正對學生創(chuàng)造自主思考、合作探究的機會，就可以使學生的文化修養(yǎng)和品格塑造在豐富的數(shù)學活動和問題解決過程中得以實現(xiàn)。

（三）恰當運用螺旋式上升原則，降低學習難度

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》就明確指出，在編制數(shù)學教科書時，重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則。恰當?shù)剡\用螺旋式上升的教科書編寫方法，關(guān)鍵就是尋求“窄而深”課程設(shè)計風格與“廣而淺”課程設(shè)計風格之間的某種平衡。這個平衡點的尋找，既要在每門課程的整體設(shè)計上尋求“可比深度”與“可比廣度”的平衡,也要在每門課程的不同內(nèi)容之間因地制宜、因時制宜，針對不同的局部內(nèi)容采用“窄而深”“廣而淺”甚至“少而深”的課程設(shè)計風格，以求得適宜的課程整體難度?！罢郊捌浼訙p”雖然是基礎(chǔ)內(nèi)容，雖然可以集中到一個章節(jié)進行學習，但是采用直線式還是螺旋式，各版本的教科書還應根據(jù)自身的編排優(yōu)勢，各具特色，表現(xiàn)出了不同的方法。例如青島版就采用了螺旋式，將函數(shù)的初步知識融合在字母表示數(shù)的學習之中，使函數(shù)的學習提前，也為下一個螺旋的開始做好了鋪墊。湘教版先安排一次式的加減的學習，再對多項式及其加減深入學習，這對于基礎(chǔ)稍弱的中西部地區(qū)的學生是十分有利的。而對于直線式的安排，也要考慮課程的難度，如單項式次數(shù)、系數(shù)，多項式次數(shù)、項數(shù)的學習，應分開安排，如果集中安排，要控制例習題的數(shù)量和難度，發(fā)展無疑會增加課程的廣度與深度，引發(fā)學生學習的困難。

總之，學生的數(shù)學學習內(nèi)容應該是豐富多彩的，學習方式應該是多種多樣的，對初中數(shù)學教科書的理解在思考學科思維的嚴謹性、完備性、科學性的同時，一定還應該以切實培養(yǎng)學生發(fā)展核心素養(yǎng)為中心，把握初中學生的思維特點，抓住學科知識的真正內(nèi)涵，吸收借鑒國際上教科書研究的先進經(jīng)驗，考慮到我國基礎(chǔ)教育的現(xiàn)狀，揚長避短，不斷創(chuàng)新，才能發(fā)揮教科書應有的作用，實現(xiàn)教育目標。

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[3]姜寧寧，李瑩.符號意識的內(nèi)涵及培養(yǎng)策略[J].基礎(chǔ)教育論壇.2013（10） .

范連眾，大連市甘井子區(qū)教師進修學校中教部教師；孔凡哲，東北師范大學教育學部教授。

（責任編輯：楊強）