◎夏德勝 吳成業(yè)

“圖形與幾何”領(lǐng)域運用轉(zhuǎn)化思想開展教學的策略

◎夏德勝 吳成業(yè)

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》強調(diào)在數(shù)學學習中使學生能“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”。轉(zhuǎn)化思想作為一種重要的數(shù)學思想，在“圖形與幾何”領(lǐng)域教學中有著十分重要的學習價值，是分析問題與解決問題的一個重要的基本思想。本文以人教版《義務教育教科書·數(shù)學》五年級上冊“多邊形的面積”這一單元教學為例，對“圖形與幾何”領(lǐng)域運用轉(zhuǎn)化思想談談筆者的想法。

一、化新為舊，確定教學的“起點”

某種意義上，新知識是舊知識發(fā)展和轉(zhuǎn)化的結(jié)果。“圖形與幾何”領(lǐng)域的平行四邊形、三角形和梯形等圖形面積公式的推導，是建立在學生認識圖形、學會長方形面積公式的教學方法之后安排的。它是小學階段直線型平面圖形面積計算的教學重點，也是體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的教學難點。

就五年級小學生的數(shù)學思維而言，“多邊形的面積”教學應充分發(fā)揮“轉(zhuǎn)化”的學習價值，將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，在轉(zhuǎn)化中內(nèi)化、在內(nèi)化中生成。下面以“平行四邊形的面積”教學為例，談談化新為舊這種數(shù)學轉(zhuǎn)化方法在教學中的有效運用，為課堂教學起點的準確把握奠定基石。

（教師演示拉動平行四邊形教具）

師：平行四邊形“底不變，高改變”，則面積也隨之改變了?？磥砥叫兴倪呅蔚拿娣e與底和高有關(guān)，到底有什么關(guān)系，我們可以動手實驗，推導公式。

（教師出示實驗要求，并布置實驗）

（1）畫出一條高，把平行四邊形沿著高剪開，把剪開的兩部分拼成一個長方形。

（2）觀察拼成的長方形和原來的平行四邊形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學生匯報）

生1：我發(fā)現(xiàn)拼成的長方形的面積和原來的平行四邊形面積相等。

生2：我發(fā)現(xiàn)拼成的長方形的長等于原來平行四邊形的底，長方形的寬等于原來平行四邊形的高。

（教師利用課件演示平行四邊形轉(zhuǎn)換成長方形的過程，并通過閃動突出長、寬和底、高的對應關(guān)系。）

師：通過上面的實驗，你認為平行四邊形的面積應該怎樣計算呢？理由是什么？

生3：我認為平行四邊形的面積應該等于底乘高。因為拼成的長方形的面積等于長乘寬，而拼成的長方形的長等于原來平行四邊形的底，長方形的寬等于原來平行四邊形的高，由此可以推出下面的關(guān)系。

長方形的面積＝長×寬

平行四邊形的面積＝底×高

在轉(zhuǎn)化完成后，教師應及時拋出一個問題：為什么要轉(zhuǎn)化成長方形的？學生經(jīng)過思考后會說因為長方形的面積先前已經(jīng)學會計算了。這時教師可以強調(diào)“將新學、生疏的知識轉(zhuǎn)化成已學、熟悉的知識，這是一種有效的解決方法”，自然而然，就將這種思想潛移默化地轉(zhuǎn)化到了學生的心中。

二、化難為易，突破教學的“難點”

“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學，轉(zhuǎn)化思想固然重要，但是創(chuàng)新思維的培養(yǎng)也非常重要，這不僅關(guān)系到創(chuàng)造性地解決問題，更影響學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。在“圖形與幾何”教學中，已知條件有時是以直白顯露的方式直接給出，有時是隱而不露間接表示出來；這時教師在教學中應啟發(fā)學生學會尋找隱蔽條件，從而為“圖形與幾何”問題的解決找齊條件性數(shù)據(jù)。

就五年級學生的學情而言，“圖形與幾何”領(lǐng)域的學習程度、深度、速度遜于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學。一些有隱藏條件的“圖形與幾何”問題，如果沒有教師恰到好處的點撥，學生一下子是難以找到解決策略。下面以“梯形的面積”教學片段為例，談談化難為易這種數(shù)學轉(zhuǎn)化方法在教學中的高效使用，為課堂教學難點的突破創(chuàng)造基礎。

靠墻邊圍成一個花壇，圍花壇的籬笆長46m，求這個花壇的面積。

師：題目里的圖形你認識嗎？

生1：梯形。

生2：直角梯形。

師：是的，這是一個直角梯形。要求這個梯形花壇的面積，需要知道哪些條件？

生3：上底、下底和高。

師：這些條件都告訴你了嗎？

（經(jīng)過小組討論后，學生知道題目中只提供籬笆的長和花壇的高，沒有告訴上底和下底的長度。）

師：（這時啟發(fā)、點撥學生）沒有告訴我們上底與下底，面積能求嗎？

（小組分析與討論，教師巡視）

生1：不能求，因為上底下底不知道。

生2：籬笆的長實際上是上底、下底和高的總長，又知道高的長度，這樣就能得到上底與下底的和，利用公式也能求：

師：是呀，有時我們需要靈活運用公式。

在轉(zhuǎn)化完成后，教師應再次拋出一個問題：“為什么不知道上底與下底也能計算梯形面積？”學生會說出我們已經(jīng)把梯形上底與下底的和求出來，這樣不用挨個求出梯形的上底與下底；事實上，上底與下底也不好求。在題目完成后，教師這時可以提升學生的思維：“將有點難度的知識轉(zhuǎn)化成容易的知識，這是一種高效的數(shù)學方法?！?/p>

三、化繁為簡，凸顯教學的“重點”

在“圖形與幾何”領(lǐng)域，組合圖形的面積計算是重中之重。如何簡潔地找到組合圖形的“分割法”與“添補法”，是“圖形與幾何”領(lǐng)域知識教學的重點?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》對“圖形與幾何”領(lǐng)域提出了“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實際問題。”因此，在實際問題中用“化繁為簡”的數(shù)學轉(zhuǎn)化方法，有助于學生有效地掌握“割補法”。

就五年級的學生而言，“分割法”遠比“添補法”容易理解，因此在教學中，應使學生扎實有效地掌握“分割法”的方法。下面以“組合圖形的面積”教學片段為例，談談化繁為簡這種數(shù)學轉(zhuǎn)化方法在教學中的有效使用，為課堂教學重點的達成奠定良好的條件。

師：李老師家建了一間新房，要給一面墻刷漆，刷漆的面積有多大？（課件出示）

師：如果要計算刷漆的面積，需要知道什么條件？小組合作交流。

師：讓我們看看你們的想法能不能實現(xiàn)。請同學們仔細觀察圖上給出的數(shù)據(jù)，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？三角形和正方形之間有聯(lián)系嗎？

（通過計算體驗方法）

師：你會列式計算嗎？就按你們自己的想法來試一試吧。

（通過交流優(yōu)化方法）

生1：正方形面積＋三角形的面積，5×5＋5×2÷2=30（m2）。

生2：直角梯形的面積×2，（5＋2＋5）×（5÷2）÷2×2=30（m2）。

師：剛才同學們用兩種方法計算了這間房子側(cè)面墻的面積，你更喜歡哪一種？

生：第一種，圖形分得少，而且計算容易。

就組合圖形而言，如何化繁為簡轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的基本圖形，是培養(yǎng)學生空間觀念與幾何直觀的基礎。就學生發(fā)展而言，讓學生具備轉(zhuǎn)化的意識，是學好數(shù)學的重要學科核心素養(yǎng)。教師在教學中既要強調(diào)算法多樣化，更要凸顯算法優(yōu)化。將生活中繁雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡單的基本圖形計算，這對學生而言是一種實效的解決策略。

四、化曲為直，強化教學的“焦點”

化曲為直的數(shù)學轉(zhuǎn)化思想是小學數(shù)學曲面圖形面積學習的主要學習方法。它有助于學生學習思維向更高層次、更寬領(lǐng)域發(fā)展，形成一個積極主動、開放發(fā)散學習場?；鸀橹钡臄?shù)學思想為后學學習“圖形與幾何”領(lǐng)域圓的面積的計算作好鋪墊，為課堂教學的“焦點”的演繹奠定思想基礎。

就五年級數(shù)學教材文本解讀的角度而言，估計葉片的面積是讓學生感性地認識到：曲面圖形的面積可以近似地轉(zhuǎn)化成直面圖形的面積來計算，這種潛移默化的數(shù)學思想將為后續(xù)的圓面積的計算提供一種切實可行的解決策略。下面以“解決問題”教學片段為例，談談化曲為直這種數(shù)學轉(zhuǎn)化方法在教學中的恰當使用，為課堂教學焦點的聚焦提供便利。

師：這片葉子的形狀不規(guī)則，怎么計算面積呢？

生1：先在方格子上描出葉子的輪廓圖。

生2：方格紙上滿格的一共有18格，不是滿格的也有18格。

生3：估計這片葉子的面積在18～36cm2。

師：還有不同的方法嗎？

生：如果把不滿一格的都按半格計算，這片葉子的面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

師：除了數(shù)格子，你還有別的方法估計這片葉子的面積？

生：我是將葉子的圖形近似轉(zhuǎn)化成平行四邊形S=ah=5×6=30(cm2)。

在轉(zhuǎn)化后，教師應將方法總結(jié)一下，應提出問題：“如何估計不規(guī)則圖形的面積”。學生不難發(fā)現(xiàn)“先通過數(shù)方格確定面積的范圍，再用轉(zhuǎn)化的方法估計……”這時教師可強調(diào)轉(zhuǎn)化這一思想方法：“將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積，這是一種可行的解決方法?！?/p>

在“多邊形的面積”等“圖形與幾何”領(lǐng)域運用化新為舊、化難為易、化繁為簡、化曲為直等轉(zhuǎn)化策略，目的在于使學生經(jīng)歷未知向已知、困難向容易、復雜向簡單、抽象向直觀的思維過程，在這個過程中學生“圖形與幾何”的基本知識、基本技能乃至基本數(shù)學思想與基本活動經(jīng)驗得到有效的發(fā)展。

（作者單位：浙江省永嘉縣烏牛第二小學，浙江省永嘉縣甌北第一小學）

（責任編輯：楊強）