王志維

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維歷來(lái)受到一線教師的高度重視. 這種重視常常有兩個(gè)層面：一是理論層面；二是實(shí)踐層面. 理論層面的重視常常體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維是教研成果與教學(xué)研究的熱詞；實(shí)踐層面的體現(xiàn)其實(shí)并不充分，因?yàn)閼?yīng)試形態(tài)下的高中數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生少有主動(dòng)思維的機(jī)會(huì). 基于學(xué)生的認(rèn)知需要，從提高學(xué)生核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，將數(shù)學(xué)思維蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建、數(shù)學(xué)探究及學(xué)習(xí)反思的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)教師的價(jià)值選擇.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；理論；實(shí)踐

數(shù)學(xué)思維是歷來(lái)高中數(shù)學(xué)教學(xué)最為強(qiáng)調(diào)的話題之一，數(shù)學(xué)思維也是日常教學(xué)研究中最常提及的概念之一. 理想情況下，數(shù)學(xué)思維作為一個(gè)概念，其存在于數(shù)學(xué)教師的言語(yǔ)與研究成果當(dāng)中，而數(shù)學(xué)思維作為課堂上的具體體現(xiàn)，則體現(xiàn)在學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，以及體現(xiàn)在學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題或者是生活問(wèn)題的過(guò)程中. 這是一個(gè)理論與實(shí)踐相結(jié)合的過(guò)程，但在教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，關(guān)于數(shù)學(xué)思維的理論與實(shí)踐的銜接并不十分理想，尤其一個(gè)明顯的現(xiàn)象是，在各類研究成果中數(shù)學(xué)思維出現(xiàn)的頻率極高，在教學(xué)研討的交流中數(shù)學(xué)思維出現(xiàn)的頻率很高，在教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候提及數(shù)學(xué)思維的頻率也很高，但對(duì)于最為關(guān)鍵的場(chǎng)合即在教學(xué)實(shí)踐中則相對(duì)少有數(shù)學(xué)思維的教學(xué). 顯然，這是一個(gè)理論與實(shí)踐的脫節(jié)問(wèn)題. 指出這一問(wèn)題，并不是說(shuō)要否定當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)，而是希望關(guān)于數(shù)學(xué)思維的理論與實(shí)踐能夠有一個(gè)很好的結(jié)合，以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)踐中，能夠在數(shù)學(xué)思維的理論滋養(yǎng)下獲得更好的發(fā)展，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

筆者在教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中進(jìn)行著這樣的努力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)理論與實(shí)踐的結(jié)合并不完全是關(guān)于數(shù)學(xué)思維的教學(xué)理論與課堂教學(xué)的結(jié)合，更多的時(shí)候，數(shù)學(xué)思維實(shí)際上是隱藏在知識(shí)構(gòu)建、數(shù)學(xué)探究與問(wèn)題解決等過(guò)程中的，因此，數(shù)學(xué)更類似于默會(huì)知識(shí). 具體闡述如下：

■數(shù)學(xué)思維在知識(shí)構(gòu)建中體現(xiàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)就是數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建，應(yīng)試環(huán)境之下，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)常常是講授式的，學(xué)生基本上處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，即使在課程改革走過(guò)了十?dāng)?shù)年之后，高中數(shù)學(xué)課堂其實(shí)更多的還是這種常態(tài). 這樣的教學(xué)方式基本上對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)沒(méi)有太大的作用，因?yàn)楸粍?dòng)狀態(tài)下的知識(shí)學(xué)習(xí)基本上沒(méi)有主動(dòng)建構(gòu)的可能，因此數(shù)學(xué)思維也就沒(méi)有了生長(zhǎng)的土壤. 反之，如果給了學(xué)生以主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的空間，那學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就有可能高效形成.

如在“點(diǎn)到直線的距離”這一知識(shí)的教學(xué)中，具體的可以讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的一些知識(shí)構(gòu)建過(guò)程：第一步，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)何為點(diǎn)到直線的距離. 這一設(shè)計(jì)與學(xué)生原有的距離知識(shí)相關(guān)，同時(shí)又是在點(diǎn)與線這一新的情境中提出的問(wèn)題，因此可以促成學(xué)生新舊知識(shí)發(fā)生相互作用，從而建立起點(diǎn)與直線距離的準(zhǔn)確理解. 第二步，尋找求點(diǎn)到直線距離的方法. 通常情況下，學(xué)生的思路都是先作出過(guò)該點(diǎn)并垂直于直線的垂線，然后兩直線方程相交求出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后通過(guò)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)到直線的距離. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)在這個(gè)過(guò)程中，如果將問(wèn)題解決的過(guò)程交由學(xué)生，那么學(xué)生的思維過(guò)程是很豐富的，因?yàn)閺慕Ⅻc(diǎn)到直線距離的認(rèn)識(shí)，到尋找到求點(diǎn)到直線距離的方法，都需要學(xué)生在大腦中構(gòu)建點(diǎn)到直線距離的表象，然后有效地調(diào)用已有的知識(shí)，將求點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)換為利用兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求兩點(diǎn)間的距離. 這種思維轉(zhuǎn)換，是典型的數(shù)學(xué)思維的組成部分.

然后實(shí)際教學(xué)過(guò)程到此時(shí)并沒(méi)有結(jié)束，因?yàn)樵趧偛潘玫姆椒ǖ姆此贾?，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這一方法計(jì)算的繁雜性，從而猜想（必要的時(shí)候教師可以給予一點(diǎn)點(diǎn)撥）有沒(méi)有一種更好的方法的存在，而這種思維本身就是數(shù)學(xué)思維的一種體現(xiàn)——尋找新的解決問(wèn)題的策略. 于是進(jìn)一步的，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從更高的角度審視點(diǎn)與直線距離的關(guān)系，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)在于確定點(diǎn)與垂足對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)的差. 而認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)之后，又會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離可以有新的表達(dá)方式. 在這個(gè)過(guò)程中，思維轉(zhuǎn)換與新的思路的出現(xiàn)，就是數(shù)學(xué)思維的充分體現(xiàn).

■數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)探究中體現(xiàn)

數(shù)學(xué)探究是當(dāng)前重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的一種教學(xué)方式，數(shù)學(xué)探究的過(guò)程如果在課堂上真實(shí)地發(fā)生了，那上一點(diǎn)所強(qiáng)調(diào)的學(xué)生的自主性就可以得到保證. 同時(shí)其還可以繼續(xù)前進(jìn)一步，讓數(shù)學(xué)探究更好地為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維做出貢獻(xiàn)——應(yīng)當(dāng)說(shuō)這一過(guò)程其實(shí)是自然而然的，因?yàn)橹灰姓嬲臄?shù)學(xué)探究發(fā)生了，那學(xué)生就必然處于數(shù)學(xué)思維的過(guò)程中，這正如一個(gè)在數(shù)學(xué)思維大海里撲騰的孩子，自然也就更容易學(xué)會(huì)游泳.

如在“三角誘導(dǎo)公式”的教學(xué)中，就可以給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)數(shù)學(xué)探究的機(jī)會(huì). 筆者的設(shè)計(jì)是這樣的：第一步，明確提出三角誘導(dǎo)公式的探究問(wèn)題. 第二步，選擇最簡(jiǎn)單的突破口——從銳角的三角函數(shù)開(kāi)始，思考如何求其三角函數(shù)值. 學(xué)生的反應(yīng)自然是如果是特殊角，那么直接可以回憶出結(jié)果；如果是一般角，那么可以通過(guò)查詢?nèi)呛瘮?shù)表來(lái)獲得其值. 于是提出新的問(wèn)題：如何從銳角三角函數(shù)的求法出發(fā)，去求任意角的三角函數(shù)呢？第三步，開(kāi)展數(shù)學(xué)探究. 在探究之初，學(xué)生會(huì)意識(shí)到角的周期性對(duì)求三角函數(shù)值帶來(lái)的影響，于是就可以將對(duì)問(wèn)題的探究縮小到0～2π的范圍之內(nèi)，同時(shí)可以將所有角的始邊確定在坐標(biāo)橫軸的正半軸上，于是問(wèn)題的解決實(shí)際上就已經(jīng)建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型（這是典型的數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物）. 其后，如果一個(gè)角的終邊存在于非第一象限之內(nèi)，那是不是可以想方設(shè)法地將其轉(zhuǎn)換為第一象限的角呢？這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是本探究過(guò)程中的關(guān)鍵，而解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？是數(shù)學(xué)思維方法的使用. 是什么數(shù)學(xué)思維方法的使用？是數(shù)形結(jié)合的使用. 例如，在設(shè)定了第一象限的角為α之后，第二、三、四象限的角就可以分別用α與180°，360°來(lái)輔助表示了. 這種方法在此時(shí)一旦得到成功的運(yùn)用，那本探究就解決了一大半問(wèn)題（當(dāng)然是指思維角度的問(wèn)題，并不是指具體的數(shù)學(xué)結(jié)論的得出，這只是一個(gè)過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系，且過(guò)程的有效性決定了結(jié)果的有效性）.

在這樣的探究過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可以說(shuō)是體現(xiàn)得無(wú)處不在，只要稍有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師都可以看出其中的數(shù)學(xué)思維的存在. 更重要的是，這一過(guò)程其實(shí)并沒(méi)有跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)太多的數(shù)學(xué)思維，但數(shù)學(xué)思維已經(jīng)得到了學(xué)生的充分運(yùn)用. 因此，可以說(shuō)數(shù)學(xué)探究是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的最佳途徑之一.

■數(shù)學(xué)思維在學(xué)習(xí)反思中體現(xiàn)

數(shù)學(xué)思維的教學(xué)常常被認(rèn)為是隱性的，這符合數(shù)學(xué)思維支撐數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的規(guī)律. 但需要注意的是，當(dāng)面對(duì)的教學(xué)對(duì)象是高中學(xué)生的時(shí)候，有時(shí)候數(shù)學(xué)思維也可以相對(duì)變得顯性一些，也就是說(shuō)，讓學(xué)生明確從數(shù)學(xué)思維的角度去感知數(shù)學(xué)的魅力. 這對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)其實(shí)也是很有價(jià)值的，因?yàn)楦咧须A段的學(xué)生所需要的其實(shí)并不完全是知識(shí)性的東西，筆者常常與學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)方面的聊天，很多學(xué)生都表現(xiàn)出一種思想，那就是希望在數(shù)學(xué)課堂上不僅能夠?qū)W到知識(shí)，還希望能夠理解數(shù)學(xué)為什么能成為最有魅力的學(xué)科. 這其實(shí)就是對(duì)包括數(shù)學(xué)思維在內(nèi)的一種教學(xué)意味的期待. 既然如此，數(shù)學(xué)教師就要在滿足學(xué)生應(yīng)試需要的同時(shí)，找機(jī)會(huì)更好地給學(xué)生以數(shù)學(xué)思維的啟迪.

這看起來(lái)是一個(gè)矛盾的問(wèn)題，但實(shí)際上在實(shí)踐中可以很好地協(xié)調(diào)起來(lái)，一個(gè)重要的方式就是在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)之后，在數(shù)學(xué)探究之后，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些學(xué)習(xí)角度的反思，讓學(xué)生思考自己在學(xué)習(xí)的過(guò)程中一開(kāi)始是怎樣想的，后來(lái)又是怎樣想的，尤其是原來(lái)的思路發(fā)生錯(cuò)誤之后，要通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)原來(lái)的思路錯(cuò)在哪里，正確的思路又是從哪里得來(lái)的.

這其實(shí)是一個(gè)很好的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的過(guò)程，即使筆者不舉出具體的例子，相信絕大多數(shù)同行也能夠知道描述的是怎么回事. 但在實(shí)際中為什么其就很難在課堂上出現(xiàn)呢？根據(jù)筆者的實(shí)踐來(lái)判斷，恐怕絕大多數(shù)同行所擔(dān)心的是這個(gè)環(huán)節(jié)的效率問(wèn)題，畢竟學(xué)習(xí)反思是需要花時(shí)間的，而在這個(gè)時(shí)間內(nèi)往往又是可以做其他更多有意義的事情. 因此基于應(yīng)試的需要，教師往往是“兩害相權(quán)取其輕”. 其實(shí)，這個(gè)過(guò)程對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，是“磨刀不誤砍柴工”的，因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程其實(shí)可以讓學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)或者一道數(shù)學(xué)題產(chǎn)生極為深刻的印象，因而可以起到事半功倍的效果. 另一方面其還可以滿足學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深層次的心理需要，可以讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的親近感，而這恰恰是題海戰(zhàn)術(shù)所無(wú)法達(dá)到的效果（其實(shí)還有相反的效果）. 數(shù)學(xué)中常有對(duì)比的方法，數(shù)學(xué)教學(xué)中也應(yīng)當(dāng)用這種對(duì)比的方法，判斷一下教學(xué)的效益.

總之，數(shù)學(xué)思維應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，對(duì)其重視不能只是停留在理論的層面，不能只出現(xiàn)在教案或論文當(dāng)中，要成為課堂上的真實(shí)體現(xiàn). 只有從理論到實(shí)踐中都存在著強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)思維的思路，那高中數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正滿足學(xué)生的認(rèn)知需要，才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).