浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué) 沈海虹

深入淺出求理解，舉一反三促提升
——有效實(shí)施概念教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué) 沈海虹

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的本質(zhì)，同時(shí)是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，又是知識(shí)與方法的載體。教學(xué)大綱和新課標(biāo)都強(qiáng)調(diào)了概念的基礎(chǔ)性和重要性。這些年，筆者依據(jù)中學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)上一些心理特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中開(kāi)展了一系列的實(shí)踐與研究。

一、在深入淺出中，理解概念的內(nèi)涵意義

在任何學(xué)科任何知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，作為教師，用來(lái)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的一切手段和方法都是合理和正確的。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，為了讓學(xué)生能正確全面地理解概念的內(nèi)涵意義，采取諸如情境預(yù)設(shè)、小組活動(dòng)、類比對(duì)照等教學(xué)方式，能深入淺出地讓數(shù)學(xué)概念盡快而順利地納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中。

1.在情境預(yù)設(shè)中發(fā)現(xiàn)概念

數(shù)學(xué)概念來(lái)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引入概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，從而實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的提升，同時(shí)，也更能使學(xué)生易于接受，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的實(shí)際意義，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

【案例1】

浙教版九上《3.5圓周角》：投影足球射門(mén)圖片，然后把生活問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

圖中的∠C、∠D與我們前面所學(xué)的圓心角有什么區(qū)別？（角頂點(diǎn)的位置在圓上）這就是我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容——圓周角。

問(wèn)題：你能仿照?qǐng)A心角的定義給圓周角下個(gè)定義嗎?

圓周角定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。

特征：① 角的頂點(diǎn)在圓上；② 角的兩邊都與圓相交。

隨堂練習(xí)：判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由。

日常生活中相應(yīng)的圓周角的實(shí)例比較少，如果直接出示圖形，學(xué)生的理解會(huì)比較膚淺。上述教學(xué)案例的設(shè)計(jì)，有利于讓數(shù)學(xué)概念與生活實(shí)際結(jié)合，這樣的設(shè)計(jì)，不但會(huì)使學(xué)生對(duì)圓周角概念的理解比較深刻，而且能讓學(xué)生學(xué)會(huì)從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值與意義。

2.在小組活動(dòng)中理解概念

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，抽象概括具有特別重要的意義，尤其是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。然而，由于初中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展尚未全面成熟，探究過(guò)程中所涉及的觀察、思考、推理等活動(dòng)并不一定都能獨(dú)立完成，因此，學(xué)習(xí)概念這類抽象性活動(dòng)中，小組合作學(xué)習(xí)就顯得尤為重要了。

【案例2】

浙教版九下《3.1投影》第一課時(shí)——平行投影，這與生活實(shí)際聯(lián)系比較密切，但卻往往容易被忽視。因而，在對(duì)這個(gè)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我便組織學(xué)生以4人為小組單位去學(xué)校排球場(chǎng)完成合作學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)過(guò)程是這樣的：首先4人小組分工，1人帶上三角板，一人帶上木棒，1人做好記錄，1人做好協(xié)調(diào)；來(lái)到排球場(chǎng)后，選定好地方，各小組分開(kāi)活動(dòng)：改變木棒和三角板的位置，4人同時(shí)觀察平行投影的變化，4人發(fā)現(xiàn)結(jié)論相一致時(shí)，讓其中一人做好相應(yīng)記錄。返回課堂后，組與組之間進(jìn)行交流后再得出結(jié)論。實(shí)踐證明，在探究性活動(dòng)中，通過(guò)這樣小組合作的形式，不但增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)了數(shù)學(xué)概念的理解與掌握。

3.在類比對(duì)照中遷移概念

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有大量的概念，如果孤立地去理解與記憶這些概念，會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)負(fù)擔(dān)。然而，如果把某些相關(guān)或相對(duì)的概念放在一起進(jìn)行類比、對(duì)照，使學(xué)生在了解它們之間聯(lián)系的同時(shí)，又能注意到它們之間的區(qū)別，學(xué)生便會(huì)茅塞頓開(kāi)，另辟蹊徑。

【案例3】

浙教版八下《2.1一元二次方程》，這是一節(jié)概念課。由于在七年級(jí)時(shí)，學(xué)生就已經(jīng)掌握了一元一次方程的概念，因此，在本內(nèi)容的教學(xué)中，我先讓學(xué)生回憶一元一次方程的概念，然后出示②③兩個(gè)一元二次方程。

師：結(jié)合一元一次方程，誰(shuí)能給方程②③取個(gè)名字？

生：一元二次方程。

師：那這兩個(gè)方程與我們以前學(xué)過(guò)的一元一次方程有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？你能說(shuō)說(shuō)什么樣的方程叫一元二次方程呢？

學(xué)生借用類比思想，不僅鞏固了一元一次方程的概念，還得到了一元二次方程的概念，一舉兩得。

二、在舉一反三中揭示概念的本質(zhì)特征

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，要使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有透徹清晰的理解，教師要深入剖析概念的實(shí)質(zhì)，幫助學(xué)生弄清一個(gè)概念的內(nèi)涵與外延。筆者根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和能力特點(diǎn)，采取借用關(guān)鍵詞語(yǔ)、翻譯數(shù)學(xué)語(yǔ)言、對(duì)比相似定義、發(fā)揮逆向思維等辦法與思路，引導(dǎo)學(xué)生剖析概念，理解概念的實(shí)質(zhì)。

1.借用關(guān)鍵詞語(yǔ)，強(qiáng)調(diào)概念

學(xué)生的記憶是有限的，特別是對(duì)于句型比較長(zhǎng)的概念教學(xué)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，往往會(huì)顯得心有余而力不足。通過(guò)借助關(guān)鍵詞，不但方便記憶，而且容易理解，更重要的是學(xué)生也比較喜歡這樣的教學(xué)方式，從而有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概念理解能力和解題能力。

【案例4】

浙教版七下《5.1分式》，這節(jié)課雖然有點(diǎn)基于分式的概念，但還是有區(qū)別，如果采用類比手段進(jìn)行教學(xué)，有時(shí)會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生對(duì)分式概念的理解。因此我在教學(xué)這個(gè)概念時(shí)，充分引導(dǎo)學(xué)生借用對(duì)關(guān)鍵詞的理解，以達(dá)到強(qiáng)調(diào)深化概念之目的。

觀察：這些代數(shù)式有什么共同的特征？

①兩個(gè)整式相除，

②除式中含有未知字母。

這些代數(shù)式都表示兩個(gè)整式相除，并且除式中含有字母，像這樣的代數(shù)式就叫作分式。

為了改變學(xué)生認(rèn)為分?jǐn)?shù)線是分?jǐn)?shù)的標(biāo)志這一錯(cuò)誤觀念，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)特征，得到概念，再?gòu)母拍钪姓页鲫P(guān)鍵詞——整式，分母中含有字母。這樣學(xué)生通過(guò)自己歸納，對(duì)這一概念的理解就不難了。例如：是分式嗎？學(xué)生容易搞錯(cuò)，對(duì)照關(guān)鍵詞，不難判斷。

2.翻譯數(shù)學(xué)語(yǔ)言，強(qiáng)化概念

符號(hào)語(yǔ)言有較強(qiáng)的概括性，更能反映概念的本質(zhì)。在教學(xué)中，一方面要讓學(xué)生從概念特征出發(fā)準(zhǔn)確地表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言；另一方面要讓學(xué)生把表述概念的文字語(yǔ)言翻譯成字母符號(hào)語(yǔ)言。

【案例5】

浙教版九上《4.3相似三角形》，由三角形的全等得到相似三角形的概念雖不難，但是對(duì)這個(gè)概念的理解以及根據(jù)概念從復(fù)雜圖形中找出比例線段，一些學(xué)生就感到有些困難了。為此，在進(jìn)行這一概念的學(xué)習(xí)時(shí)，我們有必要將它翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

如圖：

強(qiáng)調(diào)相似符號(hào)的意義，做到對(duì)應(yīng)字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊。學(xué)生根據(jù)圖象結(jié)合幾何語(yǔ)言加深對(duì)相似三角形概念的理解，為解決本節(jié)課的難點(diǎn)做了鋪墊，同時(shí)也突出了重點(diǎn)。

3.對(duì)比相似定義，深化概念

在中學(xué)階段，許多數(shù)學(xué)概念往往聯(lián)系密切，具有千絲萬(wàn)縷的關(guān)系。因此，我們?cè)谥v授新概念時(shí)，可聯(lián)系已學(xué)過(guò)的概念，用對(duì)比方法找出新舊概念之間的相同點(diǎn)和容易混淆的不同點(diǎn)，讓孩子從本質(zhì)上把握概念的特點(diǎn)，這樣有利于學(xué)生區(qū)分概念，獲取準(zhǔn)確、明晰的認(rèn)識(shí)。

【案例6】

浙教版八上《3.3一元一次不等式》，在學(xué)習(xí)一元一次不等式的概念時(shí)，我們可以先回顧一下以前學(xué)過(guò)的一元一次方程的概念：

一元一次方程：

特點(diǎn)：

1.方程的兩邊都是整式，

2.只有一個(gè)未知數(shù)，

3.未知數(shù)的指數(shù)是一次。

方程的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是一次，這樣的方程叫作一元一次方程。

一元一次不等式：

特點(diǎn)：（對(duì)比的數(shù)學(xué)思想）

1.不等號(hào)的兩邊都是整式，

2.只有一個(gè)未知數(shù)，

3.未知數(shù)的指數(shù)是一次。

不等號(hào)的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是一次，這樣的不等式叫作一元一次不等式。

通過(guò)上述這樣具有相關(guān)聯(lián)概念之間的對(duì)比，將新授知識(shí)建立在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)附近，既有利于新授知識(shí)點(diǎn)的掌握，同時(shí)也復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，更為重要的是，將兩個(gè)知識(shí)之間建立了相互的關(guān)聯(lián)，符合了建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論，這樣學(xué)來(lái)的知識(shí)與掌握的能力將更加穩(wěn)固。

4.發(fā)揮逆向思維，升華概念

利用逆向思維理解概念，就是從概念每個(gè)構(gòu)成詞的反面或?qū)α⒚嫒胧?，?lián)想本學(xué)科內(nèi)與之相近或相異的詞語(yǔ)或術(shù)語(yǔ)，設(shè)置問(wèn)題，引發(fā)質(zhì)疑，通過(guò)比較鑒別，把對(duì)概念理解中的易錯(cuò)點(diǎn)、易混淆點(diǎn)列出來(lái)，讓學(xué)生判斷、研究，可以讓學(xué)生對(duì)概念理解更深刻。

【案例7】

浙教版七下《4.4整式》，這節(jié)課中涉及的概念比較多，關(guān)鍵點(diǎn)是讓學(xué)生能充分掌握單項(xiàng)式的概念。在教學(xué)中，首先讓學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)得到單項(xiàng)式的概念，然后讓學(xué)生列舉一些單項(xiàng)式以鞏固理解。在此基礎(chǔ)上，再出示幾個(gè)反面例子：是單項(xiàng)式嗎？——強(qiáng)調(diào)相乘；是單項(xiàng)式嗎？——強(qiáng)調(diào)不能出現(xiàn)其他運(yùn)算；是分式嗎？……通過(guò)上述逆向思考，學(xué)生進(jìn)一步從正反兩方面全方位地對(duì)單項(xiàng)式的概念進(jìn)行思辨推敲，從而有利于更加準(zhǔn)確地掌握單項(xiàng)式這一概念的本質(zhì)，減少失誤。

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中進(jìn)行逆向思維，有著其他思維方式不可替代的優(yōu)越性。多次實(shí)踐證明，加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練，會(huì)有利于學(xué)生更加準(zhǔn)確地掌握數(shù)學(xué)概念，提高分析問(wèn)題和探索解題思路的能力。