居加敏,王智勇

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江蘇 南京 210044)

一類帶阻尼項(xiàng)的次二次二階 Hamilton 系統(tǒng)的周期解

居加敏,王智勇

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江蘇 南京 210044)

本文研究了一類帶阻尼項(xiàng)的二階 Hamilton 系統(tǒng)周期解的存在性問題. 利用鞍點(diǎn)定理,在新的次二次條件下,獲得了一個新的存在性結(jié)果,推廣并改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的相關(guān)存在性結(jié)論.

周期解; 二階 Hamilton 系統(tǒng);(C) 條件; 鞍點(diǎn)定理

1引言及主要結(jié)果

考慮二階 Hamilton 系統(tǒng)

其中 T ＞ 0,F:[0,T]× RN→ R 滿足以下條件:

(A)F(t,x) 對任意 x ∈ RN關(guān)于 t 是可測的,對 a.e.t ∈ [0,T] 關(guān) 于 x 是連續(xù)可微的,且存在 a ∈ C(R+,R+),b ∈ L1(0,T;R+) 使得 |F(t,x)|+|▽F(t,x)|≤ a(|x|)b(t) 對所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立.

近年來, 越來越多的的學(xué)者利用變分法研究問題 (1.1) 周期解的存在性, 并得到了一系列可解性條件, 見文獻(xiàn) [1–9] 及其參考文獻(xiàn). 自 1980 年 Rabinowitz[8]提出次二次條件以來, 次二次條件不斷被推廣和豐富. 特別的, 唐和吳[2]在次二次條件下研究了問題 (1.1) 周期解的存在性,并且得到了如下結(jié)論:

定理 A[2]假設(shè) F 滿足條件 (A) 及以下條件

(F1) 存在 0 ＜ μ ＜ 2,M1＞ 0,使得

(F2) 當(dāng) |x|→ +∞ 時,F(t,x) → +∞ 關(guān)于 t 一致成立.則問題 (1.1) 在空間 H1T中至少有一個周期解,其中

相應(yīng)的范數(shù)為

本文考慮更一般的帶阻尼項(xiàng)的二階 Hamilton 系統(tǒng)

本文將在一個新的次二次條件下, 利用極小極大作用原理研究問題 (1.2) 周期解的存在性.方便起見,以下用 H 代表連續(xù)函數(shù)空間,且對所有 θ∈ H,存在常數(shù) M2＞ 0 使得

(i) 對所有 t ∈ R+,θ(t) ＞ 0;

主要結(jié)果如下

定理1.1假設(shè) F 滿足條件 (A) 及以下條件

則問題 (1.2) 在空間 HT1中至少有一個周期解.

注1.1其中 k 是常數(shù), 看到

(a) 在 (H2) 下,當(dāng) k ＞ 0 時,(H1) 和 (F1) 是等價的,但當(dāng) k=0 時,條件 (H1) 比 (F1)弱.

(b) 研究的問題 (1.2) 帶有阻尼項(xiàng) q(t)u˙(t), 當(dāng) q(t) ≡ 0 時, 定理 1.1 和定理 A 考慮的是相同的系統(tǒng),而且此時,根據(jù)當(dāng) k ＞ 0 時,(H3) 即為

0

注意到 (H2) 和 (H3)’比 (F2) 更弱. 因此結(jié)果顯著推廣了定理 A.

2預(yù)備知識

在H1上定義泛函?為

定義2.1[3]設(shè) X 是實(shí) 的 Banach 空 間, ? ∈ C1(X,R), 如果 對任 意的 v ∈ X, 都有,就稱 u 是泛函 ? 的臨界點(diǎn). 泛函在臨界點(diǎn)處所取的值,就稱為臨界值.

由文獻(xiàn) [3]中定理 1.4 易知 ? 在 H1T上連續(xù)可微,且 ?u,v ∈ H1T, 有

眾所周知,u ∈ HT1是問題 (1.2) 的解當(dāng)且僅當(dāng)它是 ? 的臨界點(diǎn).

定義2.2[3]設(shè) X 是實(shí) 的 Banach 空間,如果有界,蘊(yùn)含有收斂子列, 則稱泛函 ? 滿足 Palais–Smale 條件 (簡稱 PS條件).

定義2.3[3]設(shè) X 是實(shí) 的 Banach 空間, ? ∈ C1(X,R), 如 果有界,蘊(yùn)含有收斂子列,則稱泛函 ? 滿足 Cerami條件 (簡稱C 條件).

注2.1易證 (PS) 條件蘊(yùn)含 (C) 條Z件, 但反之不一定成立, 即 (C) 條件比 (PS) 條件更弱.

引理2.1則存在常數(shù) C ＞ 0,使得下面

兩個不等式成立:

引理2.2[3](鞍點(diǎn)定理) 設(shè) X 是實(shí)的 Banach 空間,及其中R

則當(dāng) ? 滿足 (PS)條件時,c 為臨界值.

注2.2文獻(xiàn) [6] 表明, 鞍點(diǎn)定理在 (C) 條件下依然成立.

引理2.3假設(shè) F(t,x) 滿足 (A) 和 (H1), 則對所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T],有

其中

證取 f(s):=F(t,sx). 則由 (H1), 對所有可證得

令

將 (2.3) 式代入 (2.4) 式可得

通過解線性常微分方程 (2.4), 得到

因此

此外,由假設(shè) (A),對所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T],有

所以由 (2.6),(2.7) 式和假設(shè) (A),對所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T],可得

也就是說引理 2.3 得證.

注2.3(1) 利用 θ的條件 (ii),可知當(dāng) |x|→ +∞ 時,G(|x|) → 0.

(2) 由θ1的范圍及可知,函數(shù) t2G(t) 關(guān)于 t 是遞增的.

3定理證明

為了敘述方便,在下面的證明中,Ci,i=1,2,3,···,表示一系列不同的正常數(shù).

定理1.1的證明(1) 證明 ? 滿足 (C) 條件.

首先證明 {un} 在 H1T上有界. 令 {un} 是泛函 ? 的 (C) 序列,即有界,且當(dāng)n → ∞ 時, 有,則 ?n ∈ N 有

假設(shè) {un} 在 HT1中 無 界, 則 不妨 設(shè) 當(dāng) n → ∞ 時, 有 ‖un‖→ +∞. 令則 {vn} 在 HT1上 有 界. 因 此 存 在 子 序 列, 不 妨 仍 記 為 {vn}, 使 得 在 HT1上, 有 vn? v0,在 C([0,T],RN) 上, 有 vn→ v0.因此當(dāng) n → ∞ 時,有

因?yàn)?H1T緊嵌入到 C(0,T;R),則對所有 u ∈ H1T,存在常數(shù) d ＞ 0 使得

由 (3.1),(2.1),(3.3) 式, 引理 2.3 和注 2.3 中的 (2),可得

將上述不等式 (3.4) 的兩邊同除 ‖un‖2,則由注 2.3 中的 (1) 易知,當(dāng) n → ∞ 時, ‖ ˙vn‖L2→ 0.再 利 用 (3.2) 式, 有 vn→ ˉv0. 從 而 得 到 v0= ˉv0,T|ˉv0|2= ‖ˉv0‖2=1. 因 此 當(dāng) n → ∞ 時, |un|→ +∞,結(jié)合 (H3) 得

另一方面, 結(jié)合假設(shè) (A) 和 (H1),?x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T],有

其中 h2(t):=(2+M2)h1(t) ≥ 0. 由 (2.1),(2.2),(3.1) 和 (3.6) 式有

因此有

這與 (3.5) 式矛盾! 因此 {un} 在 H1T上有界.

下面證明 {un} 有收斂子列.

因?yàn)?{un} 在 H1T上有界,則存在子序列,不妨仍記為 {un},使得

于是當(dāng)n→ ∞ 時,有

考慮到 (3.9) 式和條件 (A),有當(dāng) n → ∞ 時,

由 (3.8) 式及 ?′(un) → 0 知,當(dāng) n → ∞ 時,

(2) 接下來證明 ? 滿足幾何條件.

首先證明 (?1). ?u ∈ H~T1, 根據(jù) (2.1) 式, 引理 2.3,注 2.3 中的 (2) 和 Sobolev 不等式有

因?yàn)樵?H~T1中,根據(jù) Wirtinger 不等式,‖u‖→ +∞ 等價于 ‖ u˙ ‖L2→ +∞,則由 (3.13) 式和注2.3 中的 (1) 有當(dāng)時即 (?1) 成立.

最后證明 (?2). ?u ∈ RN,因?yàn)閯t由 (2.1) 式和 (H2) 有而在 RN中, ‖u‖ → +∞ 等價 于 |u|→ +∞. 因此 由 (H3) 和 (3.14) 式 可得, 當(dāng) ‖u‖ → +∞時,?(u)→ ?∞,即 (?2) 成立.

綜上, 利用鞍點(diǎn)定理 (引理 2.2), 根據(jù)步驟 (1),(2) 知 ? 至少有一個臨界點(diǎn). 因此問題(1.2) 在空間 H1T中至少有一個周期解.即定理 1.1 得證.

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PERIODIC SOLUTIONS OF A CLASS OF SUBQUADRATIC SECOND ORDER HAMILTONIAN SYSTEMS WITH DAMPED VIBRATION

JU Jia-min,WANG Zhi-yong
(School of Mathematics and Statistics,Nanjing University of Information Science&Technology, Nanjing 210044,China)

In this paper,we study the problems about existence of periodic solutions for second-order Hamiltonian systems with damped vibration.Via saddle point theorem under a new subquadratic condition,an existence theorem is obtained,which extends and improves previously known results.

periodic solutions;second-order Hamiltonian systems;(C)condition;saddle point theorem

tion:34K13;58E30

4K13;58E30

O176.3

A

0255-7797(2017)02-0383-07

2014-09-29 接收日期:2015-08-02

國家自然科學(xué)基金資助 (11026213;11571176).

居加敏 (1991–), 女, 江蘇揚(yáng)州,碩士, 主要研究方向: 非線性泛函分析.