張申貴,慕 嘉

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

非自治 p(t)- 拉普拉斯系統(tǒng)周期解的存在性

張申貴,慕 嘉

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

本文研究一類非自治 p(t)-Laplace 系統(tǒng). 利用鞍點(diǎn)定理和極小作用原理, 獲得了周期解存在的充分條件, 推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn) [8]中的結(jié)果.

周期解;p(t)-Laplace 系統(tǒng); 臨界點(diǎn)

1引言與主要結(jié)果

考慮二階 Hamilton 系統(tǒng)(

Mawhin 和 Willem 在文 [1]在非線性項(xiàng)有界,即存在使得

在具有線性增長(zhǎng)非線性項(xiàng),即存在 f,g ∈ L1(0,T;R+),使得對(duì)所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立時(shí),文 [3]中得到以下定理.

定理A[3]設(shè) F 滿足 (1.2) 式, 且

文 [4]將定理 A 中的強(qiáng)制性條件改進(jìn)為下方有界的情形

當(dāng)非線性項(xiàng) ▽F(t,x) 線性增長(zhǎng)時(shí), 文 [5–7]中分別在具有部分周期位勢(shì), 脈沖作用項(xiàng), 單調(diào)性條件下得到了二階 Hamilton 系統(tǒng)周期解的存在性定理.

設(shè)存在常數(shù) M0＞ 0,M1＞ 0,M2＞ 0 和非負(fù)函數(shù) ω ∈ C([0,∞),[0,∞)), 使得

受到文 [8]和 [9]的啟發(fā), 我們考慮用控制函數(shù) ω(|x|) 替換線性增長(zhǎng)條件 (1.2) 中的 |x|,并將上述結(jié)果推廣到非自治 p(t)- 拉普拉斯系統(tǒng)

其中 p(t) ∈ C([0,T],R+),p(t)=p(t+T),且

臨界點(diǎn)理論是研究微分方程和差分方程邊值問(wèn)題可解性的有效方法, 如文 [10–12]. 非自治 p(t)- 拉普拉斯系統(tǒng)來(lái)自于非線性彈性問(wèn)題和流體力學(xué),該系統(tǒng)刻畫了“逐點(diǎn)異性”的物理現(xiàn)象.近年來(lái),臨界點(diǎn)理論已用于研究非自治 p(t)- 拉普拉斯系統(tǒng)周期解的存在性,參見(jiàn)文[13–21].

2準(zhǔn)備知識(shí)

記 p(t) ∈ C([0,T],R+), 定義

當(dāng) p?＞ 1 時(shí),空間 W1,p(t)T是自反的 Banach 空間,其范數(shù)為

記

引理2.1,存在常數(shù)有

引理2.2有

引理2.3[16]在 Sobolev 空間 W1,p(t)T上定義泛函 ? 如下:

則 u ∈ WT1,p(t)是問(wèn)題 (1.3) 的周期解當(dāng)且僅當(dāng) u 是泛函 ? 的臨界點(diǎn), 且 ? 連續(xù)可微,

定義1設(shè) X 為 Banach 空 間, 若泛 函 ? ∈ C1(X,R) 滿足: 對(duì) 任 何 點(diǎn) 列 {un} ? X, 由{?(un)} 有界,?′(un) → 0 蘊(yùn)含 {un} 有收斂子列, 則稱泛函 ? 滿足 (PS) 條件.

引理2.4[1](極 小 作用原理) 若泛 函 ? :X → R 弱下 半 連續(xù), 且 ? 在 自 反的 Banach 空間 X 中強(qiáng)制,即當(dāng) ‖u‖ → ∞ 時(shí),有 ?(u) → +∞,則泛函 ? 在空間 X 中有極小值.

引理2.5[1](鞍點(diǎn)定理) 設(shè) E 是 Hilbert 空間,E=E1⊕ E2, 其中 E2/={0} 是有限維子空間. 若 ? ∈ C1(X,R) 滿足 (PS) 條件和以下兩個(gè)條件

(i) 存在 e ∈ Bρ∩ E2和常數(shù) ω ＞ σ, 使得 ?|e+E1≥ ω; (ii) 存在常數(shù) σ 和 ρ, 使得 ?|?Bρ∩E2≤ σ,

則?有臨界值c≥ω且

3主要結(jié)果

定理3.1設(shè) ω ∈ C([0,∞),[0,∞)),滿足 (ω1)–(ω4). 設(shè)存在 f,g ∈ L1(0,T;R+), 使得

對(duì)所有 x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立,且

則問(wèn)題 (1.3) 在 Sobolev 空間 WT1,p(t)中至少有一個(gè)周期解.

注定理 3.1 推廣與改進(jìn)了定理 A 和文獻(xiàn) [8]中定理 1.5. 首先, 定理 3.1 中將對(duì)應(yīng)結(jié)果推廣到了非自治 p(t)- 拉普拉斯系統(tǒng);另一方面,易見(jiàn)式 (3.2) 中極限是下方有界的.

取 p(t)≡ 2,則 p?=p+=2,令

其中 β(t) ∈ L1(0,T;R+), 則 F 滿足定理 3.1 的條件,但不滿足定理 A 和文 [8]中定理 1.5.證由條件 (ω1)–(ω3), 式 (3.1),(2.1),有

由引理 1.2, 由式 (3.2) 和 (ω4), 并注意到時(shí). 注意到當(dāng) p?＞ 1 時(shí), 空間 WT1,p(t)是自反的 Banach空間, 泛函 ? 弱下半連 續(xù)[20], 由極 小 作用原理可 知, 泛 函 ? 至 少 有一個(gè)臨界 點(diǎn), 從 而 得到問(wèn)題 (1.3) 至少有一個(gè)周期解.

定理3.2設(shè)非負(fù)函數(shù) ω 滿足F 滿足 (3.1) 和 (3.3) 式,且

其中

則問(wèn)題 (1.3) 在 Sobolev 空間 WT1,p(t)中至少有一個(gè)周期解.

注取,則,令

則 F 滿足定理 3.2 中的條件,但不滿足文 [13–21]中定理.Z

證我們將利用鞍點(diǎn)定理來(lái)證明定理 3.2,設(shè)第1步證 明 泛 函 ? 滿足 (PS) 條件, 即 任何 點(diǎn)列, 由有 界,可推得 {un} 有收斂子列. 首先證明有界.

類似于 (3.4) 式 的證明,有

由式 (3.5),(3.8),有

另一方面, 由式 (2.1),可得

由式 (3.9),(3.10), 有

由式 (3.4),(3.5),(3.12),有

,p(t)中無(wú)界,當(dāng)由引理 2.2,當(dāng)

當(dāng)n→ ∞ 時(shí), 式 (3.12), 有 ω(|uˉn|) → +∞. 由 式 (3.6),(3.13),并注意到 p?＞ 1,當(dāng) n → ∞ 時(shí),?(un) → ?∞.

,p(t)緊嵌入C([0,T];RN) 和 WT1,p(t)的一致凸性, 類似于文獻(xiàn) [19]中定理 3.2 的證明,{un} 在 WT1,p(t)中有收斂子列,故泛函 ? 滿足 (PS)條件.

第2步取我們證 明 鞍點(diǎn)定理的環(huán)繞條件成立. 對(duì) u ∈ E1, 類似于 (3.4) 式 的證明,有

[1]Mawhin J,Willem M.Criticalpoint theory and Hamiltonian systems[M].NewYork:Springer Verlag, 1989.

[2]Tang C L.Periodic solutions ofnon-autonomous second order systems with sublinear nonlinearity[J]. Proc.Amer.Math.Soc.,1998,126(11):3263–3270.

[3]Zhao F K,Wu X.Existence of periodic solutions for nonautonmous second order systems with linear nonlinearity[J].Nonl.Anal.,2005,60(7):325–335.

[4]Tang X H,Meng Q.Solutions of a second-order Hamiltonian system with periodic boundary conditions[J].Nonl.Anal.,2010,11:3722–3733.

[5] 張申貴. 一類非自治二階系統(tǒng)的多重周期解 [J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào) (理學(xué)版),2011,46(11):64–69.

[6]Chen P,Tang X H.Existence of solutions for a class of second-order p-Laplacian systems with impulsive eff ects[J].Appl.Math.,2014,59(5):543–570.

[7] 吳越, 安天慶. 一類非自治二階哈密頓系統(tǒng)的周期解 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào) (理學(xué)版),2013,51(1):57–63.

[8]Wang Z Y,Zhang J H.Periodic solutions of a class of second order non-autonomous Hamiltonian systems[J].Nonl.Anal.,2010,72(12):4480–4487.

[9]Zhang Q F,Tang X H.Periodic solutions for second order systems[J].Appl.Math.,2012,41(5), 303–310.

[10] 彭艷芳.R3中一類 Kirchhoff 型方程變號(hào)解的存在性及集中性 [J]. 數(shù)學(xué)雜志,2015,35(1):75–84.

[11] 敖恩, 張國(guó)偉. 關(guān)于二階半線性橢圓方程的 Dirichlet 邊值問(wèn)題一個(gè)注記 [J]. 數(shù)學(xué)雜志,2014,34(1): 37–42.

[12] 張克玉, 徐家發(fā). 一類二階差分方程邊值問(wèn)題解的存在性 [J]. 數(shù)學(xué)雜志,2014,34(5):857–862.

[13]Ge B,Xue X P,ZHOU Q M.Existence of periodic solutions for a diff erential inclusion systems involving the p(t)-Laplacian[J].Acta Math.Sci.,2011,31B(5):1786–1802.

[14]Fan X L.A Knobloch-type result for p(t)-Laplacian systems[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,282(3): 453–464.

[15]Zhang L,Tang X H,Chen J.Infinitely many periodic solutions for some second-order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Boundary Value Problems,2011,33(2):1–15.

[16]Wang X J,Yuan R.Existence of periodic solutions for p(t)-Laplacian systems[J].Nonl.Anal.,2009, 70(1):866–880.

[17] 張 申 貴. 一 類 超 線 性 p(t)-Laplacian 系 統(tǒng) 的 無(wú) 窮 多 周 期 解 [J]. 吉 林 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) (理 學(xué) 版),2014,52(1): 34–38.

[18]Zhang L,Tang X H.Existence and multiplicity ofperiodic solutions for some second order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Math.Slovaca,2013,63(6):1269–1290.

[19]Zhang L,Tang X H.Subharmonic solutions for some nonautonomous Hamiltonian systems with p(t)-Laplacian[J].Bull.Belg.Math.Soc.(2),2011,18(2):385–400.

[20]Zhang L,Chen Y.Existence of periodic solutions of p(t)-Laplacian systems[J].Bull.Malays.Math. Sci.Soc.(2),2012,35(1):25–38.

[21]Chen P,Tang X H,Agarwal R.Existence of homoclinic solutions for p(n)-Laplacian Hamiltonian systems on orlicz sequence space[J].Math.Comput.Model.,2012,55(3):989–1002.

EXISTENCE OF PERIODIC SOLUTIONS FOR NON-AUTONOMOUS P(t)-LAPLACIAN SYSTEMS

ZHANG Shen-gui,MU Jia
(College of Mathematics and Computer Science,Northwest University for Nationalities, Lanzhou 730030,China)

In this paper,we investigate a class of non-autonomous p(t)-Laplacian system. By using saddle point theorem and the least action principle,some suffi cient conditions for the existence of periodic solutions are obtained,which generalize and improve the resuls in[8].

periodic solutions;p(t)-Laplacian systems;critical point

tion:34B15;34C25

4B15;34C25

O175.8;O176.3

A

0255-7797(2017)02-0409-10

2014-11-14 接收日期:2015-04-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助 (31260098); 天元數(shù)學(xué)基金資助 (11326100); 西北民族大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資助 (31920130004).

張申貴 (1980–), 男, 甘肅蘭州,副教授,主要研究方向: 非線性泛函分析和偏微分方程.