趙雯宇,郝自軍,余國林

(北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

二階錐線性互補問題的低階罰函數(shù)算法

趙雯宇,郝自軍,余國林

(北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

本文研究了二階錐線性互補問題的低階罰函數(shù)算法.利用低階罰函數(shù)算法將二階錐線性互補問題轉(zhuǎn)化為低階罰函數(shù)方程組,獲得了低階罰函數(shù)方程組的解序列在特定條件下以指數(shù)速度收斂于二階錐線性互補問題解的結(jié)果,推廣了二階錐線性互補問題的冪罰函數(shù)算法.數(shù)值實驗結(jié)果驗證了算法的有效性.

二階錐;線性互補問題;低階罰函數(shù)算法;指數(shù)收斂速度

1引言

考慮二階錐線性互補問題:求向量 x ∈ Rn,使得

其中 Rn是 n 維歐式空間,A ∈ Rn×n是 n×n 階實矩陣,b∈ Rn是 n 維實向量,K 是二階錐的笛卡爾乘積.也就是說

其中 m,n1,···,nm≥ 1,n1+ ···+nm=n,且 Kni? Rni是 ni維二階錐.即

其中 ‖ ·‖ 表示歐幾里得范數(shù). 為了方便用 (x1,x2) 表示 (x1,xT2)T, 用 u ?Kniv(或 v ?Kniu)表示 u ? v ∈ Kni. 顯然 K ? Rn是一個 閉凸且自 對 偶錐. 若 ni=1,K1為非負(fù)實 數(shù) 集 R+.若 n1= ···=nm=1, 則 Kn退化為 Rn+, 此時問題 (1.1) 退化為一般的線性互補問題.

二階錐互補問題是近十多年來研究的新問題,它是二階錐規(guī)劃的推廣,在工程設(shè)計、金融、管理科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用[1,2,3]. 在過去的十多年中, 對二階錐規(guī)劃和二階錐線性互補問題已有廣泛研究, 并提出了各種算法, 例如光滑牛頓算法[4,5,6,7]、半光滑牛頓算法[8,9]、內(nèi)點算法[10]、價值函數(shù)算法[11]、矩陣分裂算法[12]等, 其中有些算法需要 O(n3) 浮點運算次數(shù),這在問題維數(shù)n變得很大時可能不是有效的.

眾所周知,罰函數(shù)方法是求解約束優(yōu)化問題的重要方法,其主要思路是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題來求解. 文獻 [13] 提出了具有良好性質(zhì)的 l1罰函數(shù). 之后, 許多學(xué)者致力于精確罰函數(shù)算法的研究[14,15,16,17], 相比經(jīng)典的 l1精確罰函數(shù), 這些方法只需較弱的條件即可保證精確性.2008 年,Wang 和 Yang[18]提出一種冪罰函數(shù)算法求解線性互補問題. 之后,Huang 和 Wang[19,20]將冪罰函數(shù)算法推廣到求解非線性互補問題和混合互補問題.2015 年,Hao 和 Wan[21]等將冪罰函數(shù)算法推廣到求解二階錐線性互補問題. 實際上, 冪罰函數(shù)算法 就是一類低階罰函數(shù)算法. 文獻 [18,21] 中罰函數(shù)的冪參數(shù)僅是形如1/k(k ∈ Z+) 的特殊數(shù). 基于此, 本文將文獻 [21]中冪參數(shù)范圍推廣到 (0,1]中任意實數(shù), 提出一般低階罰函數(shù)算法.同時證明在矩陣A 正定時,低階罰函數(shù)方程組的解序列在罰參數(shù)趨于無窮時以指數(shù)速度收斂到二階錐線性互補問題的解,并將低階罰函數(shù)算法的數(shù)值結(jié)果與著名的光滑 Fischer-Burmeister(F-B) 函數(shù)算法進行比較, 結(jié)果表明提出的算法是有效的.

本文共分 5 節(jié),第 2 節(jié)給出一些預(yù)備知識;第 3 節(jié)探討二階錐線性互補問題的低階罰函數(shù)算法,并證明算法的收斂性;第 4 節(jié)給出一些數(shù)值實驗結(jié)果;第 5 節(jié)進行總結(jié).在本文中,對任意 p ＞ 1,‖ ·‖p表示 lp范數(shù). 特別地,當(dāng) p=2 時,它代表歐幾里得范數(shù) ‖ ·‖.

2預(yù)備知識

本 節(jié) 給 出 單 塊 二 階 錐 Kn的 一 些 基 礎(chǔ) 知 識. 對 任 意 的 x=(x1,x2) ∈ R × Rn?1, y=(y1,y2) ∈ R × Rn?1,它們的約當(dāng)積 (Jordan product)[1]定義為

本文用 x2表示 x ? x, 用 x+y 表示普通向量加法, 這樣 “ ? ”, “ + ” 以及 e=(1,0,···,0) ∈R×Rn?1構(gòu)成了 Kn的約當(dāng)代數(shù). 易知約當(dāng)積滿足交換律,但一般不滿足結(jié)合律,即 (x?y)?z與 x ? (y ? z) 并不總相等,這是研究和分析二階錐優(yōu)化算法的主要困難之一.但約當(dāng)積在冪意義下結(jié)合律成立,即 (x ? x)? x=x ? (x ? x) 對任意 x ∈ Rn成立. 因此對任意正整數(shù) p,xp有意義,且對任意正整數(shù) m 和 n,有 xm+n=xm? xn. 關(guān)于與二階錐相關(guān)的歐幾里得約當(dāng)代數(shù)的其他概念,如跡、行列式、可逆向量、平方根、絕對值向量等,詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻 [1,4, 22,23].

與矩陣的譜分解類似,以 Kn為基礎(chǔ),Rn中的任意向量都可以在二階錐意義下進行譜分解[4,22]. 對任意 x=(x1,x2) ∈ R × Rn?1,x 的譜分解為

其中 λ1,λ2和 u(1),u(2)分別表示 x 的特征值和相應(yīng)的特征向量,ω 是 Rn?1中滿足 ‖ω‖ =1的任意向量. 易知 e=u(1)+u(2), λ1≤ λ2, 且 x2/=0 時分解式 (2.2) 唯一.

下面給出譜分解的一些基本性質(zhì).

命題2.1[4,22]對任意的 x=(x1,x2) ∈ R × Rn?1, λ1,λ2和 u(1),u(2)是 按 (2.2) 和 (2.3)式給出的x的特征值和相應(yīng)的特征向量,則

(4) λ1是非負(fù)的 (正的) 當(dāng)且僅當(dāng) x ∈ Kn(x ∈ int Kn),其中 int Kn表示 Kn內(nèi)部;

(5)tr(x)= λ1+ λ2=2x1,det(x)= λ1λ2=x21? ‖x2‖2,2‖x‖ = λ21+ λ22.

由命題 2.1, 對任意的 x,y ∈ Rn且 x ∈ Kn,y ∈ Kn, 〈x,y〉=0 當(dāng)且僅當(dāng) x ? y=0. 因此互補條件可以由約當(dāng)積等價描述. 根據(jù) x 的譜分解 (2.2) 和 (2.3), 一個標(biāo)量函數(shù) ?f:R → R可以被擴展為與 Kn(n ≥ 1) 相關(guān)的二階錐向量值函數(shù)[4,24]

其中 λ1,λ2是 x 的特征值,u(1),u(2)是相應(yīng)的特征向量.

式 (2.4) 給出了 定 義二階錐函 數(shù) 的一種形式, 但其含 義 還需進一步分 析. 對任 意 x ∈ Rn, x 到 Kn的投影定義為在 Kn上離 x 最近的點,記作 [x]+,即 [x]+∈ Kn且

顯然,當(dāng)n=1 時,上述投影退化為

下述命題指出,|x|和 [x]+具有 (2.4) 式的形式 (參見文獻 [4] 命題 3.3).

命題2.2對任意 x=(x1,x2) ∈ R × Rn?1, λ1,λ2和 u(1),u(2)是按式 (2.2) 和 (2.3) 給出的x的特征值和相應(yīng)的特征向量,則

類似于在 Kn上投影的概念, 定義[6]

顯然 [x]?是 x 在 ?Kn上投影的相反向量,且 x=[x]+?[x]?,[x]+,[x]?∈ Kn,[x]+?[x]?=0.

3低階罰函數(shù)算法及其收斂性分析

本節(jié)提出二階錐線性互補問題 (1.1) 的低階罰函數(shù)算法, 并給出相應(yīng)的收斂性分析.不失一般性,假設(shè)向量由一個二階錐塊組成,即 K=Kn,因為收斂性分析很容易推廣到二階錐的一般形式 (1.2).

下面考慮低階罰函數(shù)方程組: 求 xη∈ Rn,使得

其中 0 ＜ r ≤ 1 是冪參數(shù), η ≥ 1 是罰參數(shù). 當(dāng) ?xη的譜分解為 ?xη= γ1v(1)+ γ2v(2)時, 定義

當(dāng) x ?K0 不成立時, 方程組 (3.1) 中的罰項 η [?xη]r+懲罰 xη的 “ 負(fù)” 項. 由于 η[?xη]r+∈ K,故 Axη? b ?K0 總成立. 當(dāng) η → +∞ 時,我們希望低階罰函數(shù)方程組 (3.1) 的解序列收斂于二階錐線性互補問題 (1.1) 的解. 因此二階錐線性互補問題 (1.1) 被轉(zhuǎn)化為低階罰函數(shù)方程組序列.基于此,給出如下低階罰函數(shù)算法.

算法3.1步驟1取任意向量 b ∈ Rn, 矩陣 A ∈ Rn×n, 令 ~x=0 ∈ Rn.

步驟2若 b?K0,停止,轉(zhuǎn)步驟 7;否則,轉(zhuǎn)步驟 3.

步驟3若 A?1b ?K0, 令 ~x=A?1b, 停止, 轉(zhuǎn)步驟 7; 否則, 轉(zhuǎn)步驟 4.

步驟4設(shè)置冪參數(shù) 0 ＜ r ≤ 1,罰參數(shù) η ≥ 1,誤差限為 eps,倍數(shù)參數(shù) c ＞ 1,選擇一個初始點 (x01,x02) ∈ R × Rn?1, 且當(dāng) x01＜ 0 時,x02/=0.

步驟5對罰參數(shù) η 和初始點 x0,解非線性方程組

假設(shè) xη是 (3.3) 式的解, 令 Tol=|xTη(Axη? b)|.

步驟6如果 Tol≤ eps,令 ~x=xη,停止,轉(zhuǎn)步驟 7;否則,令 x0=xη,η =cη,轉(zhuǎn)步驟 5.

步驟7向量 ~x 是二階錐線性互補問題 (1.1) 的近似最優(yōu)解.

下面討論算法 3.1 的收斂性分析,為此給出如下假設(shè).

假設(shè)3.1矩陣 A 正定,但不一定對稱,即存在正常數(shù) ω,使得

眾所周知, 二階錐線性互補問題 (1.1) 與下述變分不等式等價: 求 x??K0, 使得

由假設(shè) 3.1 及文獻 [3] 中定理 2.3.3 知變分不等式 (3.5) 有唯一解, 因而二階錐線性互補問題(1.1) 亦有唯一解.同時,由于方程組可看作無約束變分不等式, 故 (3.1) 式也有唯一解.

下述命題 3.1 給出低階罰函數(shù)方程組 (3.1) 解的有界性,命題 3.2 給出 ‖[?xη]+‖ 的一個上界,其證明只需將文獻 [21]命題 3.1 和 3.2 中的冪參數(shù) 1/k(k ∈ Z+) 換為式 (3.1) 中的實數(shù)r ∈ (0,1]即可,這里不再贅述.

命題3.1對任意的 η ≥ 1,0 ＜ r ≤ 1, 低階罰函數(shù)方程組 (3.1) 的解有界,即存在正常數(shù)W,獨立于 xη,η 和 r,使得 ‖xη‖ ≤ W.

命題3.2對任意 η≥ 1,0 ＜ r ≤ 1,存在正常數(shù) M,獨立于 xη和 η,使得

利用命題 3.1 和命題 3.2,可以得到如下重要結(jié)果, 它給出了算法 3.1 求解二階錐線性互補問題 (1.1) 的收斂性分析.

定理3.1對任意 η ≥ 1,0 ＜ r ≤ 1,令 xη是低階罰方程組 (3.1) 的解, 且 x?是二階錐線性互補問題 (1.1) 的解. 則存在獨立于 x?,xη和 η 的正常數(shù) M,使得

證利用 ?xη=[?xη]+? [?xη]?,向量 x?? xη可以分解為

其中 [?xη]?如 (2.6) 式的形式所定義,且

下面考慮 rη的估計值. 如果 rη=0, 由 (3.6) 和 (3.8) 式可知不等式 (3.7) 顯然成立, 故下面 只討 論 rη/=0 的情 形. 顯 然 [?xη]??K0, 由二 階錐 線性 互補 問題 與變 分不 等 式 (3.5)的等價性及 (3.9) 式,在 (3.5) 式中用 [?xη]?代替 y 可得

在 (3.1) 式兩端同時左乘 rη, 可得

將 (3.10) 和 (3.11) 式相加得

由 (3.2) 式知 [?xη]r+?K0, 又由于 x??K0, 根據(jù) (3.9) 式可得

將不等式 (3.13) 應(yīng)用于 (3.12) 式得 rTηA(xη? x?) ≥ 0, 即

由 (3.8) 式知 rη=x?? xη? [?xη]+,代入 (3.14) 式得

由假設(shè) 3.1,式 (3.15),Cauchy-Schwarz 不等式及范數(shù)相容性知,存在常數(shù) b0＞ 0,使得

其中 ‖A‖ 表示矩陣 A 的 2- 范數(shù). 用 ‖x?? xη‖ 同除 (3.16) 式兩端得最后由 (3.6) 及 (3.17) 式知結(jié)論 (3.7) 成立. 證畢.

根據(jù)定理 3.1,在假設(shè) 3.1 下, 當(dāng) η → +∞ 時,低階罰函數(shù)方程組 (3.1) 的解序列 {xη} 以指數(shù)速度收斂到二階錐線性互補問題 (1.1) 的解. 但若假設(shè) 3.1 不成立, 又會有怎樣的收斂性結(jié)果呢? 下述定理 3.2 證明了此種情形下低階罰函數(shù)方程組 (3.1) 解序列的任意極限點都是二階錐線性互補問題 (1.1) 的解.

定理3.2對任意 ηi,假設(shè)低階罰函數(shù)方程組 (3.1) 有解 xηi,對任意冪參數(shù) 0 ＜ r ≤ 1,令{ηi} 是一列滿足 ηi≥ 1 的正數(shù)序列, 且, 則序列 {xηi} 的任意極限點都是二階錐線性互補問題 (1.1) 的解.

證對任意 ηi≥ 1, 因為 xηi是低階罰函數(shù)方程組 (3.1) 關(guān)于 ηi的解, 故

注意到

從式 (3.18) 得 Axηi? b= ηi[?xηi]r+∈ K, 在此式中令 i → ∞, 由 K 的閉性知

下面證明

反 設(shè)x∈/ K, 此 時 令 ε:=‖ [?x]r+‖, 則 ε＞ 0. 故 由 (3.20) 式知 當(dāng) i 充 分 大時,xηi∈/ K 且‖ [xηi]r+‖≥12ε ＞ 0. 同時, 由 (3.18) 式得當(dāng) i → ∞ 時,

這與式 (3.19) 矛盾, 故式 (3.22) 成立.

下面再證明

情形1如果顯然

情形2如果則由 (3.20) 式知當(dāng) i 充分大時,由 (3.18) 式知

在此式中令 i→ ∞,則Ax ? b=0,所以xT(Ax ? b)=0.

情形3如果x ∈ bd K{0},其 中 bd K 表 示 K 的邊界,此時令則根據(jù)向量的譜分解 (2.2)–(2.3),x可以分解為這里和 v(1),v(2)分別表示x的特征值和相應(yīng)的特征向量.因此

即x= μ2v(2). 假設(shè) xηi的譜分解為

由于對任意 y=(y1,y2)∈ R × Rn?1,當(dāng) ‖y2‖ ＞ 0 時,

都連續(xù),故由 (3.20) 式知當(dāng) i→ ∞ 時,

特別地,當(dāng) i 充分大時有 μ2(i) ≥12μ2＞ 0, 此時由 (3.18) 式得

由以上 3 種情形知式 (3.23) 成立.

最后, 由 (3.21)–(3.23) 式可得x 是二階錐線性互補問題 (1.1) 的解. 由極限點x的任意性,可知結(jié)論成立.證畢.

4數(shù)值實驗

本節(jié)用一些數(shù)值算例來檢驗算法 3.1 的有效性,所有例子均采用離散牛頓法求解其對應(yīng)于 (3.1) 式 的非線性方 程組, 所有的數(shù) 值 實驗運行 環(huán)境為 Intel(R)Core(TM)i5-3570K CPU 3.40GHz,4G of RAM,and windows7 with MATLAB R2009a.

例4.1考慮在 K2上的二階錐線性互補問題 (1.1),其數(shù)據(jù)如下

例 4.1 的精確解為 x?=(1,1)T. 下面考慮用算法 3.1 求解,首先取冪參數(shù) r=1, 初始點x0=(?1,1)T,取罰參數(shù) η =10 × 2i,i=2,···,7,其數(shù)值實驗結(jié)果如表 4.1 所示,其中 NS 代表數(shù)值解,Err 代表數(shù)值解 NS 與 x?的距離. 事實上,本例對應(yīng)的低階罰函數(shù)方程組 (3.1) 可以利用分析方法求解,且 xη=((η ? 2)/(1+ η),(η +2)/(1+ η)),容易得到

因此當(dāng) η → +∞ 時,xη以指數(shù)速度 O(η?1) 收斂到 x?,這與式 (3.7) 的結(jié)論一致.由表 4.1 可以看出數(shù)值實驗結(jié)果和分析結(jié)果是一致的.

下面考慮 Chen 和 Ma[25,26]已經(jīng)測試過的兩個例子. 在測試中令 且初始

η =1000. 例 4.2 和例 4.3 的終止準(zhǔn)則分別設(shè)為 eps=10?8和 eps=10?7.

例4.2考慮在 K5上的二階錐線性互補問題 (1.1),其數(shù)據(jù)如下

本例的解 x?≈ (0.049185,?0.0030997,0.0096024,0.0031883,0.048033)T[25], 且矩陣 A 滿足假設(shè) 3.1. 選取不同的初始點,測試結(jié)果如表 4.3 所示.

例4.3考慮在 K3上的二階錐線性互補問題 (1.1),其數(shù)據(jù)如下

本例的解 x?≈ (0.183606,?0.154346,?0.099440)T[25],A 是對稱半正定矩陣. 選取不同初始點,測試結(jié)果如表 4.4 所示.

眾所周知, 當(dāng) K=Kn時,F-B 函數(shù)定義為 滿足

二階錐互補問題的光滑 F-B 函數(shù) φ(μ,x,y):R × Rn× Rn→ Rn為[4]

上述平方和平方根都是指約當(dāng)積意義下的平方和平方根. 將 y=Ax ? b 代入 (4.1) 式, 則二階錐線性互補問題轉(zhuǎn)化為光滑 F-B 方程,即求 x ∈ Rn,使得

其中μ＞0是光滑參數(shù).

眾所周知, 當(dāng) μ ↓ 0 時,方程組 (4.2) 的解序列趨向于二階錐線性互補問題 (1.1) 的解[4].下面給出相應(yīng)的光滑 F-B 算法.

光滑F(xiàn)-B算法

步驟1取任意向量 b ∈ Rn, 矩陣 A ∈ Rn×n, 令 ~x=0 且 ~x ∈ Rn.

步驟2如果 b?K0,停止,轉(zhuǎn)步驟 7;否則,轉(zhuǎn)步驟 3.

步驟3如果 A?1b ?K0, 令 ~x=A?1b, 停止, 轉(zhuǎn)步驟 7; 否則, 轉(zhuǎn)步驟 4.

步驟4取光滑參數(shù) μ ＞ 0,誤差限為 eps,倍數(shù)參數(shù) 0 ＜ d ＜ 1,初始點 x0.

步驟5對光滑參數(shù) μ 和初始點 x0, 解非線性方程組 (4.2), 假設(shè) xμ是 (4.2) 式的解, 令Tol=|xTμ(Axμ? b)|.

步驟6如果 Tol≤ eps,令 ~x=xμ,停止,轉(zhuǎn)步驟 7;否則,令 x0=xμ,μ =dμ,轉(zhuǎn)步驟 5.

步驟7向量 ~x 是二階錐線性互補問題 (1.1) 的近似最優(yōu)解.

例 4.4 用隨機產(chǎn)生的二階錐線性互補問題來比較算法 3.1 和光滑 F-B 算法的數(shù)值效果,為了方便,例 4.4 中隨機產(chǎn)生的矩陣取對稱正定矩陣.

例4.4考慮 K 為 100 個塊的二階錐線性互補問 題, 即 K=Kn1× Kn2× ···× Kn100,且 A=diag(A1,···,A100),b=(b1,···,b100). 每一個塊矩陣 Ai(i=1,···,100) 是隨機產(chǎn)生的對稱 正定矩陣. 每 一個向量 塊 bi(i=1,···,100) 滿 足 qiT(Aqi? bi)=0, 其 中 qi∈ Kni是隨機產(chǎn)生的.

表 4.5: 例 4.4 中不同規(guī)模情形的數(shù)值結(jié)果

算法 3.1光滑 F-B 算法問題 m-Val a-Val m-Err a-Err CPU M-Val a-Val m-Err a-Err CPU 200 維 5.56e-8 9.33e-9 9.89e-8 1.48e-8 23.46 1.00e-6 4.06e-7 8.08e-6 4.96e-7 20.54 300 維 2.80e-7 2.33e-8 5.67e-7 5.12e-8 122.91 1.00e-6 4.16e-7 2.15e-6 4.24e-7 53.26 400 維 7.68e-8 2.13e-8 2.86e-7 5.11e-8 130.19 1.00e-6 3.76e-7 1.22e-6 3.40e-7 163.40 500 維 8.72e-8 1.90e-8 2.70e-6 4.44e-8 195.75 1.00e-6 4.16e-7 1.73e-6 4.03e-7 552.13

3

其次固定 ni=8,且, 在算法 3.1 中令 c=10, 初始 η =10, 而光滑 F-B方法中令 d=0.1,初始 μ =0.001. 取共同的終止準(zhǔn)則為 eps=10?6, 則數(shù)值結(jié)果如表 4.6 所示,其中 m-Iter 和 a-Iter 分別代表最大迭代次數(shù)和平均迭代次數(shù).

由表 4.5 可知兩種算法對例 4.4 都是可行的, 但算法 3.1 的精度明顯優(yōu)于光滑 F-B 算法;而表 4.6 說明,算法 3.1 與光滑 F-B 算法的結(jié)果相當(dāng),但算法 3.1 所需時間明顯少于光滑 F-B算法. 由表 4.6 還可看出, 算法 3.1 對不同參數(shù) r 所得結(jié)果也不同, 但一般來說, 參數(shù)較小時數(shù)值結(jié)果更優(yōu), 這與結(jié)論 (3.7) 一致.

5結(jié)論

本文將文獻 [21]中二階錐線性互補問題的冪罰函數(shù)算法推廣到一般的低階罰函數(shù)算法.當(dāng)矩陣A 正定時,低階罰函數(shù)方程組的解序列以指數(shù)速度收斂到二階錐線性互補問題的解.當(dāng)矩陣 A 非正定時,低階罰函數(shù)方程組解序列的任意極限點是二階錐線性互補問題的解,但收斂速度未知.數(shù)值實驗結(jié)果表明,在矩陣正定條件下,低階罰函數(shù)算法的數(shù)值精度和計算時間優(yōu)于光滑 F-B 算法,而且在低階罰函數(shù)算法中,選取較小的冪參數(shù) r,數(shù)值結(jié)果更優(yōu).

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A LOWER ORDER PENALTY METHOD FOR SECOND-ORDER CONE LINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEMS

ZHAO Wen-yu,HAO Zi-jun,YU Guo-lin
(School of Mathematics and Information Science,Beifang University of Nationalities, Yinchuan 750021,China)

In this paper,a lower order penalty method for solving the second-order cone linear complementarity problems is proposed. By this method,the second-order cone linear complementarity problem is transformed into lower order penalty equations.We prove that the solution sequence of the lower order penalty equations converges to the solution of the second-order cone linear complementarity problems at an exponential rate under a mild assumption,which extend the power penalty method for solving this problem.Numerical results demonstrate that our method is effi cient.

second-order cone;linear complementarity problem;low order penalty method; exponential convergence rate

tion:90C25;90C30

0C25;90C30

O224;O221.2

A

0255-7797(2017)02-0427-12

2016-01-27 接收日期:2016-05-23

國家自然科學(xué)基金 (11361001;11661002); 寧夏自然科學(xué)基金 (NZ16093); 寧夏高等學(xué)?？蒲许椖?(NGY2016136).

趙雯宇 (1991–), 女, 山西呂梁,碩士, 主要研究方向: 最優(yōu)化理論與方法.