龍倫海,梁 莉,單家俊

(海南大學(xué)信息學(xué)院,海南 海口 570228)

直線(xiàn)上子集的 Hs-拓?fù)浼捌鋺?yīng)用

龍倫海,梁 莉,單家俊

(海南大學(xué)信息學(xué)院,海南 ?？?570228)

本文利用 s- 維 Hausdorff 測(cè)度給 出了直線(xiàn)上一個(gè)子集 E 上的 Hs拓?fù)浜?Hs- 連通度的定義.討論了它們的性質(zhì)及其應(yīng)用,解決了緊的 s-集在歐氏拓?fù)湎峦贿B通的問(wèn)題.

分形;Hausdorff 測(cè)度;Hs- 拓?fù)?Hs- 連通度

1簡(jiǎn)介

本文在第二節(jié)給出了與后面內(nèi)容相關(guān)的一些基本拓?fù)渲R(shí)[1]; 第三節(jié)針對(duì)于實(shí)數(shù)集中的一個(gè)子集 E, 利 用 其 s- 維 Hausdorff 測(cè)度[2,3]給出了 E 上的一種新拓?fù)涞亩?義, 稱(chēng)之為 Hs-拓?fù)?第四節(jié)研究了 E 上 Hs-拓?fù)涞男再|(zhì),并提出了Hs-連通度的概念;第五節(jié)作為應(yīng)用給出了兩個(gè)分形集E 和 F 在分別賦予 Hs-拓?fù)浜?Ht-拓?fù)渲?它們之間一個(gè)映射為連續(xù)映射所滿(mǎn)足的條件,本文的主要目的是在該種拓?fù)湎?為進(jìn)一步研究分形之間映射的微積分建立理論基礎(chǔ)[4?7].

2相關(guān)拓?fù)渲R(shí)

設(shè) X 是一個(gè)非空集合,T 是 X 的子集作為元素構(gòu)成的集合系,二元空間 (X,T) 稱(chēng)為是一個(gè)拓?fù)淇臻g當(dāng)且僅當(dāng) T 包含空集 ? 和X,且對(duì)任意并和有限交保持封閉性,T 稱(chēng)為 X 上的一個(gè)拓?fù)?T 中的元稱(chēng)為開(kāi)集.如實(shí)數(shù)集R 上的歐氏距離產(chǎn)生的所有開(kāi)集構(gòu)成的T 就是R 的一個(gè)拓?fù)?稱(chēng)為歐氏拓?fù)?如果 X 上的兩個(gè)拓?fù)?S,T 滿(mǎn)足 S ? T,則稱(chēng) S 粗于 T 或者T 比 S 更細(xì),顯然最粗的拓?fù)涫?{?,X},而最細(xì)的拓?fù)涫?X 的所有子集構(gòu)成的集合系.

設(shè) (X,T) 是一拓?fù)淇臻g,Y 是 X 的非空子集,令 TY={Y ∩ G|G ∈ T},則稱(chēng) (Y,TY)是 (X,T) 的拓?fù)渥涌臻g. 若 R 是 X 上的等價(jià)關(guān)系,其等價(jià)類(lèi)構(gòu)成的集合 X/R 上的集合系TR={V |π?1(V) ∈ T} 形成一個(gè)拓?fù)?其中 π 是從 X 到 X/R 的自然映射,稱(chēng) (X/R,TR)是 (X,T) 的一個(gè)商拓?fù)淇臻g.

設(shè) (X,T) 是一拓?fù)淇臻g,若 X 不能分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的不交并,則稱(chēng) (X,T) 是連通的; 若 X 的任意開(kāi)覆蓋都存在有限的子覆蓋, 則稱(chēng) (X,T) 是緊的. 對(duì) x ∈ X 和 V ∈ T 滿(mǎn)足x ∈ V,則稱(chēng)V 是 x 的一個(gè)開(kāi)鄰域,若X 中的任意兩個(gè)不同點(diǎn)存在不交的開(kāi)鄰域,則稱(chēng)X 是Hausdorff 分離空間.

設(shè) f 是從拓?fù)淇臻g X 到拓?fù)淇臻g Y 的一個(gè)映射,x ∈ X 滿(mǎn)足 f(x) 的任意開(kāi)鄰域 V,都存在 x 的一個(gè)開(kāi)鄰域 U 有 f(U)? V,則稱(chēng) f 在點(diǎn) x 處連續(xù);若 f 在 X 的每個(gè)點(diǎn)都連續(xù),則稱(chēng)f 是連續(xù)映射.連續(xù)映射一定將連通集映射成連通集,將緊集映射成緊集.

3 Hs-聚點(diǎn)的定義及性質(zhì)

設(shè)E 是實(shí)數(shù)集 R 中的一個(gè)子集,取 T 是實(shí)數(shù)集 R 上的歐氏拓?fù)?S 為 T 在 E 上誘導(dǎo)的子拓?fù)?使 (E,S) 成為 (R,T) 的拓?fù)渥涌臻g. 當(dāng) E 是一個(gè) Hausdorff 維數(shù)嚴(yán)格小于 1 的分形時(shí),(E,S) 往往是完全不連通的 Hausdorff 分 離空間, 即 T 中沒(méi)有任何一個(gè)非空開(kāi)集屬于S. 為此對(duì)任意 s ≥ 0,將給 出 E 上的一 類(lèi) 比 S 更粗的拓?fù)?Hs- 拓?fù)涞亩x,記為 Hs,使得(E,Hs) 成為連通的拓?fù)淇臻g. 首先給出 E 的 Hs- 聚點(diǎn)的定義.

定義3.1設(shè) δ＞ 0,x ∈ R,記 Bδ(x)=((x ? δ,x)∩ E)∪ ((x,x+ δ)∩ E) 為點(diǎn) x 在 (E,S)中的去 心 δ - 鄰 域. 任 取 s ≥ 0, 如果 對(duì) 任意 δ＞ 0, 有 s- 維 Hausdorff 測(cè) 度 Hs(Bδ(x)) 嚴(yán)格大于零.則稱(chēng) x 為E 的一個(gè)Hs-聚點(diǎn),否則稱(chēng) x 為 E 的一個(gè) Hs-孤立點(diǎn).E 的所有 Hs-聚點(diǎn)組成的集合用 Js(E) 表示.

注意 E 的一個(gè) Hs-聚點(diǎn)可能屬于 E,也可能不屬于 E,如對(duì)所有 0 ≤ s ≤ 1 開(kāi)區(qū)間 (0,1)的 Hs- 聚點(diǎn)集 為 閉區(qū)間 [0,1]. 從該定義可 以看出 E 的一個(gè) Hs- 聚點(diǎn) 在其任意的 去 心左鄰域 (x ? δ,x) ∩ E 或者其去心右鄰域 (x ? δ,x) ∩ E 內(nèi)分布有正的 s- 維 Hausdorff 測(cè)度. 并且Hs-聚點(diǎn)具有下述性質(zhì).

命題3.2設(shè) E ? R,s0是 E 的 Hausdorff 維數(shù).

(1) 當(dāng) s=0 時(shí),R 中一個(gè)點(diǎn) x0是 E 的 H0- 聚點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意 δ＞ 0,x0的去心 δ-鄰域 Bδ(x0) 為無(wú)限集,因而當(dāng) E 是有界集時(shí),J0(E)= ? 的充分必要條件是 E 為有限集.

(2) 當(dāng) s ＞ s0時(shí),E 無(wú)任何 Hs- 聚點(diǎn),即 Js(E)= ?.

(3) 當(dāng) 0 ≤ s1≤ s2時(shí),有 Js1(E) ? Js2(E),即 Js(E) 隨 s 的增大而單減.

(4) 當(dāng) E1? E2時(shí),對(duì)任意 s ≥ 0 有 Js(E1)? Js(E2).

(5) 當(dāng) s ＞ 0 時(shí),Js(E)= ? 的充分必要條件是 E 的 s- 維 Hausdorff 測(cè)度 Hs(E)=0.

證由 Hs- 聚點(diǎn)的定義和以下 s- 維 Hausdorff 測(cè)度的性質(zhì) (a),(b),(c) 和 (d) 可分別證明命題中的 (1),(2),(3) 和 (4).

對(duì) E 中的任意子集 A,(a)A 的 0- 維 Hausdorff 測(cè)度 H0(A) 指的是 A 所包含的點(diǎn)的個(gè)數(shù);(b) 當(dāng) s ＞ s0時(shí), 由 Hausdorff 維數(shù) dimHA ≤ dimHE=s0可 得 A 的 s- 維 Hausdorff測(cè)度 Hs(A)=0;(c)A 的 s- 維 Hausdorff 測(cè) 度 Hs(A) 隨 s 的增 大 而非增;(d) 當(dāng) E1? E2時(shí),對(duì)任意 s ≥ 0,有 Hs(E1) ≤ Hs(E2).

對(duì)于性質(zhì) (5), 只 需證明必要性. 當(dāng) s ＞ 0 時(shí), 若 Js(E)= ?, 由 定 義 3.1 可 得對(duì)任意有理數(shù) x ∈ Q,存在 δ＞ 0 使得 s- 維測(cè)度, 從而有 證畢.

例1(1) 若 E 是 R 中的 一 個(gè) 有 限 子 集, 則對(duì)任意 s ≥ 0,E 中都沒(méi)有 Hs- 聚點(diǎn), 即Js(E)= ?;(2) 若 E 是 R 中的某一個(gè)區(qū)間的可數(shù)稠密子集,記E 為 E 在拓?fù)淇臻g (R,T) 中的閉包, 則 J(3) 若 E 是閉區(qū)間 [0,1] 上的 Cantor 三分集, 則當(dāng)時(shí)有 Js(E)=E, 而當(dāng)對(duì)于更一般的分形集 E 的 Hs- 聚點(diǎn)集 Js(E),將通過(guò)下述命題來(lái)加以描述.

命題3.3設(shè) E 是由迭代函數(shù)系 {f1,···,fn} 生成的分形不變集,且對(duì)每個(gè) i=1,···,n, fi的 Lipschitz 常數(shù) ci滿(mǎn) 足 0 ＜ ci＜ 1. 令 s0是 E 的 Hausdorff 維數(shù). 有 E 的 Hs- 聚點(diǎn)集為

證當(dāng) s ＞ s0,E 的任意子集 的 s- 維 Hausdorff 測(cè)度都等于零, 因而 E 沒(méi)有 Hs- 聚點(diǎn).下 面 只 需證 明當(dāng) 0 ≤ s ＜ s0時(shí) 有 E=Js(E) 成立. 當(dāng) 0 ≤ s ＜ s0時(shí), 一方 面由 Hausdorff維數(shù) 的定 義知 E 的 s- 維 Hausdorff 測(cè)度 Hs(E) 是 正無(wú) 窮大, 從 而 E 的 各級(jí) 基 塊的 s- 維Hausdorff 測(cè)度也是正無(wú)窮大.

另一方面,任取 x ∈ E 和對(duì)任意的 δ＞ 0,都一定存在充分大的 N,使得 x 在 (E,S) 中的去心 δ- 鄰域 Bδ(x) 至少包含 E 的一個(gè) N 級(jí)基塊, 因而 s- 維 Hausdorff 測(cè) 度 Hs(Bδ(x))嚴(yán)格大于零,所以x 是E 的一個(gè) Hs-聚點(diǎn).證畢

4 Hs-拓?fù)涞亩x及性質(zhì)

設(shè) E 是 R 中的一個(gè)子集, 對(duì)任意 s ≥ 0, 現(xiàn)在 E 中定義如下點(diǎn)之間的等價(jià)關(guān)系 Rs.

定義4.1稱(chēng) E 中的兩點(diǎn) x1,x2具有關(guān)系 Rs當(dāng)且僅當(dāng) E 中介于 x1和 x2之間的所有點(diǎn)形成的集合沒(méi)有 Hs- 聚點(diǎn), 即 Js([x1,x2]∩ E)= ? (不妨假設(shè) x1≤ x2).

現(xiàn)用 x1Rsx2表示 x1和 x2之間具有關(guān)系 Rs. 由該定 義及命題 3.2 中 (1) 和 (2),可直接得到 E 中的任意兩點(diǎn) x1,x2之間是否具有關(guān)系 Rs的如下判別方法.

命題4.2任取 x1,x2∈ E,不妨設(shè) x1≤ x2.

(1)x1R0x2的充分必要條件是交集 [x1,x2]∩ E 為有限集.

(2) 對(duì) 任 意 s ＞ 0,x1Rsx2的充 分 必要條件 是 交集 [x1,x2]∩ E 的 s- 維 Hausdorff 測(cè)度Hs([x1,x2]∩ E)=0.

設(shè) E ? R, 對(duì)任意 s ≥ 0, 由定義 4.1 和命題 4.2 容易驗(yàn)證 Rs為 E 中點(diǎn)之間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.任取 x ∈ E,令 x?為 x 在關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi). 由命題 4.2 可得如下命題 4.3.

命題4.3任取 E ? R 和 x ∈ E. 當(dāng) s=0 時(shí),在等價(jià)關(guān)系 R0下 x 的等價(jià)類(lèi) x?,可表示成所有這些交集 [x1,x2]∩ E 的并, 其中 x1,x2∈ E 滿(mǎn)足 x1≤ x ≤ x2且交集 [x1,x2]∩ E 為有限集. 而當(dāng) s ＞ 0 時(shí),在等價(jià)關(guān)系 Rs下 x 的等價(jià)類(lèi) x?,可表示成所有這些交集 [x1,x2]∩ E的并, 其中 x1,x2∈ E 滿(mǎn)足 x1≤ x ≤ x2且 s- 維 Hausdorff 測(cè)度 Hs([x1,x2]∩ E)=0.

該命題表明E 中任意一點(diǎn) x 在等價(jià)關(guān)系Rs下的等價(jià)類(lèi)x?可表示成一個(gè)包含 x 的區(qū)間I(x) 與 E 的交. 事實(shí)上,I(x) 是包含 x?的最小區(qū)間,我們稱(chēng) I(x) 為 E 中的點(diǎn) x 所屬的 Rs- 等價(jià)區(qū)間. 注意到 I(x) 在 E 和 s ≥ 0 確定的情況下由 x 唯一確定,可能是開(kāi)區(qū)間,也可能是閉區(qū)間,還可能是半開(kāi)半閉區(qū)間,同時(shí)可能是單點(diǎn)區(qū)間,有界區(qū)間或無(wú)界區(qū)間,并且E 的所有不同的 Rs-等價(jià)區(qū)間系 {I(x)} 形成 E 的兩兩不交的覆蓋.

記 E/Rs為 E 中的所有點(diǎn)在關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi)作為元素形成的集合,(E/Rs,SRs) 為(E,S) 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的商拓?fù)淇臻g. 為清楚起見(jiàn),現(xiàn)通過(guò)下面一些例子來(lái)說(shuō)明 E/Rs和SRs的構(gòu)成情況.

例2(1) 當(dāng) E 是 R 中的一個(gè)有限子集時(shí),對(duì)任意 s ≥ 0,有

(2) 當(dāng) E 是 R 中的一個(gè)可數(shù)子集時(shí),由于對(duì)所有 s ＞ 0,E 中任意兩點(diǎn)都在關(guān)系 Rs等價(jià),因此有

但當(dāng)s=0 時(shí)情況比較復(fù)雜,如當(dāng) E 是自然數(shù)集N 時(shí),有

當(dāng)E 是有理數(shù)集Q 時(shí),有

當(dāng)E={n1

| ?n ∈ N} 時(shí),有

當(dāng) E={0,n1

| ?n ∈ N} 時(shí),有

(3) 當(dāng) E 是閉區(qū)間 [0,1] 上的 Cantor 三分集時(shí),E 的 Hausdorff 維數(shù)是 s0=llnn23,s0- 維Hausdorff 測(cè) 度是 1, 因 此 對(duì)所 有 s ＞ s0, 有 E/R0={E},SR0={?,{E}}; 而 對(duì) 0 ≤ s ≤ s0的情況,對(duì)任意 x ∈ E,當(dāng) x 是某個(gè)空格區(qū)間的端點(diǎn)時(shí),x?由該空格區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)組成,如1的等價(jià)類(lèi)是由1和2構(gòu)成,否則當(dāng) x 不是某個(gè)空格區(qū)間的端點(diǎn)時(shí),x?只含有唯一的 x.

3

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對(duì)任意 s ≥ 0,針對(duì)于 (E,S) 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的商拓?fù)淇臻g (E/Rs,SRs),令 π 是從 E到 E/Rs的自然映射. 取 E 上的集合系 Hs={π?1(V)/V ∈ SRs}, 根據(jù)商拓?fù)淇臻g的定義, π 是連續(xù)映射,因此集合系 Hs是 E 上的一個(gè)由Rs確定的拓?fù)?由此定義

定義4.4稱(chēng) Hs是 E 上的 Hs- 拓?fù)? 稱(chēng) (E,Hs) 是 Hs- 拓?fù)淇臻g.

下面針對(duì)于例2中的一些例子給出其Hs-拓?fù)涞谋磉_(dá)式.

例3(1) 當(dāng) E 是 R 中的一個(gè)有限子集時(shí),對(duì)任意 s ≥ 0,有 Hs={?,E}.

(2) 當(dāng) E={0,n1| ?n ∈ N} 時(shí),有 H0={?,E ? {0},E} 及 Hs={?,E}(s ＞ 0).

(3) 當(dāng) E 是 閉 區(qū) 間 [0,1] 上 的 Cantor 三 分 集 時(shí), 有 Hs={?,E}(s ＞llnn23), 而 對(duì)0 ≤ s ≤llnn23的情況 下 Hs是 由 S 中的開(kāi)集簇 {(a,b) ∩ E} 通過(guò)任意并 和 有限交生 成 的拓?fù)?其中a滿(mǎn)足當(dāng)a∈/ E 時(shí)a= ?∞,當(dāng)a∈ E 時(shí) a是除了所有各級(jí)空格區(qū)間的左端點(diǎn)之外的所有點(diǎn).類(lèi)似地,b需滿(mǎn)足當(dāng) b∈/ E 時(shí) b=+∞,當(dāng)b∈ E 時(shí) b為除了所有各級(jí)空格區(qū)間的右端點(diǎn)之外的所有點(diǎn).

對(duì)于更一般的 E ? R,E 上的 Hs- 拓?fù)淇梢酝ㄟ^(guò)下述定理 4.6 加以描述.

首先由商拓?fù)淇臻g (E/Rs,SRs) 和 Hs- 拓?fù)淇臻g (E,Hs) 的定義可得如下引理.

引理4.5設(shè) U ∈ S, 有 U ∈ Hs的充分必要條件是 ?x ∈ U,x 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi) x?? U. 特別是當(dāng) E 中的點(diǎn) x 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi) x?不包含 E 的 Hs- 聚點(diǎn)時(shí),有x?∈ Hs成立.

證按照定義有 U ∈ Hs? ?V ∈ SRs使得 U= π?1(V)∈ S,又

因此有 U ∈ Hs當(dāng)且僅當(dāng) ?x ∈ U,x?? U.

當(dāng) E 中的點(diǎn) x 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi) x?不包含 E 的 Hs- 聚點(diǎn)時(shí),由命題 4.2,E的任何一個(gè) Hs-聚點(diǎn)只能?chē)?yán)格大于或者嚴(yán)格小于x?的每一個(gè)點(diǎn),因此可表x?為一個(gè) R 中包含 x?的開(kāi)區(qū)間與 E 的交集.即 x?∈ S,所以有 x?∈ Hs成立.證畢

由該引理知集合E 上的Hs-拓?fù)涫荅 上的歐氏拓?fù)銼 中滿(mǎn)足引理?xiàng)l件的所有開(kāi)集構(gòu)成的子拓?fù)?因此可得 E 上的 Hs-拓?fù)涞纳苫缦?

定理4.6對(duì)任意 E ? R 和 s ≥ 0. 若令 E1是由 ?∞ 和 E 中的所有點(diǎn)的 Rs-等價(jià)區(qū)間是左開(kāi)時(shí)的左端點(diǎn)及是右閉時(shí)的右端點(diǎn)共同構(gòu)成的集合,E2是由+∞ 和E 中的所有點(diǎn)的Rs-等價(jià)區(qū)間是左閉時(shí)的左端點(diǎn)和是右開(kāi)時(shí)的右端點(diǎn)共同構(gòu)成的集合,則有 E 上的Hs-拓?fù)?Hs是由 S 中的開(kāi)集簇 {(a,b)∩ E} 生成的拓?fù)?其中 a ∈ E1,b ∈ E2.

證令 ? 為 E 上的歐氏拓?fù)?S 中滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的開(kāi)集簇 {(a,b)∩ E}.

一方面對(duì)任意的 U ∈ ?,即存在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的 a ∈ E1和 b ∈ E2使得 U=(a,b)∩ E.任取 x ∈ U,有 a ＜ x ＜ b 成立,由 E1和 E2的定義知 x 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi) x?包含在 U 中,所以 ? ? Hs.

另一方面對(duì)任意的 U ∈ Hs, 由引理 4.5 知 U ∈ S 且 ?x ∈ U 有 x 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi) x?? U. 任取 x ∈ U,由于 x?? U ∈ S,因此存在 x?在 S 中一個(gè)充分小的鄰域 Ux?使得 x?? Ux? ? U, 并且可表 Ux? =(a(x),b(x)) ∩ E ∈ ?, 比如當(dāng) E 中小于 x 的每一點(diǎn) y 的Rs- 等價(jià)區(qū)間 I(y) 都是左閉右開(kāi)時(shí)取 a(x) 為 ?∞,否則存在 y ＜ x 使得 I(y) 是左開(kāi)的或右閉的區(qū)間, 可取 a(x) 為 I(y) 是左開(kāi)時(shí)的左端點(diǎn)或者右閉時(shí)的右端點(diǎn). 類(lèi)似也可選取 b(x) 或者為+∞ 或者為大于x 的某個(gè)點(diǎn)y的 Rs-等價(jià)區(qū)間的左閉端點(diǎn)或右開(kāi)端點(diǎn).這樣即可表示因此 U 屬于 ? 生成的拓?fù)渲? 證畢

定理4.7對(duì)任意 E ? R,E 上的 Hs- 拓?fù)?Hs在歐氏拓?fù)?S 中隨著 s 的增大而逐步加粗,即對(duì)任意有關(guān)系式成立.

證對(duì) 任 意 0 ≤ s1≤ s2, 由 命 題 4.2 知 E 中 的 兩 個(gè) 點(diǎn) x,y 若 有 關(guān) 系 xRs1y, 則 一 定 有xRs2y 成立. 因此由命題 4.3 可得 E 中任意點(diǎn)在關(guān)系 Rs1下的等價(jià)類(lèi)一定包含在關(guān)系 Rs2下的等價(jià)類(lèi)中, 再由引理 4.5 可得關(guān)系式 Hs2? Hs1? S 成立. 證畢.

下面將討論 Hs- 拓?fù)淇臻g (E,Hs) 的連通性問(wèn)題.首先給出 (E,Hs) 是連通的充分必要條件.

定理4.8設(shè)令 I 是包含 E 的最小區(qū)間. ?s ≥ 0,Hs- 拓?fù)淇臻g (E,Hs) 是連通的充分必要條件是 其中 I(x) 是 x 所屬的 Rs-等價(jià)區(qū)間.

證先證充分性. 任取 x0∈ E,令 U(x0) 為拓?fù)淇臻g (E,Hs) 中包含 x0的連通分支 (即U(x0) 為 Hs中包含 x0的最大連通開(kāi)集),并取

有 Uc?(x0),Uc+(x0) ∈ Hs. 現(xiàn)取 a1(x0) 和 a2(x0) 分別為 U(x0) 與 Uc?(x0) 和 Uc+(x0) 的分界點(diǎn),可表

并注意到 a(x) 和 a(x) 都不屬于 ∪I(x). 由條件可得 a(x) 和 a(x) 都

10201020

下面采用反證法證明必要性.若 則存在 x0∈ I 而 x0∈/ I(x). 令x∈E

由引理 4.5 知 U1,U2∈ Hs, 且, 這與 (E,Hs) 是連通的產(chǎn)生矛盾.證畢

由于對(duì)拓?fù)淇臻g上的拓?fù)浣?jīng)過(guò)加粗之后保持連通性不變,因此存在 0 ≤ s0≤ 1 使得當(dāng)?0 ≤ s ＜ s0時(shí)拓?fù)淇臻g (E,Hs) 不是連通的,當(dāng) ?s ＞ s0時(shí)拓?fù)淇臻g (E,Hs) 是連通的. 為此給出下面的Hs-連通度的定義.

定義4.9設(shè) E ? R, 稱(chēng)使得 Hs- 拓?fù)淇臻g (E,Hs) 是連通的和不是連通的 s 的分界點(diǎn)s0為 E 的 Hs- 連通度, 用 l(E) 表示. 即

集合 E 的 Hs- 連通度反映 了其 Hs-拓?fù)淇臻g (E,Hs) 可連通的程度.自然可提出如下一些問(wèn)題,什么情況下 E 的 Hs-連通度等于零;是否存在Hs-連通度嚴(yán)格介于 0 和 1 之間的集合.為此由下面定理 4.10 和例 4 給出相應(yīng)的結(jié)論.

定理4.10若 E 是歐氏空間 (R,T) 中的閉子集, 則 E 的 Hs- 連通度 l(E)=0.

證只需證明 E 的 H0-拓?fù)淇臻g (E,H0) 是連通的. 設(shè) I 是包含 E 的最小區(qū)間,I(x) 是E 中的點(diǎn)x 所屬的R0-等價(jià)區(qū)間,將證明等式 成立, 從而由定理 4.8 即得所需結(jié)論.

首先包含關(guān)系 自然成立. 現(xiàn)證 任取 x ∈ I,當(dāng) x ∈ E 時(shí)有x ∈ I(x); 當(dāng) x∈/ E 時(shí), 由于 E 是歐氏空間 (R,T) 中的閉子集,因而 I 是閉區(qū)間,從而存在x1,x2∈ E 使得因此有 x1R0x2成立,即 x ∈ I(x1)=I(x2).

推論4.11設(shè) E 是由迭代函數(shù)系生成的分形不變緊集, 且對(duì)每個(gè) i= 1,···,n,fi的 Lipschitz 常數(shù) ci滿(mǎn)足. 則對(duì)任意 s ≥ 0,E 的 Hs- 拓?fù)淇臻g(E,Hs) 是連通的緊空間.

例4閉區(qū)間 [0,1] 上的 Cantor 三分集 E 是由迭代函數(shù)系生成的分形不變緊集,Hs- 連通度 l(E)=0. 當(dāng)去掉 E 的某個(gè)空格區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)變?yōu)?E′時(shí), 雖然 E和 E′具有相 同的 Hausdorff 維 數(shù) 和 Hausdorff 測(cè)度, 分別 為和 1,但的 Hs- 連 通度比如令, 當(dāng)時(shí), 令有且和, 此時(shí) (E′,Hs) 不再是連通的,而是由兩個(gè)連通分 支組成. 當(dāng)時(shí),的- 拓 撲 Hs={?,E′} 是 平凡的, 因 而 (E′,Hs)是連通的.

一般 的 分形 集 E 在 歐 氏拓 撲下 往 往是 不連 通的 Hausdorff 分 離空 間, 定理 4.10 表 明在E 上對(duì)歐氏拓?fù)溥M(jìn)行加粗之后形成的Hs-拓?fù)淇臻g的連通性變好了,但分離性又變差了.對(duì)任意 s ≥ 0,如果 E 中的每個(gè)點(diǎn) x 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi) x?只包含唯一的 x,則 E 上的歐氏拓?fù)浜?Hs- 拓?fù)涫且粯拥?(E,Hs) 仍是 Hausdorff 分 離 空 間. 如果一旦 E 中的某個(gè)點(diǎn)x 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi) x?包含了兩個(gè)不同的點(diǎn) x1和 x2, 則由引理 4.5 知 x1和 x2不能通過(guò)Hs中的開(kāi)集分離開(kāi)來(lái).因此有下述性質(zhì).

命題4.12設(shè) E 是 R 的任 意 子集. 對(duì)任 意 s ≥ 0,E 的 Hs- 拓?fù)?空間 (E,Hs) 是Hausdorff 分離空間的充分必要條件是 E 中任意點(diǎn) x 在等價(jià)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi) x?只包含唯一的x.

5 Hs-拓?fù)淇臻g之間映射的連續(xù)性

由連續(xù)映射的定義,兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間的一個(gè)映射是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)開(kāi)集的原像還是開(kāi)集.本節(jié)作為前面討論的Hs-拓?fù)淇臻g的應(yīng)用,建立了直線(xiàn)上一個(gè)Hs-拓?fù)淇臻g和一個(gè) Ht-拓?fù)淇臻g之間映射的連續(xù)性理論.任取直線(xiàn)上的兩個(gè)子集E 和F,設(shè) f 是一個(gè)從Hs-拓?fù)淇臻g (E,Hs) 和 Ht- 拓?fù)淇臻g (F,Ht) 之間的映射, 首先 由定理 4.7 一個(gè)集合的 Hs- 拓?fù)潆Ss的增大而逐步加粗,因此有下述性質(zhì).

命題5.1若 f 是從 Hs- 拓?fù)淇臻g (E,Hs) 到 Ht- 拓?fù)淇臻g (F,Ht) 的連續(xù)映射, 則對(duì)任意 u ≤ s 和 v ≥ t,有 f 為一個(gè)從 (E,Hu) 到 (F,Hυ) 的連續(xù)映射.

定理5.2對(duì)任意 s,t ≥ 0, 作為 Hs- 拓?fù)淇臻g (E,Hs) 和 Ht- 拓?fù)淇臻g (F,Ht) 之間的映射f 是連續(xù)映射的充分必要條件是f 在E 中的所有Hs-聚點(diǎn)處連續(xù),并且對(duì)任意的x,y ∈ E,若有關(guān)系 xRsy,則關(guān)系 f(x)Rtf(y) 成立.

證必要性一方面若 f 是從空間 (E,Hs) 到 (F,Ht) 的連續(xù)映射,則 f 在 E 中每一點(diǎn)都連續(xù),因而函數(shù) f 在 E 中的所有Hs-聚點(diǎn)處也連續(xù);另一方面若E 中的點(diǎn) x 不是 E 的Hs- 聚點(diǎn), 設(shè) V(f(x)) 為 (F,Ht) 中 f(x) 的任意開(kāi)鄰域,由條件得 f?1(V(f(x))) 是 (E,Hs) 中x 的開(kāi)鄰域.對(duì)任意 y ∈ E,當(dāng)?shù)葍r(jià)關(guān)系 xRsy 成立時(shí), 由引理 4.5 有 y ∈ f?1(V(f(x))),因而f(y) ∈ V(f(x)),再由 V(f(x)) 作為 f(x) 的開(kāi)鄰域的任意性,得等價(jià)關(guān)系 f(x)Rtf(y) 成立.

充分性設(shè)函數(shù) f 在 E 中的所有 Hs- 聚點(diǎn)處連續(xù), 且對(duì)任意的 x,y ∈ E,當(dāng)有關(guān)系xRsy 時(shí)有關(guān)系 f(x)Rtf(y) 成立. 任取 x ∈ E,當(dāng) x 不是 E 的 Hs- 聚點(diǎn)時(shí), 任取 V(f(x)) 為(F,Ht) 中 f(x) 的開(kāi)鄰域,將證明其逆像 f?1(V(f(x))) 為 x 的開(kāi)鄰域來(lái)得到 f(x) 在 x 處連續(xù).當(dāng) f?1(V(f(x))) 不包含 E 中的 Hs-聚點(diǎn)時(shí),一方面由條件 f?1(V(f(x))) 是由其中的所有點(diǎn)在關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi)的并構(gòu)成. 另一方面由引理 4.5 的第二個(gè)結(jié)論 f?1(V(f(x))) 的每一點(diǎn)關(guān)系 Rs下的等價(jià)類(lèi)屬于 Hs,因此有 f?1(V(f(x))) ∈ Hs成立. 當(dāng) f?1(V(f(x))) 包含 E中的某個(gè) Hs- 聚點(diǎn) y 時(shí),有 V(f(x)) 是 f(y) 在 (F,Ht) 中的開(kāi)鄰域, 由條件 f(x) 在 y 處連續(xù),得 f?1(V(f(x))) 是 y 在 (E,Hs) 中的開(kāi)鄰域,因此 f?1(V(f(x))) 是 x 的開(kāi)鄰域.證畢.

對(duì)任意 0 ≤ t≤ 1,由于實(shí)數(shù)集 R 的 Ht-拓?fù)?Ht就是歐氏拓?fù)?T,并且 R 中的每個(gè)點(diǎn) y在關(guān)系 Rt下的等價(jià)類(lèi)只包含唯一的 y,因此由定理 5.2 可得如下推論.

推論5.3設(shè) f 是 Hs- 拓?fù)淇臻g (E,Hs) 到歐氏拓?fù)淇臻g (R,T) 的實(shí)函數(shù).f 是連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是 f 在 E 中的所有 Hs-聚點(diǎn)處連續(xù),并且對(duì)任意的 x,y ∈ E,若有關(guān)系xRsy,則 f(x)=f(y).

由此可得,若 f 是 Hs-拓?fù)淇臻g (E,Hs) 到歐氏拓?fù)淇臻g (R,T) 的連續(xù)實(shí)函數(shù),則 f(x)在 E 中的所有Hs-聚點(diǎn)處的極限值等于在該點(diǎn)處的函數(shù)值,并且在E 中每一點(diǎn)在 Rs下的等價(jià)類(lèi)上取常值.特別是當(dāng) E 為 (R,T) 中的緊子集時(shí),由定理 4.10 知 (E,Hs) 是連通的緊空間,f(E) 是 (R,T) 中的連通緊集,因而是有界閉區(qū)間,所以這樣的函數(shù)一定具有有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性等.

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THE Hs-TOPOLOGY ON A SUBSET IN REAL LINE AND ITS APPLICATIONS

LONG Lun-hai,LIANG Li,SAN Jia-jun
(School of Information,Hainan University,Haikou 570228,China)

In this paper,by using the s-dimensional Hausdorff measure,we give the concepts of Hs-Topology and Hs-connectivity on a subset in real line,discuss their properties and some applications.In addition,the disconnected problem of a compact s-set under the Euclidean topology is solved.

fractal;Hausdorff measure;Hs-Topology;Hs-connectivity

tion:28A80;54F65

8A80;54F65

O174.12;O189.11

A

0255-7797(2017)02-0401-08

2014-08-05 接收日期:2015-03-19

海南省自然科學(xué)基金資助 (113003); 國(guó)家自然科學(xué)基金資助 (11461016).

龍倫海 (1965–), 男, 重慶大足,教授, 主要研究方向: 分形幾何, 非標(biāo)準(zhǔn)分析.