魏 利,陳 蕊

(河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050061)

一類 Capillarity 系統(tǒng)非平凡解的存在性研究

魏 利,陳 蕊

(河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050061)

本文研究了一類 capillarity 系統(tǒng)解的存在性問題. 采用在乘積空間中定義非線性映射的方法, 把 capillarity 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為非線性算子方程. 借助于 Sobolev 嵌入定理等技巧證明非線性映射具有緊性,進(jìn)而利用非線性映射值域的性質(zhì)得到非線性算子方程解的存在性的結(jié)論.并由此獲得在一定條件下 capillarity 系統(tǒng)在 Lp1(?) × Lp2(?) × ···× LpM(?) 空間中存在非平凡解的結(jié)論, 其中 ? 為RN(N ≥ 1) 中有界錐形區(qū)域且N2N+1＜ pi＜ +∞,i=1,2,···,M.本文所研究的問題和所采用的方法推廣和補(bǔ)充了以往的相關(guān)研究工作.

乘積空間;m 增生映射;Caratheodory 條件; 嵌入; 緊映射;capillarity 系統(tǒng)

1引言及預(yù)備知識(shí)

源于 Capillarity 方程與毛細(xì)現(xiàn)象等實(shí)際問題密切相關(guān),所以對(duì)這類問題的研究活躍在數(shù)學(xué)領(lǐng)域. 針對(duì) Capillarity 方程解的存在性及其特征值問題的研究,常見的方法是山路原理和極大極小原理. 近期,在文 [1–2]中,作者提出了新方法 – 利用極大單調(diào)算子和 m 增生映射的值域理論展開了對(duì)這類問題的研究.具體地,2013 年,作者在文 [1]中給出了以下具 Neumann邊值條件的 Capillarity 方程在 W1,p(?) 空間中存在解的充分條件

其主要研究思路是首先建立具 Neumann 邊值條件的 Capillarity 方程和具 Dirichlet 邊值條件的 Capillarity 方程之間的關(guān)系; 然后將邊值條件轉(zhuǎn)化為非線性極大單調(diào)算子之和的形式;最后利用 Reich[3]提出的極大單調(diào)算子值域幾乎相等的結(jié)論進(jìn)行討論.

2012 年, 作者在文 [2]中利用 Calvert-Gupta[4]提出的 m 增生映射值域的擾動(dòng)結(jié)論研究了以下具 Neumann 邊值條件的 Capillarity 方程在 Lp(?) 空間中存在解的結(jié)論

其主要研究思路是將邊值條件和非線性方程揉合在一起定義所需的m增生映射.

當(dāng)某個(gè)實(shí)際問題需要用多個(gè) Capillarity 方程來研究的時(shí)候,就引出了研究 Capillarity 系統(tǒng)的問題. 本文分為兩部分. 第一部分是引言和預(yù)備知識(shí), 第二部分給出一類 Capillarity 系統(tǒng)存在非平凡解的充分條件. 本質(zhì)上將對(duì) Capillarity 方程的研究推廣到了方程組的情形, 并采用了不同于文 [1,2]的方法.

下面介紹預(yù)備知識(shí).

設(shè) E 為實(shí) Banach 空間,E?為其對(duì)偶空 間. 正規(guī)對(duì)偶映射 J:E → 2E?定義為J(x)={x?∈ E?:〈x,x?〉= ‖x‖2= ‖x?‖2},?x ∈ E, 其中 〈·,·〉表示 E 與 E?元素間的廣義對(duì)偶對(duì). 眾所周知, 當(dāng) E 為實(shí)嚴(yán)格凸 Banach 空間時(shí), 正規(guī)對(duì)偶映射為單值映射. 為方便起見,仍用J表示單值正規(guī)對(duì)偶映射.

稱多值算子 B:E → 2E?為單調(diào)算子[5]: 若 ?xi∈ D(B),yi∈ B xi,i=1,2, 均有

若 (1.3) 式中等號(hào)成立的充要條件是 x1=x2,則稱 B 為嚴(yán)格單調(diào)算子. 稱算子 B 為極大單調(diào)算子: 若 B 單調(diào)且 ?r ＞ 0,R(J+rB)=E?.

稱多值映射 A:E → 2E為增生映射[6]: 若 〈v1? v2,j(u1? u2)〉≥ 0, ?ui∈ D(A) 和vi∈ Aui,i=1,2,這里 j(u ? v) ∈ J(u ? v).稱增生映射 A 為 m 增生的: 若 R(I+ λA)=E,?λ ＞ 0.

設(shè) E1和 E2均為實(shí) Banach 空間. 映射 C:E1→ E2稱為有界映射: 若 C 將 E1中的有界子集映射成E2中的有界子集.映射 C:E1→ E2稱為緊映射:若 C 連續(xù)且將 E1中的有界子集映射成E2中的相對(duì)緊集.

稱函數(shù) Φ :E → (?∞,+∞] 為正則凸函數(shù)[6]: 若存在 u0∈ E 使得 Φ(u0) ＜ +∞ 且Φ((1 ? λ)u+ λv) ≤ (1 ? λ)Φ(u)+ λΦ(v),?u,v ∈ E 及 λ ∈ [0,1].稱函數(shù) Φ :E → (?∞,+∞]是下半連續(xù)函數(shù): 若yli→mxinfΦ(y) ≥ Φ(x),?x ∈ E. 對(duì) E 上 定 義 的正 則 凸函 數(shù) Φ, 其 次微 分?Φ :E → E?定義為 ?u ∈ E,

設(shè) E1和 E2為實(shí) Banach 空間. 則記號(hào)“E1→→ E2”表示空間 E1緊嵌入到 E2.

定義1.1[5]設(shè) N 為正整數(shù),? 為 RN中有界開集,稱 g:? ×RN→ R 滿足 Caratheodory條件,如果

(i)g(x,·):RN→ R 連續(xù) a.e.x ∈ ?;

(ii) 映射 g(·,r):? → R 可測, ?r ∈ RN.

引理1.1[7]設(shè) X1,X2,···,XM為實(shí) Banach 空間,則 X1× X2× ···× XM定義為

則 X1× X2× ···× XM成為線性空間. 特別地,當(dāng)定義如下范數(shù)時(shí),X1× X2× ···×XM為實(shí) Banach 空間且 (X1× X2× ···×XM)?=X?1× X?2× ···×X?M.

引理1.2[5]若 Φ :E → (?∞,∞]為正則凸、下半連續(xù)函數(shù),則 ?Φ :E → 2E?極大單調(diào).

引理1.3[4]令 ? 為 RN中的有界區(qū)域, 令 Jp:Lp(?) → Lp′(?) 表示正規(guī)對(duì)偶映射. 則當(dāng)1＜p＜+∞ 時(shí),

引理1.4[8]令 ? 為 RN中的有 界錐 形 區(qū)域. 若 mp ＞ N, 則若0 ＜ mp ≤ N 且, 則, 其中 1 ≤ q ＜ q0.

定理1.1[9]令 E 為實(shí) Banach 空間,A:E → 2E為 m 增生映射且 (I+A)?1:E → E為緊映射. 令 C:D(A) ? E → E 為有界映射且存在 λ ∈ (0,1]使得 C(I+ λA)?1:E → E為緊映射. 假設(shè) p ∈ E 且存在正常數(shù) b,r 和滿足

?x ∈ D(A):‖x‖ ≥ r,?y ∈ Ax,其中 j(x ? z) ∈ J(x ? z),那么 p ∈ R(A+C).

2 Capillarity 系統(tǒng)非平凡解的存在唯一性

在 (2.1) 式 中, ? 是 RN(N ≥ 1) 中 有 界 錐 形 區(qū) 域 且 其 邊 界 Γ ∈ C1(見 文 獻(xiàn) [10]); εi∈ R+∪{0}, λi∈ R+,i=1,2,···,M; ? 表示 Γ 的外法向?qū)?shù);|·| 表示 RN中的范數(shù);〈·,·〉表示 RN中的內(nèi)積.

gi:? × RN× R → R 為滿足 Carath′eodory 條件的給定函數(shù),i=1,2,···,M. 假設(shè)它們滿足以下增長性條件:存在正常數(shù) bi使得

βx為 ?x的次微分,即 βx≡ ??x.這里 ?x= ?(x,·):R → R,?x ∈ Γ,其中 ? :Γ ×R → R為給 定 函數(shù), 見文 [11]. 假設(shè) ?x ∈ Γ, ?x:R → R 為 正則凸、下半 連續(xù)函 數(shù),?x(0)=0, 0 ∈ βx(0) 且 ?t∈ R,函數(shù)可測,λ ＞ 0.

引進(jìn)如下記號(hào):Y=Lp1(?)× Lp2(?)× ···× LpM(?).分別用 ‖ ·‖pi和 ‖ ·‖Y表示 Lpi(?)和空間Y 中的范數(shù).令1+1′=1,i=1,2,···,M.

pipi

引理2.1定義 Φi:W1,pi(?) → R 為 ?u ∈ W1,pi(?), Z

則

(i) Φi是 W1,pi(?) 上的正則凸、下半連續(xù)函數(shù). 從而引理 1.2 蘊(yùn)含 ?Φi是極大單調(diào)算子,i=1,2,···,M.Z

證由類似于文 [10] 可證結(jié)論 (i) 和 (iii) 成立. 類似于文 [12] 可證結(jié)論 (ii) 成立.

引理2.2[2]定義 Bi:W1,pi(?) → (W1,pi(?))?為?u,v ∈ W1,pi(?). 則 Bi極大單調(diào)且嚴(yán)格單調(diào),i=1,2,···,M.

引理2.3[2]定義存在 f ∈ Lpi(?),使得.對(duì),M.則 Ai是 m 增生映射,i=1,2,···,M.

命題2.1定義 A:Y → Y 為

則A是m增生映射.

證首先注意當(dāng)時(shí),Lpi(?) 為嚴(yán)格凸 Banach 空間, 所以定義在 Lpi(?)

上的正規(guī)對(duì)偶映射為單值映射,i=1,2,···,M.若定義 J:Y → Y?為

?u=(u1,u2,···,uM) ∈ Y,其中 Jpi表示 Lpi(?) 上的正規(guī)對(duì)偶映射,i=1,2,···,M,則 J為Y上的正規(guī)對(duì)偶映射.

事實(shí)上,因?yàn)?Jpi表示 Lpi(?) 上的正規(guī)對(duì)偶映射,所以由乘積空間的性質(zhì)和正規(guī)對(duì)偶映射的定義可知

而且

因此J為Y上的正規(guī)對(duì)偶映射.

因?yàn)?Ai是增生映射,所以有

因此A為增生映射.

至此證明了A是m增生映射.

引理2.4若 η(μi):R → R 單調(diào)、Lipschitz 連續(xù)具 Lipschitz 常 數(shù)μ1且 (ημ(i))′在 R 上除至多有限點(diǎn)外連續(xù), 其中 μ ＞ 0, 則,1,2,···,M. 進(jìn)一步由引理 2.1 知·,M.

證因?yàn)閱握{(diào)且 Lipschitz 常數(shù)為所以存在滿足

和

由假設(shè)條件知?x為凸函數(shù),從而

利用引理 2.1 知

由次微分的定義可知

和

從而

因此結(jié)論成立.

命題2.2映射 (I+A)?1:Y → Y 為緊映射.

證若 u+Au=w 且在 Y 中有界, 則只需證明 {u= (u1,u2,···,uM)} 在 Y 中相對(duì)緊.

將證明分為以下兩種情形:

(i)pi≥ 2.

因此

(2.2) 式蘊(yùn)含

由 (2.3) 式可知

再由 (2.3) 和 (2.4) 式可知

因 pi≥ 2,故因此在中有界. 利用引理 1.4在 Lpi(?) 中相對(duì)緊. 因?yàn)?Nemytskii 映射連續(xù),所以在中相對(duì)緊,i=1,2,···,M. 于是 {u} 在 Y 中相對(duì)緊. 至此證明了為緊映射.

為此,定義 η(i)n,θ(i)n:R → R 如下

和

于是

下面計(jì)算

因 wi=ui+Aiui, 故

由引理 1.4 知當(dāng) N ≥ 2 時(shí),

當(dāng)N=1時(shí),

命題2.3定義 C:Y → Y 如下?u=(u1,u2,···,uM) ∈ Y, 其 中 Ci:Lpi(?) → Lpi(?) 為 Ciui= εigi(x,▽ui,ui),i= 1,2,···,M.則 C:Y → Y 連續(xù).

證由 gi的假設(shè)條件可知 Ci:Lpi(?) → Lpi(?) 有定義且 ?ui,vi∈ Lpi(?),

i=1,2,···,M.由此可知 Ci連續(xù),i=1,2,···,M.從而由乘積空間的性質(zhì) C:Y → Y 連續(xù).

命題2.4映射 C(I+A)?1:Y → Y 為緊映射.

證由命題 2.2 和 2.3 易知映射 C(I+A)?1:Y → Y 為緊映射.

定理2.1若存 在 u=(u1,u2,···,uM) ∈ Y 使 得對(duì) f=(f1,f2,···,fM) ∈ Y 具 f/= θ,滿足

i=1,2,···,M,這里 θ為 Y 中的零元,則 u=(u1,u2,···,uM) ∈ Y 為 Capillarity 系統(tǒng) (2.1)的非平凡解.

如果進(jìn)一步假設(shè) gi(x,r1,···,rN+1) 關(guān)于 rN+1單調(diào), 即?x ∈ ? 及·,M,那么 Capillarity 系統(tǒng) (2.1)存在唯一非平凡解.

證若滿足 (2.10), 則由命題 2.1–2.4 知定理 1.1 的條件被滿足.從而滿足算子方程 f=Au+C u.

由引理 2.3, 命題 2.1 和命題 2.3 知 Aθ+C θ = θ. 因此由 f/= θ知 u/= θ. 因 f=Au+C u,故利用引理 2.1 知

因此

利用 Green 公式, ?vi∈ W1,pi(?),

因此

至此證明了 u=(u1,u2,···,uM) 是 (2.1) 式的非平凡解.

最后證明若進(jìn)一步假設(shè) gi(x,r1,···,rN+1) 關(guān)于 rN+1單調(diào),則 (2.1) 式的解還是唯一的.

事 實(shí) 上, 只 需 證 明 若 f=Au+C u=A?u+C ?u, 其 中 u=(u1,u2,···,uM), ?u= ( ?u1, ?u2,···, ︿uM), 則:u ≡ ?u, 即 ui≡ ?ui,i=1,2,···,M.

推論2.1當(dāng) i ≡ 1 時(shí),Capillarity 系統(tǒng)退化成如下 Capillarity 方程

當(dāng) f(x) ∈ Lp(?) 滿足時(shí),(2.11) 式存在非平凡解u(x) ∈ Lp(?). 若進(jìn)一步假設(shè)關(guān)于 rN+1單調(diào), 則 (2.11) 式存在唯一的非平凡解.

注2.1文 [1]在討論 Capillarity 邊值問題 (1.1) 解的存在性時(shí),不僅要證明所定義的算子A 和 L 是極大單調(diào)算子,還需要驗(yàn)證一個(gè)很復(fù)雜的不等式“k2‖Ltw‖ ? k3,其中 Lt為 L 的 Yosida 逼近”;文 [3]在討論 Capillarity 邊值問題 (1.2) 解的存在性時(shí),不僅要驗(yàn)證 A 是 m 增生、有界逆緊映射并且滿足條件“其中 f ∈ R(A) 且 a ∈ D(A)”,還需要挖掘 A 的值域的特征.

本文采用了不同于文 [1,3]中的證明方法. 從某種意義上講,研究方法相對(duì)簡單.

[1] 魏利, 段麗凌. 一類廣義 Capillarity 方程的單調(diào)性方法 [J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2013,33(8):937 –948.

[2]Wei Li,Duan Liling,Zhou H Y.Study on the existence and uniqueness of solution of generalized capillarity problem[J].Abstract and Applied Analysis,2012,Article ID 154307,18 pages.

[3]Reich S.The range of sums of accretive and monotone operators[J].J.Math.Anal.Appl.,1979,68: 310 –317.

[4]Calvert B D,Gupta C P.Nonlinear elliptic boundary value problems in Lp-spaces and sums of ranges of accretive operators[J].Nonl.Anal.,1978,2(1):1–26.

[5]Pascali D,Sburlan S.Nonlinear mappings of monotone type[M].Romania:Sijthoff Noordhoff Intern. Publ.,1978.

[6]Barbu V.Nonlinear semigroups and diff erential equations in Banach spaces[M].Netherlands:Noordhoff Intern.Publ.,1976.

[7]Kato T.Perturbation theory for linear operators[M].Second Corrected Printing of the Second Edition,Berlin,New York,Tokyo:Springer-Verlag,1984.

[8] 李立康, 郭毓陶. 索伯列夫空間引論 [M]. 上海: 上海科技出版社,1981.

[9]Hirano N,Kalinde A K.On perturbations of m-accretive operators in Banach spaces[J].Proc.Amer. Math.Soc.,1996,124(4):1183–1190.

[10]Wei Li,Agarwal R P.Existence of solutions to nonlinear Neumann boundary value problems with generalized p-Laplacian operator[J].Comput.Math.Appl.,2008,56(2):530–541.

[11]Wei Li,Duan Liling,Agarwal R P.Existence and uniqueness of the solution to integro-diff erential equation involving the generalized p-Laplacian operator with mixed boundary conditions[J].J. Math.,2013,33(6):1009–1018.

[12]Wei Li,Agarwal R P,Wong P J Y.Non-linear boundary value problems with generalized p-Laplacian,ranges of m-accretive mappings and iterative schemes[J].Appl.Appl.,2014,93(2):391–407.

STUDY ON THE EXISTENCE OF NON-TRIVIAL SOLUTION OF ONE KIND CAPILLARITY SYSTEMS

WEI Li,CHEN Rui
(School of Mathematics and Statistics,Hebei University of Economics and Business Shijiazhuang 050061,China)

In this paper,the existence of solution of one kind capillarity systems was studied. The capillarity systems are converted to nonlinear operator equation in view of the method of defining nonlinear mappings in product space.By using the techniques of Sobolev embedding theorems etc.,the compactness of the nonlinear mapping is proved.Some properties of nonlinear mappings are employed to obtain the result that the nonlinear operator equation has solutions.Finally,the result that capillarity systems have non-trivial solution in Lp1(?)× Lp2(?)× ···× LpM(?) is proved,where ? is the bounded conical domain of RN(N ≥ 1)andN2N+1＜ pi＜ +∞,for i=1,2,···,M.The system studied and the methods used in this paper extend and complement some previous corresponding work.

product space;m-accretive mapping;Caratheodory’s conditions;embedding; compact mapping;capillarity systems

tion:47H05;47H09

7H05;47H09

O177.91

A

0255-7797(2017)02-0390-11

2014-11-06 接收日期:2015-05-18

國家自然科學(xué)基金資助 (11071053); 河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助 (A2014207010); 河北省教育廳科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目資助 (ZH2012080); 河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目資助 (2015KYZ03).

魏利 (1967–),女, 河北樂亭, 教授, 主要研究方向: 非線性泛函分析.