在研讀完文⑴、⑵、⑶后感受頗多、受益匪淺.自己在教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)了利用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)可快速作過圓錐曲線上任意一點(diǎn)的切線，現(xiàn)與大家一起探討.

一、圓錐曲線的幾個性質(zhì)

1.橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑的夾角被該點(diǎn)處的法線所平分.

證明：如圖（1）設(shè)橢圓方程為 ，且 為橢圓上任一點(diǎn)， 是左右焦點(diǎn)，則 ， ，過點(diǎn) 的法線方程為 .令 ，得 ，故法線與 軸交點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .所以 、 .

過點(diǎn) 的法線 平分點(diǎn) 的兩條焦半徑的夾角.

同理可證：

2.雙曲線上任一點(diǎn)的兩條焦半徑的夾角被該點(diǎn)處的切線所平分.

3.拋物線上任一點(diǎn)的一條焦半徑與過此點(diǎn)的直徑的夾角被該點(diǎn)處的法線所平分.

證明：如圖（2）設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 為焦點(diǎn)， 為拋物線上任一點(diǎn)，過點(diǎn) 的切線 的方程為 則切線與 軸交點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .

則 ， ，即 ，故 ，

又 軸，

而 ， 命題得證.

有上述三個性質(zhì)易得圓錐曲線的一個統(tǒng)一光學(xué)性質(zhì)：

4.若一入射光線所在直線經(jīng)過圓錐曲線的一個焦點(diǎn)，則反射光線所在直線必經(jīng)過另一焦點(diǎn)（拋物線的另一焦點(diǎn)可看作在無窮遠(yuǎn)處）.（如圖3、圖4、圖5）

二、圓錐曲線幾個性質(zhì)的運(yùn)用

有上面的性質(zhì)不難利用尺規(guī)作出過圓錐曲線上任一點(diǎn)的切線，下面給出尺規(guī)作圖步驟：

步驟1：連接圓錐曲線上的點(diǎn) 與兩焦點(diǎn) （拋物線的 與對稱軸平行）；

步驟2：作 的角平分線 ；

步驟3：若圓錐曲線為雙曲線，則直線 即為過雙曲線上一點(diǎn) 的切線；

若圓錐曲線為橢圓或拋物線，過點(diǎn) 作 的垂線 ，則直線 為過橢圓上一點(diǎn) 的切線.

說明：若該點(diǎn) 在頂點(diǎn)處時切線即為軸的垂線，此切線不難作出.

過圓錐曲線上任一點(diǎn)作圓錐曲線的切線的方法很多，不過這種方法較為簡單快捷，也可作為作圓錐曲線切線的一種較統(tǒng)一的方法.

參考文獻(xiàn)：

[1] 季福根. 橢圓切線的尺規(guī)作法[J]. 數(shù)學(xué)通報，2003（11）.

[2] 黃偉亮. 雙曲線、拋物線切線的尺規(guī)作法[J]. 數(shù)學(xué)通報，2004（12）.

[3] 吳 進(jìn). 一個有趣的發(fā)現(xiàn)及其推廣[J]. 數(shù)學(xué)通報，2005（1）.