嚴(yán)興泉

學(xué)習(xí)了三角形全等和等腰三角形有關(guān)知識后，可以尋找到幾何證明入門的一些方法。以證明兩條線段相等為例來談點(diǎn)體會，與大家商榷。

一、基本圖形是尋找論證兩條線段相等途徑的基石

在初學(xué)幾何圖形中，我們可以把兩個三角形全等和一個等腰三角形當(dāng)做基本圖形。另外，我們在證題中還要注意以下的圖形：

①與一個角的一邊平行的直線與另一邊和這個角的平分線相交構(gòu)成的三角形是等腰三角形。如圖1：AP平分∠MAN，C在AM上，CB//AN，CB交AP于B，則△ACB是等腰三角形。由AP平分∠MAN得∠1=∠2，由BC//AN得∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AC=BC。

②一個角的平分線的垂線與這個角的兩邊相交所得的三角形是等腰三角形。如圖2：

AP平分∠MAN，D為AP上任一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BCAP，交AM于C，交AN于B，則△ABC是等腰三角形.由AP平分∠MAN得∠1=∠2，由BCAP得∠3=∠4=90°，易得△ABD△ACD，則AC=AB.

另外還有一個圖形也值得大家去領(lǐng)會與掌握：

③一個三角形的兩條高中任意一條高與另一條高所在邊組成的銳角相等。如圖3：

△ABC中，AD，BE是兩條高，則∠1=∠2，由AD是高得∠3=90°，所以∠1+∠C=90°，同理∠2+∠C=90°，所以∠1=∠2.

以上五個圖形在尋求證題方法時(shí)我們要把他們當(dāng)作基本圖形來看待，會得到事半功倍的效果。

二、尋找被證線段所在圖形的位置是證等線段的基本思路

證兩條線段相等的基本思路是：（1）所證等線段分居在兩個三角形中，可設(shè)法證全等；（2）所證等線段在一個三角形中可設(shè)證等腰三角形；（3）若不能直接利用前面兩種方法時(shí)可借助第三等量轉(zhuǎn)換或綜合利用（1）與（2）來思考?，F(xiàn)在就從兩線段所處的位置關(guān)系來思考，可從以下四種情況出發(fā)尋找證明途徑：

1.所證等線段有公共端點(diǎn)，且不共線，一般可證全等或等腰三角形。

如圖4：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BE平分∠ABC，BE交CD于F，則CE=CF.

思考： 將CE，CF放在一個△CEF中，證∠5=∠6，借助基本圖形3，可得∠1=∠A，用角間關(guān)系得∠5=∠A+∠3，∠6=∠1+∠4，而BE平分∠ABC，所以∠3=∠4，所以∠5=∠6，從而得CE=CF。證明略。

如圖5：△ABC中，BD，CE是高，在射線BD上截取BF=AC，在射線CE上截取CG=AB，連結(jié)AF，AG。求證AG=AF。

思考：我們將AF，AG放一個三角形△AGF中，但不易證出，由條件借助基本圖3易得∠1=∠2，從而可將AF，AG放在△ABF和△GCA中，用SAS證△ABF△GCA，得出AG=AF。

由以上兩題可知我們務(wù)必把握已知條件，結(jié)合圖形特點(diǎn)，尋找恰當(dāng)?shù)娜切危▋蓚€或一個）來證明。

2.所證等線段有公共點(diǎn)，且共線，可證其公共點(diǎn)為中點(diǎn)，考慮構(gòu)造全等或?qū)で蟮谌攘俊?/p>

如圖6：在四邊形ABCD中，AB//CD，AD//BC，求證：AC，BD互相平分。

思考：AC，BD互相平分，即證OA=OC，OB=OD。我們可以把它們放在△AOD和△COB或△AOB與△COD中，證其全等。由平行條件可得兩組對應(yīng)角相等，缺少一組對應(yīng)邊相等，根據(jù)AB//CD，AD//BC，可證△ABD△CDB或△ABC△CDA，得AD=CB或AB=CD，從而可證。

如圖7：△ABC中，AD是高，∠ABC=2∠C，延長AB到E，使BE=BD，連接ED并延長交AC于F，求證：F為AC中點(diǎn)。

思考：先從條件出發(fā)，由BE=BD得∠1=∠E，又∠ABC=∠E+∠1=2∠C，所以2∠1=2∠C，所以∠1=∠C，又∠1=∠2，所以∠C=∠2，從而有DF=CF.下證AF=FD即可，由ADBC，所以∠3+∠2=90°，所以∠4+∠C=90°，已證∠2=∠C，所以∠4=∠3，所以FD=FA，從而有AF=CF，得F為AC中點(diǎn).這里我們借助第三等量DF來證明F為AC中點(diǎn)。

如圖8：四邊形ABCD中，AD//BC，BE平分∠ABC交CD于E，若AEBE，求證：DE=CE。

分析已有條件可發(fā)現(xiàn)與基本圖形①②相仿，如圖8-1延長AE交BC的延長線于F，得基本圖形②，易得△ABE△FBE，所以AE=FE，再證明△ADE△FCE可得DE=CE?；蛉鐖D8-2延長BE，AD交于G，得基本圖形①，由條件得∠1=∠2=∠G，所以AB=AG，又AEBG，所以BE=GE，證△DGE△CBE，得出DE=CE。

由此可見，在平時(shí)的論證中要注重反思，不斷積累經(jīng)驗(yàn)與方法，才能更有效來解題。

3.所證等線段沒有公共點(diǎn)，且共線，尋找（構(gòu)造）三角形全等或借助全等和等腰三角形來轉(zhuǎn)換。

如圖9：在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB，作AEBD于E，CFBD于F，求證：BE=DF。

思考：從條件可以直接得到△ABD△CDB，從而有∠1=∠2，∠3=∠4，如果我們把BE，DF放在△ABE與△CDF中，就用∠1=∠2即可.（若證BF=DE，可放在△BCF與△DAE中，利用∠3=∠4）。證明略。

如圖10：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC交AC于E，交CD于F，過F作FG∥AB，F(xiàn)G交AC于G。求證：AG=CE。

分析：由圖4題的結(jié)論可知CE=CF，下可證AG=CF，抓住BE是角平分線與FG//AB，可構(gòu)造兩個直角三角形，作FHBC于H，作GIAB于I，由角平分線的性質(zhì)得FH=FD，由GF//AB得GI=FD，所以GI=FH，可證Rt△AGIRt△CFH，或利用圖9中的第二種方法，設(shè)法證AE=CG，可作EMAB于M，這時(shí)EM=CE，所以EM=CF，從而△AEM△GCD，具體證明請讀者完成。

4.所證等線段沒有公共點(diǎn)，且不共線，可證全等與等腰或借助全等與等腰三角形來轉(zhuǎn)換。

如圖11： △ABC中，AB>AC，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于D，作DEAB于E，DFAC，交AC的延長線于F，求證：BE=CF。

由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，由垂直平分線的性質(zhì)可得BD=DF，從而構(gòu)造△BDE與△CDF。

如圖12：△ABC中，D在AC上，E在AB上，BD、CE交于F，且∠DBC=∠ECB=∠A。求證：BE=CD。

思考：把BE，CD放在△BEF與△CDF中，顯然這兩個三角形不全等，根據(jù)給出的角的關(guān)系可在△BEF上截出一個△BEG，設(shè)法證出等腰△BEG和△BG F△CDF，這樣來做：在FE上截取FG=FD，連接BG，可證△BGF△CDF，然后再

證BG=BE.設(shè)∠DBC=∠ECB=∠A=∠α，設(shè)∠ACE=∠β，則∠1=∠α+∠α+∠β=2∠α+∠β，∠2=∠A +∠β=2∠α+∠β，所以∠1=∠2，所以BE=BG，從而BE=CD。

以基礎(chǔ)知識和基本圖形為基石，以從證明線段所在位置的四種情形來思考，尋找全等或等腰三角形，適當(dāng)時(shí)添加輔助線構(gòu)成全等或等腰，得到問題的解決，從而提升幾何入門學(xué)習(xí)的效率和步伐。