汪曉勤

一、引言

小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的目標(biāo)包括知識、信念、能力等方面，其中，教師的知識可以用美國數(shù)學(xué)教育家鮑爾提出的MKT理論來刻畫。所謂MKT，是Mathematical Knowl-edge for Teaching的簡稱，指的是“完成數(shù)學(xué)教學(xué)工作所需要的數(shù)學(xué)知識”，其組成成分如圖1所示。

“一般內(nèi)容知識”是指除教學(xué)外，在其他背景下也使用的數(shù)學(xué)知識和技能；“專門內(nèi)容知識”是指教學(xué)所特有的數(shù)學(xué)知識和技能；“水平內(nèi)容知識”是關(guān)于整個數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)主題之間聯(lián)系的知識；“內(nèi)容與學(xué)生知識”是指對學(xué)生的了解和對數(shù)學(xué)的了解相結(jié)合的知識；“內(nèi)容與教授知識”（對應(yīng)于范良火的“教學(xué)的內(nèi)容知識”和“教學(xué)的方法知識”）是指對如何教授的了解和對數(shù)學(xué)的了解相結(jié)合的知識；“內(nèi)容與課程知識”（對應(yīng)于范良火的“教學(xué)的課程知識”）是指關(guān)于課程大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書、教學(xué)材料以及其他教學(xué)資源的知識。

近年來，數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義日益受到人們的關(guān)注，數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐探索也日益增加。我們在開發(fā)HPM教學(xué)案例（即“融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例”）的過程中，確立了“大學(xué)研究人員和小學(xué)教師密切合作”的模式，使得小學(xué)數(shù)學(xué)教師在沒有受過數(shù)學(xué)史教育或缺乏數(shù)學(xué)史材料的情況下，也能走進(jìn)HPM的世界。本文擬回答以下問題：數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教師的MKT之間有何關(guān)系？

二、數(shù)學(xué)史與MKT

雖然許多一般內(nèi)容知識是教師在學(xué)生時代習(xí)得的，但在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不斷會遇到新的一般內(nèi)容知識，而數(shù)學(xué)史往往提供了這樣的知識，如計算兩個正整數(shù)乘積的不同方法。圖2所示是16世紀(jì)盛行于歐洲的“手指算”，而圖3則給出了古埃及人計算97～79的方法。

為了解決教學(xué)中所遇到的各類“為什么”問題，教師需要擁有豐富的專門內(nèi)容知識。三角形面積公式和三角形內(nèi)角和定理屬于一般內(nèi)容知識，但它們的推導(dǎo)或證明方法則屬于專門內(nèi)容知識。這類知識往往源于數(shù)學(xué)史。如，中國古代數(shù)學(xué)家用“出入相補(bǔ)”法證明三角形、梯形面積公式，古希臘哲學(xué)家泰勒斯通過拼圖發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。圓周率的近似值為3.14，這屬于一般內(nèi)容知識，但得到該近似值的具體方法則屬于專門內(nèi)容知識，劉徽的割圓術(shù)就是其中之一。至于對諸如“為什么未知數(shù)用字母x來表示”“小數(shù)是很小的數(shù)嗎”之類的問題，教師只能從數(shù)學(xué)史中尋找答案。

數(shù)學(xué)的歷史是一面鏡子，前人在數(shù)學(xué)概念理解過程中所遇到的困難和障礙，往往也是今天數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生會遇到的困難和障礙。從數(shù)學(xué)理解的意義上說，了解歷史，也就了解了學(xué)生。盡管在古代中國，數(shù)學(xué)家出于解方程組的需要而引入了負(fù)數(shù)，但在西方，18世紀(jì)還有人問：“世界上還有什么小于一無所有？”直到19世紀(jì)，還有數(shù)學(xué)家認(rèn)為負(fù)數(shù)是“荒謬的”。負(fù)數(shù)大小比較問題也完全沒有我們想象的那樣簡單。歷史上，笛卡兒、牛頓、歐拉、波爾查諾、阿貝爾等數(shù)學(xué)家都有不同于今天的理解，他們的觀點(diǎn)都可以歸結(jié)為“數(shù)軸上離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的數(shù)越大”或“絕對值越大，數(shù)越大”。據(jù)此有-4>-1。關(guān)于負(fù)數(shù)及其序關(guān)系的認(rèn)識論障礙提示我們：學(xué)生在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)概念時必會遭遇困惑或出現(xiàn)錯誤。數(shù)學(xué)史豐富、深化了內(nèi)容與學(xué)生知識。

歷史上，一個概念、公式、定理、法則甚至一個數(shù)學(xué)分支學(xué)科的產(chǎn)生都有其內(nèi)在或外在的動因，也都有演進(jìn)的過程。這種動因和過程為教師“怎么教”有關(guān)知識點(diǎn)提供了參照。例如，分?jǐn)?shù)有分割分?jǐn)?shù)和度量分?jǐn)?shù)兩類。究竟如何引入分?jǐn)?shù)概念？分?jǐn)?shù)的歷史告訴我們，人類首先是在物品分割的情境中認(rèn)識和運(yùn)用分?jǐn)?shù)的，因此，分割分?jǐn)?shù)是理所當(dāng)然的教學(xué)選擇。

數(shù)學(xué)史是一座寶藏，其中含有取之不盡、用之不竭的教學(xué)素材和思想養(yǎng)料，因而是數(shù)學(xué)教師的重要教學(xué)資源。針對某一個特定的知識點(diǎn)，教師關(guān)于相關(guān)數(shù)學(xué)史素材的知識是內(nèi)容與課程知識不可或缺的一部分。另一方面，數(shù)學(xué)史知識也有助于教師對小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的理解。例如，關(guān)于教科書中“小數(shù)和分?jǐn)?shù)孰先孰后”的爭論，需要參照數(shù)學(xué)史加以研究。

三、HPM教學(xué)案例分析

1.角的初步認(rèn)識。在數(shù)學(xué)史上，“角”是一個具有多重屬性、爭議很多、很難刻畫清楚的幾何概念。古希臘哲學(xué)家泰勒斯曾將“相等的角”稱為“相似的角”。后來，亞里士多德將“角”視為“彎曲的線構(gòu)成的圖形”，并且也將兩個相等的角稱為“相似的角”?？梢?，早期哲學(xué)家是從“形”的角度去看待“角”的，即賦予“角”以“質(zhì)”的屬性。

在《幾何原本》中，歐幾里得從兩線之間位置關(guān)系的角度去刻畫“角”：“角是平面上相遇且不在同一直線上的兩條線彼此之間的傾斜度”。另一方面，歐幾里得分別將“直角”“銳角”“鈍角”定義為：

若一直線與另一直線構(gòu)成的兩個相鄰的角相等，則稱這兩個角為直角；

鈍角是大于直角的角；

銳角是小于直角的角。

用“等于”“大于”和“小于”來比較兩個角，歐幾里得又賦予“角”以“量”的屬性。而徐光啟在翻譯《幾何原本》時創(chuàng)用“直角”“鈍角”“銳角”三個名稱，又賦予角以“質(zhì)”的屬性。普羅克拉斯認(rèn)為，必須同時從質(zhì)、量和關(guān)系三個方面來定義角，因?yàn)閱为?dú)采用某一個方面，都未能完善地刻畫該概念。

在二年級教學(xué)案例“角的初步認(rèn)識”中，教師借鑒角概念的發(fā)展歷史，按照從“質(zhì)”到“量”再到“關(guān)系”的順序展開教學(xué)（如圖5）。首先，讓學(xué)生列舉生活中的角的實(shí)例，并描述什么是角。學(xué)生提到“尖尖的”“像屋頂一樣”“像L一樣”，等等，他們顯然都是從“質(zhì)”的角度來認(rèn)識“角”。接下來引入情境：“鳥媽媽對鳥寶寶們說，誰的嘴巴張得大，就把小蟲喂給誰吃?！弊寣W(xué)生判斷，圖中哪一只鳥寶寶能吃到小蟲。在學(xué)生說出鳥寶寶嘴巴大小順序之后，教師讓他們說出角的大小比較方法，從而引導(dǎo)學(xué)生從“量”的角度來認(rèn)識角。接著，讓學(xué)生對不同大小的角進(jìn)行分類，并探討：為什么小于直角的角稱為“銳角”，大于直角的角稱為“鈍角”？學(xué)生從“質(zhì)”的角度，用“銳利”“遲鈍”“扎人疼”“扎人不疼”等來解釋。在練習(xí)之后，教師通過將不同的角的頂點(diǎn)和一邊重合，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，角可以通過將一邊旋轉(zhuǎn)得到，從而讓學(xué)生從“關(guān)系”（即兩條邊之間的位置關(guān)系）的角度來認(rèn)識角。

HPM視角下的“角的認(rèn)識”的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷了角概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在課堂上獲得探究機(jī)會，感受成功的喜悅；當(dāng)教師總結(jié)，學(xué)生比較角的大小的方法、關(guān)于銳角和鈍角的解釋，都與歷史上數(shù)學(xué)家的想法相似，這大大增強(qiáng)了學(xué)生的自信心，讓他們感受到自己也是小數(shù)學(xué)家。

本案例中，角概念的歷史為教學(xué)設(shè)計提供了參照，是教師在HPM教學(xué)設(shè)計與實(shí)施過程中所學(xué)到的內(nèi)容與教學(xué)知識；同時，對于角的三重屬性（質(zhì)、量、關(guān)系）的認(rèn)識，使教師關(guān)于角的一般內(nèi)容知識得到了擴(kuò)充與完善。數(shù)學(xué)教育研究表明，學(xué)生對于角的認(rèn)識具有一定的歷史相似性，古人在對角的認(rèn)識方式以及認(rèn)識過程中所遭遇的困難（角的多重屬性、特殊角（零角和平角））會再現(xiàn)于今日的數(shù)學(xué)課堂中，因而角的歷史對教師而言是一種內(nèi)容與學(xué)生知識。在教師接觸HPM之前，并未思考過“銳角”“鈍角”的辭源問題，角概念的歷史為教師彌補(bǔ)了專門內(nèi)容知識。此外，以角的歷史為參照，教師開始審視課本上的內(nèi)容，拓展了自己的內(nèi)容與課程知識。

2.一位數(shù)與二位數(shù)的乘法。歷史上，求兩個正整數(shù)乘積的算法很多。1430年左右，在意；kN的一份數(shù)學(xué)手稿中，出現(xiàn)了一種名為“格子算”的乘法。圖6是世界上第一部印刷出版的算術(shù)教科書《特雷維索算術(shù)》（1478年）中的格子算。

在三年級教學(xué)案例“一位數(shù)乘二位數(shù)”中，教師通過實(shí)際情境，引入32×5，讓學(xué)生獨(dú)立給出自己的算法；在學(xué)生給出各種各樣的算法之后，教師引入圖7所示的格子算，讓學(xué)生加以解釋，并與豎式算法進(jìn)行比較。在課堂小結(jié)部分，教師讓學(xué)生思考：為什么格子算現(xiàn)在不用了？

格子算的引入促進(jìn)了學(xué)生對乘法算理的理解，也開闊了他們的視野，感悟到自己的解法只是很多解法中的一種。在古今方法的對比中，學(xué)生體會到現(xiàn)代豎式算法的優(yōu)點(diǎn)，但也有許多學(xué)生更喜歡格子算。對于“為什么現(xiàn)在不用格子算”這一問題，有學(xué)生給出的解釋是：“格子算傳著傳著就失傳了”，不知不覺中，學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識已經(jīng)有了歷史感，這種歷史感讓他們更加親近數(shù)學(xué)。

在本案例中，格子算拓寬了教師關(guān)于乘法的一般內(nèi)容知識。對于格子算背后的算理、格子算與豎式算法之間聯(lián)系的認(rèn)識，豐富了教師關(guān)于乘法的專門內(nèi)容知識。在教學(xué)設(shè)計過程中，教師在大學(xué)合作者的指導(dǎo)下，查閱有關(guān)乘法的歷史文獻(xiàn)，豐富了自己的內(nèi)容與課程知識。

3.圓的面積。歷史上，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米得（Archimedes，公元前287-前212）最早給出圓面積的準(zhǔn)確公式：圓面積等于一條直角邊長為圓半徑、另一條直角邊長為圓周長的直角三角形面積。這里，阿基米得將圓“轉(zhuǎn)化”為更簡單的三角形，從而得出了圓面積公式。

雖然阿基米得最終借助窮竭法來證明關(guān)于圓面積的命題，但他一開始是如何將圓和三角形建立聯(lián)系的呢？從微積分的角度看，圓面積的不同解決方法取決于“微元”的不同選擇，如圖8所示。

阿基米得可能使用了第一種方案。如圖9，想象圓由一些長短不同的細(xì)繩圍成，將圓“剪開”，并將各繩“拉直”，一端對齊，得到一個直角三角形，其長直角邊等于圓的周長，短直角邊等于圓的半徑。

17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家開普勒（J.Kepler，1571-1630）則選擇第二種方案建立起圓與三角形之間的聯(lián)系：將圓分割成無數(shù)個頂點(diǎn)在圓心、高為半徑的小“三角形”（實(shí)為小扇形，但將圓分得越細(xì)，小扇形越接近三角形）。將這些小“三角形”都轉(zhuǎn)變成等底等高的三角形，最后，它們構(gòu)成了一個直角三角形，如圖10所示。

在六年級教學(xué)案例“圓的面積”中，教師講述開普勒求圓面積和酒桶體積的故事，并采用開普勒的方法來推導(dǎo)圓面積公式：先讓學(xué)生回顧“等底等高的三角形面積相等”的事實(shí)；再作圓內(nèi)接正十二邊形，利用幾何畫板（PPT展示），依次對其中的12個小三角形進(jìn)行等積變換，從而將其變成等積的直角三角形；然后作正二十四邊形、四十八邊形、九十六邊形，相應(yīng)得到等積的直角三角形，讓學(xué)生直觀感受并猜想這些直角三角形與圓面積之間的關(guān)系。

開普勒求圓面積的方法引起學(xué)生濃厚的興趣，而開普勒的故事則讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)背后的人文精神。

在本案例中，開普勒的方法拓展了教師的專門內(nèi)容知識和內(nèi)容與教學(xué)知識；同時，該方法建立了圓面積公式和三角形面積公式之間的聯(lián)系，豐富了教師的水平內(nèi)容知識。

以上我們看到，數(shù)學(xué)史不僅有助于發(fā)展和完善教師的MKT，而且在很多情況下就是教師MKT的不可或缺的一部分；數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐對于小學(xué)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展有著巨大的促進(jìn)作用。

我們期待，“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”能夠成為小學(xué)數(shù)學(xué)教師在職培訓(xùn)的重要課程，我們也期待，有更多的小學(xué)數(shù)學(xué)教師走進(jìn)HPM、實(shí)踐HPM，讓他們的數(shù)學(xué)課堂洋溢數(shù)學(xué)文化的芬芳。