孔勝利

摘 要：為了提高工科研究生“數(shù)值分析”課程的教學(xué)質(zhì)量，針對工科研究生“數(shù)值分析”課程的學(xué)科特點和存在的普遍問題，通過優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、改進教學(xué)模式、加強實踐教學(xué)、鼓勵學(xué)生參與科研項目和競賽以及改革考核方式等多種方式對教學(xué)環(huán)節(jié)進行改革，引導(dǎo)研究生了解常用算法的基本思想、程序開發(fā)、實際應(yīng)用和最新進展等內(nèi)容，促進學(xué)生對常用算法的認識和理解，并提高其解決實際工程問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；教學(xué)改革；Matlab

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）22-0145-03

Abstract： To improve the curriculum teaching quality of the "Numerical Analysis" for engineering postgraduates， various ways are analyzed and adopted to reform the curriculum based on the curriculum characteristics and the common problems， and the main means include optimizing the contents， improving the teaching patterns， strengthening practices， encouraging the postgraduates to participate in the projects and competitions， and rationalizing the assessment modes. These steps will guide the postgraduates to master the basic principles， programming techniques， applications and the latest progress， and also enhance the comprehension for the algorithms and upgrade the ability to solve the engineering problems.

Keywords： numerical analysis； curriculum teaching reform； Matlab

一、概述

隨著我國現(xiàn)代工業(yè)的快速發(fā)展和人們接受更高層次高等教育需求的不斷增長，如何提高研究生教育質(zhì)量，并為社會培養(yǎng)高素質(zhì)的創(chuàng)新型人才是我國研究生教育所面臨的主要問題之一。而研究生的培養(yǎng)與本科生有著明顯的區(qū)別，其顯著特點有：1.研究生教育的目標是培養(yǎng)高層次創(chuàng)新型人才，特別注重基礎(chǔ)理論知識的積累和科研思想的培養(yǎng)；2.研究生教育要培養(yǎng)學(xué)生獨立開展科研工作的能力和創(chuàng)新思維，研究生擁有很大的自主空間；3.培養(yǎng)研究生綜合應(yīng)用多學(xué)科知識解決實際工程復(fù)雜問題的能力[1]。因此，對于工科研究生而言，能對工程模型進行快速高效地科學(xué)計算是其必備的基本能力之一。

目前，科學(xué)計算是與理論分析和實驗研究并列的科學(xué)研究工作中的三大方法之一，在計算力學(xué)、機械設(shè)計、機電控制、結(jié)構(gòu)分析等工程領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[2]。數(shù)值分析課程作為工科研究生的公共基礎(chǔ)課，主要介紹科學(xué)計算中的誤差與常用的數(shù)值計算方法，其教學(xué)目的是讓學(xué)生系統(tǒng)地了解和掌握常見工程問題數(shù)值求解的思想和方法，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和課題研究的順利進行奠定良好的基礎(chǔ)。因此，培養(yǎng)工科研究生工程問題的計算能力，切實提高數(shù)值分析課程教學(xué)質(zhì)量是一項長期的課程建設(shè)任務(wù)。

二、數(shù)值分析課程的特點

數(shù)值分析課程的教學(xué)內(nèi)容主要是利用電子計算機來求解工程問題的數(shù)值理論和方法，兼有理論課和實踐課的要求，具備以下特點[3]：

1. 數(shù)值分析課程教學(xué)內(nèi)容比較豐富，國內(nèi)高校為工科研究生開設(shè)本課程是以實際工程問題中所建立數(shù)學(xué)模型的數(shù)值求解為出發(fā)點，主要包括誤差的基礎(chǔ)知識、插值法、數(shù)值逼近、方程（組）的根、數(shù)值微積分、微分方程數(shù)值解和邊界值問題的求解等內(nèi)容，與高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程有著明顯的區(qū)別。

2. 數(shù)值分析課程是與電子計算機使用密切相關(guān)的課程，學(xué)生既要系統(tǒng)掌握和使用常用數(shù)值算法，又要能借助計算機軟件來解決實際工程問題。

3. 大多數(shù)數(shù)值分析的課程教材對各種問題的常用計算方法的介紹相對獨立，而且是以常用數(shù)值算法的理論知識為主。

三、數(shù)值分析課程教學(xué)現(xiàn)狀分析

多年以來，我院為機械工程專業(yè)的研究生開設(shè)了數(shù)值分析課程（32學(xué)時），主要選用李慶揚等主編的“數(shù)值分析”作為推薦教材[4]。該教材主要包括插值與逼近，數(shù)值微分與數(shù)值積分，非線性方程與線性方程組的數(shù)值解法，矩陣的特征值與特征向量計算，常微分方程數(shù)值解法等常用內(nèi)容，能滿足研究生數(shù)值分析課程的教學(xué)要求，在國內(nèi)高校中得到了高度評價和廣泛使用。然而，在我院該課程的教學(xué)中，也存在一些比較普遍的問題，主要有：1.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程時，面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和算法普遍有畏難抵觸情緒，往往處于被動學(xué)習(xí)狀態(tài)；2.教材內(nèi)容側(cè)重于理論知識的介紹，缺少典型工程背景知識，學(xué)生對所學(xué)算法的應(yīng)用場合理解不夠；3.學(xué)生對常用數(shù)值計算軟件（如MATLAB）的使用學(xué)習(xí)不足，利用商業(yè)軟件進行數(shù)值計算來解決實際工程問題的能力急需提高。

因此，為了進一步提高數(shù)值分析課程的教學(xué)質(zhì)量，必須推進該課程的教學(xué)改革和創(chuàng)新，加強工程背景知識和案例庫的建設(shè)，建立理論知識和軟件應(yīng)用相結(jié)合的課程教學(xué)體系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)課程的目的性、積極性和主動性。

四、數(shù)值分析課程教學(xué)改革

根據(jù)我院數(shù)值分析課程前期開設(shè)所積累的經(jīng)驗和存在的主要問題，結(jié)合該課程的特點和學(xué)生的實際情況，我們開展了該課程的教學(xué)改革探討。

（一）優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

為了切實提高該課程的教學(xué)水平，達到使學(xué)生掌握并會使用算法的目的，在充分考慮該課程教學(xué)目標要求和學(xué)生實際水平的基礎(chǔ)上，任課教師對教學(xué)內(nèi)容進行優(yōu)化。根據(jù)我院本課程教學(xué)的實際情況，我們主要做了以下幾方面的嘗試。1.根據(jù)本課程教學(xué)應(yīng)理論知識與實踐教學(xué)并重的指導(dǎo)思想，我們對國內(nèi)外數(shù)值分析課程教學(xué)所使用的教材進行了全面調(diào)研，在繼續(xù)堅持李慶楊等編寫的《數(shù)值分析》作為主教材的同時，參考并引入了多本國外經(jīng)典“數(shù)值分析”教材來豐富課程教學(xué)內(nèi)容，主要有S. Chapra主編的Applied numerical methods with MATLAB for Engineers and Scientists， T. Sauer主編的Numerical analysis和C. Moler主編的Numerical computing with MATLAB等[5]。在堅持常用數(shù)值算法理論知識的情況下，加入了具有代表性的工程背景知識及MATLAB程序案例和代碼，使學(xué)生掌握工程背景、求解思想、數(shù)值算法和MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)等解決實際工程問題的全過程。2.由于教學(xué)學(xué)時所限，教學(xué)內(nèi)容必須根據(jù)專業(yè)要求有所取舍。而對我們工科學(xué)生來說，教學(xué)側(cè)重點肯定與數(shù)學(xué)專業(yè)的是不一樣的，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該集中于算法的實現(xiàn)過程和實現(xiàn)方法方面。另外，課堂上不同算法的講授要區(qū)分重點和難點，主要分析常見算法的基本思想、算法的實現(xiàn)和適用范圍以及與其它算法的優(yōu)劣。例如，線性方程組的數(shù)值解法，重點介紹雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法的基本思想，迭代過程和相互關(guān)系等內(nèi)容，通過分析工程案例和程序?qū)崿F(xiàn)，使學(xué)生能夠有目的地選擇合適的算法來解決實際工程問題。而對于共軛梯度法和最小殘差法等專門算法僅介紹其基本思想和優(yōu)缺點即可。又比如在數(shù)值積分部分，在介紹拋物型公式積分、復(fù)化梯形公式積分和復(fù)化辛普森公式積分和龍貝格公式積分的基本思想和遞推關(guān)系后，重點介紹在工程實際中常用的龍貝格積分公式和高斯求積公式，通過調(diào)用相應(yīng)的MATLAB程序向?qū)W生展示求解實際工程問題的全過程。3.在教學(xué)內(nèi)容中加入最新科研論文中各種常用算法的應(yīng)用和進展，以便學(xué)生全面了解各種新算法的功用和思路，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力[6]。4.對于課堂上由于課時和復(fù)雜程度所限而無法展開講授的算法，為學(xué)生介紹其基本思想、應(yīng)用場合和適用范圍等基本內(nèi)容后，鼓勵學(xué)生課下自學(xué)[7]。

（二）改進教學(xué)模式、方法和手段

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展和普及，目前國內(nèi)大多數(shù)高校均逐步采用多媒體教學(xué)來取代或部分取代傳統(tǒng)的教學(xué)模式，而多媒體教學(xué)方法也以其課堂大容量、教學(xué)效率高和表現(xiàn)形式豐富等突出優(yōu)點得到了師生的廣泛認可。我院在“數(shù)值分析”課程的教學(xué)中也采用了多媒體教學(xué)，并取得了良好的效果。然而，對于部分教學(xué)內(nèi)容，尤其是涉及數(shù)學(xué)推導(dǎo)和需要反復(fù)思考及練習(xí)的教學(xué)內(nèi)容，我們發(fā)現(xiàn)采用多媒體教學(xué)并不能取得很好的教學(xué)效果，必須根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的具體特點采取更合適的教學(xué)方式[8]。例如，在介紹拉格朗日插值和牛頓插值等內(nèi)容時，我們有意識地選擇傳統(tǒng)的板書為主的方式，放慢教學(xué)進度，讓學(xué)生充分地理解和思考插值法的問題來源，插值函數(shù)構(gòu)造思想和不同插值法的區(qū)別并完成一定量的練習(xí)，反而取得了不錯的反響。另外，以往的教學(xué)主要是以課堂講授為主，課下只是完成一定量的習(xí)題或者簡單的計算，學(xué)生學(xué)習(xí)的重點局限在具體算法的應(yīng)用方面，這與培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜工程問題能力的教學(xué)目標相去甚遠。目前，我們有意識地在教學(xué)設(shè)計中包括數(shù)值求解實際工程問題的全過程，例如，在介紹微分方程的數(shù)值解法時，從懸臂梁的彎曲變形這個簡單的實際工程問題出發(fā)，讓學(xué)生建立其彎曲變形數(shù)學(xué)模型，然后選用所學(xué)的四階龍格庫塔法自行開發(fā)程序和直接利用MATLAB自帶的ode45函數(shù)分別進行運算，最終得到計算結(jié)果并對比分析，通過讓學(xué)生完成解決問題的全過程來切實提高其解決實際工程問題的能力。

（三）增設(shè)實驗教學(xué)環(huán)節(jié)

國內(nèi)工科研究生數(shù)值分析課程所選用的教材一般都是以理論知識為主，從一系列公式的推導(dǎo)開始，詳細介紹各種具體算法，然后就跳過計算過程而直接給出計算結(jié)果，這就容易導(dǎo)致學(xué)生對計算過程缺乏完整體驗，對計算結(jié)果的正確性和計算精度也無從判斷。Matlab是美國MathWorks公司出品的，以數(shù)值計算見長的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，在世界范圍內(nèi)得到了廣泛的認可和應(yīng)用[9]。為了切實提高學(xué)生利用軟件工具來解決實際工程問題的能力，我們結(jié)合教學(xué)內(nèi)容中所涉及到的常用數(shù)值算法和有代表性的工程問題，基于Matlab軟件開發(fā)了一系列典型案例并在課堂上進行實驗演示，充分發(fā)揮多媒體豐富的展示功能，比較直觀地讓學(xué)生了解算法實現(xiàn)的具體過程和最終結(jié)果。例如，在矩陣分解方面，我們就提供并演示了Cholesky分解，LU分解，QR分解，SVD分解，Schur分解和Hessenberg分解等Matlab軟件自帶的分解函數(shù)的實際應(yīng)用案例[10]；在函數(shù)插值方面，提供并演示了Matlab軟件自帶的一維插值、二維插值、多維插值和樣條插值等自帶函數(shù)的應(yīng)用案例。另外，在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計時積極考慮實施項目教學(xué)法的必要條件，通過一些專業(yè)學(xué)術(shù)論文和教師的科研任務(wù)給學(xué)生提出相對獨立的項目，明確任務(wù)目標和要求，由學(xué)生來完成方案設(shè)計、模型建立、算法選擇、程序開發(fā)或利用MATLAB軟件和工程計算等全過程，實現(xiàn)理論與實踐相結(jié)合，初步培養(yǎng)學(xué)生獨立承擔(dān)項目工作的能力。由于課時所限，課堂上不可能過多地講解Matlab軟件的實際應(yīng)用，因此我們鼓勵學(xué)生選修或自學(xué)Matlab軟件，并以課題小組的形式完成給定項目工作。將課堂實驗演示和課外項目工作相結(jié)合，才能使學(xué)生真正把算法搞明白，并應(yīng)用到解決復(fù)雜實際工程問題的工作當(dāng)中。

（四）參與科研項目和競賽活動

為了提高學(xué)生綜合利用所學(xué)知識解決實際工程問題的能力，選取部分學(xué)生以小組的形式加入到教師的科研項目中來，在教師的指導(dǎo)下讓其獨立承擔(dān)部分數(shù)學(xué)計算的工作。通過全程參與實際科研項目工作，讓學(xué)生熟悉數(shù)值計算的全部環(huán)節(jié)；通過對不同算法的比較和對計算結(jié)果的分析，讓學(xué)生加深對算法優(yōu)劣和適用范圍的認識，為其開展課題研究積累寶貴的經(jīng)驗。另外，鼓勵學(xué)生積極參加課外科技活動，通過參加全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽和數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽等高水平的數(shù)學(xué)競賽，達到開拓學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力、團隊配合意識和創(chuàng)新精神的目的[11]。

（五）考核方式的改革

作為評價教學(xué)效果的重要手段，課程考核方式對促進學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)均具有重要的導(dǎo)向作用。以前，我院研究生"數(shù)值分析"課程的考核是以期末理論考試為主，考查的知識點相對比較單一，不能完全反應(yīng)出學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。另外，研究生課程主要是以能力培養(yǎng)為主要目標，考核方式也應(yīng)該能體現(xiàn)出學(xué)生的實際能力。因此，我們有意識地加大了對學(xué)生完成給定項目能力的考核力度，把基于Matlab軟件的程序開發(fā)和應(yīng)用能力及項目完成情況納入了考核的范圍，這部分成績占50%，期末考試成績占50%，期末考試采用開卷形式，題目以應(yīng)用型和設(shè)計型為主，這些題目強調(diào)工程應(yīng)用背景，重點考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決復(fù)雜工程問題和創(chuàng)新思維的能力[12]。

五、結(jié)束語

針對工科研究生數(shù)值分析課程的教學(xué)要求、學(xué)科特點和教學(xué)存在的普遍問題進行了全面分析，通過優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、改進教學(xué)模式、加強實踐教學(xué)環(huán)節(jié)、鼓勵學(xué)生參與科研項目和競賽以及改革考核方式等多種方式，并在教學(xué)過程中積極推進案例教學(xué)法和項目教學(xué)法等有效方法，引導(dǎo)研究生了解常用算法的問題來源，基本思想、程序開發(fā)、實際應(yīng)用和最新進展等內(nèi)容并展開討論，促進學(xué)生對常用算法的認識和理解，并提高其應(yīng)用算法和軟件解決實際工程問題的能力，切實提高研究生“數(shù)值分析”課程的教學(xué)質(zhì)量。

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