胡楠

摘 要：本文通過(guò)介紹定積分的發(fā)展歷程闡述了定積分的基礎(chǔ)——極限思想的發(fā)展，使我們了解到一個(gè)偉大定理的誕生需要多少細(xì)微理論的推動(dòng)。最后，概述了定積分的定義，并從面積和微元的角度介紹了定積分的幾個(gè)應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：定積分；極限；幾何；物理

1 歷史背景

赫爾曼·漢克爾曾說(shuō)，在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，一個(gè)人所創(chuàng)立的要被另一個(gè)人取代，只有數(shù)學(xué)，每一個(gè)人都能在舊體系上增加一點(diǎn)色彩。微積分學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，其發(fā)展史正印證了這句話。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析理論體系中，定積分的規(guī)范定義要基于極限論，這和歷史并不一致。在人類對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)初期，積分問(wèn)題和極限問(wèn)題是平行發(fā)展的。

1.1 定積分問(wèn)題的提出

積分思想起源于古希臘，古希臘科學(xué)家安提風(fēng)呈現(xiàn)“窮竭”的方法，然后在公元前三世紀(jì)，阿基米德發(fā)展了該方法，他在著作中提到了面積和體積的測(cè)量：圓拱，球和球帽、螺線盤(pán)旋3類面積問(wèn)題和共軸的旋轉(zhuǎn)雙曲面與圓柱交集體積的問(wèn)題。這是積分思想最初的樣子。

1.2 建立極限與積分的聯(lián)系

（1）1615年開(kāi)普勒在《酒桶的立體幾何》中提出了利用求無(wú)數(shù)個(gè)小圓柱體積之和求旋轉(zhuǎn)體體積的方法，他是是第一個(gè)在求積問(wèn)題中用通俗的語(yǔ)言提出無(wú)窮大，無(wú)窮小概念的科學(xué)家，可以認(rèn)為是歷史首次讓“積分論”與“極限論”開(kāi)始出現(xiàn)交集。

（2）首個(gè)用極限思想真正解決導(dǎo)數(shù)與積分問(wèn)題的科學(xué)家波爾查諾，但他仍然沒(méi)有清楚地將極限的本質(zhì)呈現(xiàn)出來(lái)，仍然沒(méi)有將極限的基本概念解釋清楚。直到19世紀(jì)，法國(guó)科學(xué)家柯西結(jié)合前輩的思想進(jìn)一步較完整地闡述了極限的概念，對(duì)變量，極限，連續(xù)，收斂等給出了明確的定義，微積分長(zhǎng)期糾纏在基礎(chǔ)問(wèn)題上的局面終于被打破，為微分學(xué)和積分學(xué)提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，形成了以極限論為核心的函數(shù)理論，經(jīng)后人稍加豐富，就成了現(xiàn)在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析學(xué)。

（3）1893年法國(guó)數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)在自己的著作《分析教程》中首先提出了集合的測(cè)度論，后人為紀(jì)念他，將這個(gè)雖然存在不少缺陷，但啟發(fā)意義很重大的理論稱為若爾當(dāng)測(cè)度論。1898年法國(guó)數(shù)學(xué)家博雷爾在若爾當(dāng)測(cè)度論基礎(chǔ)上引入了“σ-代數(shù)”概念，這是基于集合可測(cè)性的實(shí)分析理論的雛形。勒貝格注意到了這套有重大缺陷理論中的深刻思想，通過(guò)建立“勒貝格測(cè)度論”，成功地開(kāi)創(chuàng)了自己的一套積分理論，將積分的研究對(duì)象推廣到所謂“可測(cè)函數(shù)”，解決了“不可積函數(shù)”大量存在的狀況，至此，數(shù)學(xué)家們很少再碰到“不可積的函數(shù)”，勒貝格測(cè)度與積分理論經(jīng)后人稍加豐富變成了現(xiàn)在的實(shí)分析（也叫實(shí)變函數(shù)）。

2 定積分的應(yīng)用

2.1 定積分的定義

定義1（黎曼型積分）：對(duì)于定積分來(lái)說(shuō)，若積分區(qū)間[a，b]、分點(diǎn)a=x0參考文獻(xiàn)

[1]李立真.定積分在物理中的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2015，（7）：112.

（作者單位：下關(guān)第一中學(xué)）