遼寧省錦州市義縣高級(jí)中學(xué) 王雙雙

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的恒成立問(wèn)題，把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中大致可分為以下幾種類型：（1）一次函數(shù)型；（2）二次函數(shù)型；（3）分離變量型；（4）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；（5）數(shù)形結(jié)合；（6）變換主元法。

一、一次函數(shù)型

給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)＞0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于

?。┗颌⒁嗫珊喜⒍ǔ?/p>

同理，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)＜0，則有

處理含參不等式恒成立的某些問(wèn)題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會(huì)使問(wèn)題降次、簡(jiǎn)化。

二、二次函數(shù)型

（1）判別式法

若所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有

（2）最值法

將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類型有：

三、分離變量法

若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：

四、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)

若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)

(f(-x)=f(x))恒成立；若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則對(duì)一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。

五、數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問(wèn)題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過(guò)畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過(guò)圖象求解。

解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x(1,2),y1＜y2恒成立，顯然a＞1,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。

故loga2＞1,a＞1,∴1＜a≤2.

六、變換主元法

處理含參不等式恒成立的某些問(wèn)題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會(huì)使問(wèn)題降次、簡(jiǎn)化。

例，對(duì)任意，不等式恒成立，求x的取值范圍。

分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若把a(bǔ)看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問(wèn)題。

解：令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。

當(dāng)x=2時(shí)，可得f(a)=0，不合題意。

當(dāng)x≠2時(shí)，應(yīng)有解之得。

故x的取值范圍為。

注：一般地，一次函數(shù)在上恒有f(x)＞0的充要條件為。

由上可見(jiàn)，含參的恒成立問(wèn)題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。