遼寧省錦州市義縣高級中學(xué) 高 微

例1 試求曲線

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)新教材中新增內(nèi)容之一，它的引入給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了新的生機(jī)和活力，也為中學(xué)數(shù)學(xué)解決問題注入了新的途徑和方法。導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性問題，求函數(shù)極值和最值，不等式證明以及解決解析幾何中與切線有關(guān)的問題和最值問題有著廣泛的應(yīng)用。其方法較傳統(tǒng)的方法簡潔、靈活，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、解析幾何、數(shù)列、向量等知識結(jié)合起來，也使命題的設(shè)計(jì)更加廣闊了。

一、在函數(shù)方面的應(yīng)用

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)性質(zhì)的試題，研究對象已經(jīng)突破了單+純的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等命題常以復(fù)合的函數(shù)形式出現(xiàn)。解決這一類型的題往往采用新舊結(jié)合以舊代新方法解決舊問題。

（一） 函數(shù)單調(diào)性的討論

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。通常用定義來判斷，但當(dāng)函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜時(shí)判斷正負(fù)較困難。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，只需求出再考慮的正負(fù)即可。此方法簡單快捷而且適用面廣。

（二）函數(shù)的最值（極值）的求法

最值（極值）問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).它涉及到了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的各個(gè)方面，用導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也好掌握。

一般地，函數(shù)f(x)閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]上的最值求法 ：

①求函數(shù)f(x)在（a，b）上的駐點(diǎn)；

②計(jì)算f(x)在駐點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，比較而知，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。

（三）函數(shù)的圖象的作法

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中介紹的描點(diǎn)法作函數(shù)圖象，作圖比較粗糙不準(zhǔn)確，一般只適用于簡單的函數(shù)，但對比較復(fù)雜的函數(shù)就很難作出?，F(xiàn)用導(dǎo)數(shù)的知識來作函數(shù)圖象就相當(dāng)?shù)暮啽?。作函?shù)圖象的一般程序：

① 求出函數(shù)的定義域；

②考察函數(shù)的奇偶性、周期性；

③求函數(shù)的一些特殊點(diǎn)，如與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等 列表；

④確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，凸性區(qū)間及拐點(diǎn) 列表；

⑤考察漸進(jìn)線；

⑥畫圖

二、幾何方面的應(yīng)用

（一）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解一般曲線的切線和法線

在解析幾何中，我們求曲線的切線和法線，只需要知道曲線的方程和曲線上的任意一點(diǎn)，利用對函數(shù)求導(dǎo)就可以得到這一點(diǎn)的切線方程和法線方程.

下面給出求曲線的切線和法線方程的方法步驟：①通過求導(dǎo)數(shù)，得到曲線在該點(diǎn)的切線的斜率；②在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，利用點(diǎn)斜式求出切線方程：

法線方程：上點(diǎn)（2，2） 的切線以及法線方程.

解： 對函數(shù)

求導(dǎo)得

所以所以在點(diǎn)（2，2）的切線方程為

又因?yàn)榉ň€方程

即

所以切線方程：，法線方程：

（二）若曲線以參數(shù)方程給出，則過曲線上任一點(diǎn)的

切線方程為：

法線方程為：

注：若曲線是由坐標(biāo)方程給出同樣可導(dǎo)出切線方程和法線方程，但記住這些方程倒不如直接計(jì)算方便.

三、導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、向量、三角與導(dǎo)數(shù)的綜合題，題目新穎，但難度不大，準(zhǔn)確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識是解該題的關(guān)鍵。此外，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)解決極為簡便。

例2 求證：對于一切工a＞1 成立.

證明 設(shè)

于是

因?yàn)?/p>

故

由于時(shí)有，且

故

即內(nèi)是減函數(shù).

由所以

故

注 在此不等式中，令，可以得到中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的一些不等式：

這三題雖然難度系數(shù)不大，但是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算就變得更加簡便了。

結(jié)論

從解決上述五個(gè)方面的應(yīng)用中可以看到，導(dǎo)數(shù)在應(yīng)對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題覺有入手易，過程簡便的優(yōu)勢，特別近年來，高考卷對導(dǎo)數(shù)的要求逐漸成熟，求導(dǎo)過程并不難，也不是最終落腳點(diǎn)，它的最終目的還是考查函數(shù)的性質(zhì)。解（證明）不等式等重要知識，所以我們不僅要掌握導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)的公式和求導(dǎo)的法則及其簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間。證明函數(shù)的增減性等，還要學(xué)會把導(dǎo)數(shù)與其它知識相結(jié)合，與尋找求一些復(fù)雜問題的簡單解法，這樣就能占得先機(jī).