廣東惠州市大亞灣第一中學 李玉發(fā)

澳大利亞國立大學碩士研究生精算專業(yè)2017級) 李宇航

1. 基本原理

為了點的不同維度的點能加減，我們提出升維、加減的相關定義：

定義5是坐標原點 4)點量：

定義6 關于時空間有

（1）（稱為零維點空間）；

（2）（稱為n維時空間），從而有時點當是點（線、面、體）空間.

定義7 含有未知數(shù)的等式叫數(shù)方程，含有未知點的等式叫形方程。

2.（直線、平面、四面體的）形方程的一些主要結論

定義8（直線、平面、四面體的）形方程

①是T上的一個A點的方程. A的測度記為D0.

是線段A1A2的方程，P是線段A1A2的內(nèi)點，線段A1A2的長度記為D1,線段P A2的長度記為M1,線段A1P的長度記為M2,則有

③A1,A2,A3三點不共線，則是三角形的面方程，P是的內(nèi)點，的面積記為的面積記為M1，的面積記為M2，的面積記為M3，則有:

A1、A2、A3、A4四點不共面，則是環(huán)空間T4上四面體的方程，P是四面體的內(nèi)點，四面體的體積記為四面體的體積記為四面體的體積記為四面體的體積記為四面體的體積記為M4,則有:

定義9. n維直形多面體

稱是n維時空間Tn上直形多面體Xn的時空概率方程。P是多面體Xn的內(nèi)點，A1A2...An的測度記為Dn?1，的測度記為的測度記為的測度記為MN，則對Xn的概率方程有以下重要結論（超概率杠桿原理）：

結論1：

結論2.

結論3.

3. 時空下的五觀--時空觀

1）升維降維—運動觀

2）空間與形方程---形觀

3）點量、線量、面量----數(shù)量觀

4）曲直可統(tǒng)一、高低可統(tǒng)一、分支有共性---統(tǒng)一觀

5）點難線易、線難面易、面難體易、靜難動易、正難反易…轉換觀

4. 具體應用

4.1 點線轉換、線面轉換、面體轉換

例1.已知A(2,5),B(-1,-1),直線AB與y軸交于

點P（0，t），,求（1）t的值，（2）求λ的值。

分析一:（點觀法）：

設 直 線AB：，故有：

分析二:（線觀法）：由超 概 率 杠 桿 原理結論2：

感悟：這個問題點觀數(shù)法繁難，故線觀形法一定簡便. 方法：點難線易。

例2圖1四棱錐P-ABCD中，面，則（1）AB-P-CD二面角大小的正切值是_____________

（2001年全國高考理科立體幾何題）（2）點A到面PBD的距離

分析：（1）設二面角大小為θ，可證明則

（2）由等體積法可得，

感悟：這個問題直接求繁難，轉換后簡便. 方法：線難面易、面難體易。

4.2 物理模型與概率杠桿模型的轉換

例3 （2004年全國初中聯(lián)賽CASIO杯武漢選拔賽試題）如圖2，在中，D是AC的中點，E、F是BC的三等分點，AE、AF分別交BD于M、N兩點，則有BM：MN：ND=（ ） A、3:2:1 B、4:2:1 C、5:2:1 D、5:3:2

分析：直接用相似三角形知識，要作輔助線運算量較大，考慮化歸為物理問題。

解法一：[建物理模型]在圖2中把桿桿AC、BC、AE對應的支點分別為D、E、M，則用杠桿原理懸掛法可解決。為此考慮圖3和圖4。在圖2中，設BM=x、MN=y、ND=z.，由圖3：BE：EC=1：2,D是中點, 以E點為支點，BC為桿桿有：

以D點為支點，AC為桿桿有：

以M點為支點，BD為桿桿有：

由圖4：BF：FC=2：1,D是中點,同理可得：

以N點為支點，BD為桿桿有：

由（1）、（2）可得：，選D答案。

解法二：在圖中, BE：EC=1：2、BF：FC=2：1,D是中點，由超概率杠桿原理結論2得：

由

由

由（1）、（2）可得：選D答案。

感悟：解法二用了超概率杠桿原理，顯然簡單易行！方法：化歸難升維易。

4.3 特殊與一般的轉換（線面轉換，面體轉換）

例4.O是三角形面內(nèi)部的任意一點，ABC?的面積記為S，的面積記為的面積記為S2，ABO?的面積記為S3，求證（奔弛定理）

解法一：過B點作BDOA⊥于D,過C點作CEOA⊥于E,設則與共線，則與在垂直于的反向上的投影長度相等，方向相反，則因為共線，所以同理可得所以得證.

解法二：由超概率杠桿原理結論2：得證.

感悟：解法一是把面化歸為線問題是降維，解法二是在面內(nèi)直接解決問題，形升數(shù)降，形降數(shù)升，所以解法二比解法一快捷了許多.方法：線難面易。

4.4 靜與動的轉換

例5求函數(shù)的值域.

感悟：t是x的一元函數(shù)，函數(shù)圖形是靜曲線，t轉換為x與y的二元函數(shù)，定義域是二維的半圓C，函數(shù)圖形是動直線l，t是直線l的斜率。方法：靜曲線難動直線易。

4.5 高低轉換

例6.求不等式的解集（2014年廣東理科第9題）

分析：原不等式等價于不等式：其中這又等價于不等式組：

易解得：

感悟：把一元不等式轉換為二元不等式組，比較難求一維的邊界點升維轉換為易求的橢圓邊界曲線的頂點方法：點難線易、低難高易。

例7（2017全國I卷數(shù)學理科高考第20題） 已知橢圓的四點為恰有三點在橢圓C上。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設直線L不經(jīng)過P2點且與C想交于A、B兩點，若直線怕P2A的斜率與直線P2B的斜率的和為-1，證明L過定點。

解：(1)由

（2）直線L與橢圓C分別交于，則設直線L的方程

構造下面方程組：

感悟：本題（2）有多種求法，可以從不同的角度去思考，可以用點差法、或弦長公式結合韋達定理去求點P的軌跡方程，但運算量較大，隱含線量的意義，點差法與弦長公式更多是點量的含義，由點量升維到線量，形升則數(shù)降，所以代數(shù)運算量就減少了！。方法：點難線易

總論：

一）方法：代數(shù)難題用幾何法、幾何難題用代數(shù)法、等式難題用不等法、不等難題用等式法、數(shù)形難題用升維法.總之數(shù)難形易、形難數(shù)易、點難線易、線難面易、面難體易、體難時易、正難反易、靜難動易、實難虛易、低難高易、直難曲易、如此下去,天下無難!

二）感悟：化歸是一種降維，化歸的反面是升維，降維難算，升維易解。登高而望，跳出難題之外，不在常規(guī)之中，難題若是魔高一尺，升維就來道高一丈！天下無難題，只要肯升維！

[1]理論來源：1）李玉發(fā)、李宇航.時空Tn中點線面體的運算、變換、轉換[J]華南師范大學學報（自然科學版）2014年第46卷129頁-131頁. 2）李宇航.數(shù)學中的運算、變換、轉換[D].全國中學生數(shù)理化學科能力展示活動一等獎建模論文.2011年

[2]李玉發(fā)、李宇航.利用空間維度變換，速解高中數(shù)學難題[D].全國初等數(shù)學研究會和廣東初等數(shù)學研究會聯(lián)合頒發(fā)的二等獎論文,2017年1月3日

[3]李玉發(fā).點線面體的五觀報告.全國初等數(shù)學研究會第十屆研討會暨廣東省初等數(shù)學學會一屆三次學術研討會.2017年1月3日

[4]李玉發(fā).中學數(shù)學教育中的美育——淺談數(shù)學教學中的美育滲透[D].廣州：華南師范大學,2001

[5]李玉發(fā).轉換是數(shù)學中的美旋律[J].中學數(shù)學研究，2007,第4期第25頁