黃香娥

摘要：在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中學(xué)生往往出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，會(huì)而不全”的情況，究其原因，大多是想當(dāng)然所致。只有透徹理解數(shù)學(xué)概念，耐心審題，看清題目要求，充分用上題設(shè)包含隱含條件，注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，才能避免“想當(dāng)然”。

關(guān)鍵詞：想當(dāng)然；數(shù)學(xué)概念； 隱含條件； 范圍的界定

數(shù)學(xué)解題時(shí)做錯(cuò)了是很常見(jiàn)的，原因也很多.有一類(lèi)錯(cuò)誤卻純屬“想當(dāng)然”所致.往往題目做出來(lái)了，滿以為絕對(duì)正確，卻偏偏錯(cuò)了。避免這樣的錯(cuò)誤，除了做事不能主觀、簡(jiǎn)單化以外，也有不少發(fā)人深省的地方。由于有些解法太似是而非，題目又好像比較簡(jiǎn)單，很仔細(xì)的人出錯(cuò)也在所難免。本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐和體會(huì)，通過(guò)聆聽(tīng)、分析學(xué)生的錯(cuò)題講解，對(duì)他們?cè)诮忸}過(guò)程中出現(xiàn)的“想當(dāng)然”進(jìn)行分析，借此激發(fā)問(wèn)題意識(shí)，促進(jìn)他們的認(rèn)知，強(qiáng)化他們對(duì)錯(cuò)誤根源的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)他們的認(rèn)知免疫力。

一、對(duì)概念、性質(zhì)的理解出現(xiàn)偏差導(dǎo)致想當(dāng)然

中學(xué)數(shù)學(xué)中的有些概念，教材往往以定義的形式直接給出，這些定義或符號(hào)看似比較簡(jiǎn)單，但真正遷移運(yùn)用起來(lái)比較困難.如函數(shù)的定義域教材是先給出函數(shù)的定義，緊接就拋出函數(shù)的定義域：……記作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域.根據(jù)此定義，學(xué)生很快就記住了函數(shù)y=f（x）的定義域就是自變量x的取值范圍，也就快速且準(zhǔn)確的求出形如f（x）=x，f（x）=1x，f（x）=1log2（x2-2x+2）等的定義域，但當(dāng)我們給出求抽象函數(shù)定義域時(shí)，就有一部分同學(xué)對(duì)定義域的理解出現(xiàn)偏差。

案例1 ：設(shè)函數(shù)f（2x-1）的定義域?yàn)閇3，9），則f（x+1）的定義域是（ ）。

A.[2，8） B.[3，6） C.[4，16） D[2，4）

學(xué)生出現(xiàn)最多的錯(cuò)誤解法：2x-1∈[3，9）x∈[2，5）x+1∈[3，6）.，選（B）.為了糾正同學(xué)對(duì)定義域的理解出現(xiàn)的偏差，可以從學(xué)生最近認(rèn)知發(fā)展區(qū)出發(fā)，通過(guò)把題目分解進(jìn)行講解，加深他們的理解，同時(shí)學(xué)會(huì)遷移應(yīng)用。

已知f（x）=x，求①f（x）的定義域；②f（x+1）及f（x+1）的定義域；

③f（x-1）及f（x-1）的定義域。

分析：①f（x）=x，x≥0，

②f（x+1）=x+1，x+1≥0，x≥-1，③f（x-1）=x-1，x-1≥0，x≥1 。

在這兒，f（x+1），f（x），f（x-1）中的x+1，x及x-1是等價(jià)的，這樣學(xué)生就能遷移到①已知f（x）的定義域是[0，+∞），求f（x+1）的定義域，②已知f（x+1）的定義域是[0，+∞），求f（x）的定義域兩個(gè)問(wèn)題上，因此對(duì)于案例1中的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解：把2x-1看成整體x1，x+1看成整體x2，這樣在f（x1），f（x），f（x2），x1，x，x2是等價(jià)的，但x1中的x，x2中的x各不相同.∴x∈[3，9）2x-1∈[5，17），x+1∈[5，17），∴x∈[4，16） ∴選（C）。

案例2：為了得到y(tǒng)=sin（2x+π4）的圖像，只需將y=sin2x的圖像（）。

A.左移π4 B.右移π4 C.左移π8 D.右移π8

錯(cuò)解：（A）。學(xué)生都能記住在圖像的平移變換中遵循左加右減的規(guī)律，但沒(méi)有真正的理解.在學(xué)習(xí) 函數(shù)y=Asin（ωx+Ф）（A>0， ω>0）的圖像時(shí)，好多教師都是先設(shè)置與圖像有關(guān)系的問(wèn)題，運(yùn)用幾何畫(huà)板、多媒體力圖向?qū)W生演示圖像，然后讓學(xué)生通過(guò)觀察，從特殊的、個(gè)別的屬性，歸納得出由函數(shù)y=sinx到函數(shù)y=sin（ωx+Ф）（ ω>0）的圖像的兩種不同變換途徑：①先平移后伸縮②先伸縮后平移.如果是①則先向左（Ф>0）或向右（Ф<0），再變化ω，如果是②則先變化ω，再平移，平移的值為向左（Ф/ω）或向右（-Ф/ω）.在變換②中，學(xué)生對(duì)于平移的值Ф/ω或-Ф/ω就是靠從幾個(gè)特殊的、個(gè)別的圖像的變化猜測(cè)得到的，有點(diǎn)似懂非懂的感覺(jué)，時(shí)間久了，就想當(dāng)然的得出上面的錯(cuò)解。為了使同學(xué)們更好的理解變換②的情況，我利用同學(xué)們初中都很熟知的圖形在坐標(biāo)系中的平移進(jìn)行講解：

P（x-t，y）向左平移t個(gè)單位P（x，y）向右平移t個(gè)單位P（x+t，y）

設(shè)p（x0，y0）是函數(shù)y=sinωx的圖像上任一點(diǎn)，當(dāng)Ф>0時(shí)，設(shè)點(diǎn)P向左平移t個(gè)單位得到點(diǎn)Q（x，y）即函數(shù)y=sin（ωx+Ф）（ ω>0）上的點(diǎn)，則x=x0-ty=y0 x0=x+ty0=y 因?yàn)閜（x0，y0）在函數(shù)y=sinωx的圖像上，所以y0=sinωx0即y=sinω（x+t）=sin（ωx+ωt）=sin（ωx+Ф），所以ωt=Ф，t=Ф/ω。這樣同學(xué)們對(duì)于圖像平移過(guò)程中的左加右減的平移量就有了更深的理解，也就避免了想當(dāng)然的錯(cuò)解。

二、對(duì)范圍的對(duì)應(yīng)、界定及處理出現(xiàn)偏差導(dǎo)致想當(dāng)然.

案例3 ：集合A={y|y=x2-4x+3，x∈Z}，B={y|y=-x2-x+3，x∈Z}，求A∩B。錯(cuò)解：對(duì)于A：y=（x-2）2-1，y≥-1；對(duì)于B：y=-（x+12）2+314，y≤314，y∈Z，所以y≤3，所以A∩B=-1，0，1，2，3。

分析：過(guò)程似乎無(wú)懈可擊，解也注意整數(shù)集了，何以不對(duì)呢？問(wèn)題在于，由x∈Z=>

y∈Z，還必須檢驗(yàn)y∈Z=>x∈Z是否成立，可以通過(guò)列表解決：y=-10123x1∈Z√√XX√X2∈ZXX√X√所以，A∩B={3}。

案例4 ：已知實(shí)數(shù)x，y滿足4≤x+y≤6①，2≤x-y≤4②，求2 x+y的 取值范圍。

這道題是高三（文科班）剛開(kāi)始復(fù)習(xí)不等式時(shí)布置的限時(shí)訓(xùn)練題，當(dāng)時(shí)好多同學(xué)都做錯(cuò)了，出現(xiàn)最多的是以下兩種錯(cuò)解：

錯(cuò)解1：由①+②得6≤2x≤10 ③ ，由①+②×（-1） 得0≤y≤2 ④，endprint

由③+④得6≤ 2x+y≤12 。

錯(cuò)解2：由①+②得3≤x≤5 ⑤，由①+⑤得7≤ 2x+y≤11。他們的思路很簡(jiǎn)單，也是他們最易想到的：要求2x+y的范圍，只需把x，y的范圍求出來(lái)，再根據(jù)不等式的性質(zhì)就可求出.殊不知在這些求解過(guò)程中已改變了2x+y的范圍.在錯(cuò)解1中，同學(xué)們把x，y滿足4≤x+y≤6 ①，2≤x-y≤4 ②轉(zhuǎn)化為x，y滿足3≤x≤5和0≤y≤2，在錯(cuò)解2中，盡管解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的，結(jié)果正確只是碰巧而已，同學(xué)們把x，y滿足4≤x+y≤6①，2≤x-y≤4②轉(zhuǎn)化為x，y滿足3≤x≤5和4≤x+y≤6，這么一轉(zhuǎn)化，x，y滿足的條件也隨著改變，即不等式組4≤x+y≤62≤x-y≤4， 3≤x≤50≤y≤2， 3≤x≤54≤x+y≤6 所表示的平面區(qū)域也就不同了，從而就改變了2x+y的范圍。這樣一分析，同學(xué)們知道了這一題的關(guān)鍵是x+y、x-y都是一個(gè)整體，不能把他們分開(kāi)，他們是互相聯(lián)系、互相制約的，就很自然的與線性規(guī)劃問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。

三、忽視題中的隱含條件導(dǎo)致想當(dāng)然

案例5： （1）ΔABC中，已知cosA=513，sinB=35，則cosC的值為（）

A.1665 B.5665 C.1665或5665 D-1665錯(cuò)解：∵cosA=513，∴sinA1213，∵sinB=35，∴cosB=±45，當(dāng)cosB=45時(shí)，cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…1665，當(dāng)cosB=-45時(shí)，cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…=5665，∴選（C）。分析：這種解法由于忽略了A+B+C=π這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。正解：∵0cosA=51322，∴sinA=1213，且π4Aπ2，∵0sinB=3522，∴0Bπ4或3π4Bπ，又∵A+B+C=π，∴0Bπ4，∴cosB=45，∴cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…=1665，∴選（A）。（2）已知方程x2+4ax+3a+1=0（a為大于的常數(shù)）的兩根為tanα，tanβ，且α，β∈（-π2，π，2），則tanα+β2的值是---錯(cuò)解：∵tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個(gè)根，∴tanα+tanβ=-4a，tanαtanβ=3a+1，由tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-（3a+1）=43，可得tanα+β2=±2。錯(cuò)因：忽略隱含條件tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個(gè)負(fù)根導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解：∵a0，∴tanα+tanβ=-4a0，tanα.tanβ=3a+10，∴tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個(gè)負(fù)根，又α，β∈（-π2，π，2），∴α，β∈（-π2，0）即α+β2∈（-π2，0），由tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-（3a+1）=43可得tanα+β2=-2。

案例6 ：設(shè)橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=32，已知點(diǎn)P（0，32）到這個(gè)橢圓上的距離是7，求這個(gè)橢圓方程。錯(cuò)解：由已知得a=2b，則d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3，所以當(dāng)y=-12時(shí)，d2有最大值，從而d也有最大值。所以4b2+3=（7）2，由此得b2=1，a2=4，于是所求橢圓的方程為x24+y2=1。

錯(cuò)因：盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法確是錯(cuò)誤的，結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)y=-12時(shí)，d2有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒(méi)有考慮到y(tǒng)的取值范圍。事實(shí)上，由x2a2+y2b2=1得x2=a2（1-y2b2）≥0，則-b≤y≤b或點(diǎn)（x，y）在橢圓上，有-b≤y≤b因此在求d2的最大值時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論。正解：若b12，則當(dāng)y=-b時(shí)，d2（從而d）有最大值，于是（7）2=（b+32）2，從而解得b=7-3212，與b12矛盾所以必有b≥12，此時(shí)當(dāng)y=-12時(shí)，d2（從而d）有最大值所以4b2+3=（7）2，解得b2=1，a2=4，于是橢圓方程為x24+y2=1。 因此，在解題過(guò)程中要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手，這樣才能正確地解題。

四、對(duì)一些數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、解題方法、某一類(lèi)型等過(guò)于熟悉而導(dǎo)致的想當(dāng)然

案例7：（1）單位向量，，滿足⊥且（-）（-）≤0，則+-的最大值為（）A.2-1 B.1 C.2 D.2

這是浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試導(dǎo)引（2014級(jí)適用）綜合練習(xí)一中的最后一道選擇題，導(dǎo)引中答案是（C），這答案是錯(cuò)的，其實(shí)正確答案是（B）。檢查了班級(jí)同學(xué)對(duì)此題的掌握情況，好多同學(xué)不會(huì)做，會(huì)做的同學(xué)大多又做錯(cuò)了（選C）。究其原因是他們對(duì)于這類(lèi)題型目及解題的方法太過(guò)熟悉導(dǎo)致想當(dāng)然.這些同學(xué)很好的運(yùn)用向量加法、減法的幾何意義來(lái)做：記OA=，OB=，OC=，由（-）（-）≤0知點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上或園內(nèi)，而+-表示圓上及圓內(nèi)點(diǎn)C與D（OD=+）的距離，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化到圓心與D的距離，可惜這些同學(xué)一激動(dòng)忘掉題中的向量c是單位向量這一條件，從而得出錯(cuò)誤答案。+-max=d+r=22+22=2， 若同學(xué)稍仔細(xì)點(diǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)橄蛄縞是單位向量，所以點(diǎn)C的軌跡是單位圓夾在以AB為直徑的圓中的一段弧，即單位圓中的弧AB，所以+-max=DA=DB=1。

（2）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy+2x+y=6，求x+y的最小值

錯(cuò)解：2x+y≥22xy6≥xy+22xy0xy≤2x+y≥2xy≥22

x+y的最小值為22，大多數(shù)同學(xué)反映，當(dāng)一看到是求最值問(wèn)題，最先想到的是基本不等式，而x+y，xy，2x+y又都可以通過(guò)不等式聯(lián)系起來(lái)，這樣就想當(dāng)然的運(yùn)用基本不等式求最值從而出現(xiàn)上述錯(cuò)解。一是沒(méi)注意到兩次運(yùn)用不等式時(shí)等號(hào)取到的條件不同，二是在0xy≤2x+y≥2xy≥22中出現(xiàn)推理錯(cuò)誤。

（3）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的實(shí)軸端點(diǎn)分別為A1，，A2，記雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為F，一個(gè)虛軸端點(diǎn)為B，若在線段BF上（不含端點(diǎn)）有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2=π2，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）。

A.（2，5+12） B（2，6+12） C（1，5+12） D（5+12，+∞）

好多同學(xué)很快就想到利用化歸、數(shù)形結(jié)合的思想把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系來(lái)做，但沒(méi)有注意到若在線段BF上（不含端點(diǎn)）有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)Pi這一限制條件從而得出錯(cuò)誤答案（C）。

避免“想當(dāng)然”錯(cuò)解的關(guān)鍵在于：耐心審題，看清題目要求，透徹理解概念，充分用上題設(shè)，包含隱含的條件，注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這樣就可以避免在解題過(guò)程中出現(xiàn)的“會(huì)而不對(duì)，會(huì)而不全”的情況。

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[3]袁守義.親切平和 活力四射. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（1-2）

（作者單位：浙江省臨海市靈江中學(xué) 317000 ）endprint