蔡江波

【摘要】數(shù)學學科在現(xiàn)階段高職院?；A(chǔ)性學科培養(yǎng)體系中處于重要的位置，它對于學生的基礎(chǔ)知識認知體系的形成具有重要意義.線性規(guī)劃方法是現(xiàn)代數(shù)學學科發(fā)展路徑中用于解決復(fù)雜線性約束條件下的最優(yōu)解問題的基本方法，在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展脈絡(luò)中具備極其深遠的現(xiàn)實影響意義.

【關(guān)鍵詞】高職數(shù)學；單純性方法；數(shù)形結(jié)合

單純形方法是現(xiàn)代數(shù)學中解決線性規(guī)劃最優(yōu)解問題的基礎(chǔ)的和首要的應(yīng)用方法，對于有效解決無最優(yōu)解的線性規(guī)劃問題、退化解線性規(guī)劃問題，以及多重最優(yōu)解的線性規(guī)劃問題，具備顯著的促進和保障作用.由于現(xiàn)階段絕大多數(shù)高職院校學生尚且無法做到對單純形方法求解現(xiàn)行規(guī)劃問題的本質(zhì)能夠準確理解，因而，給實際教學效果造成了顯著的不良影響，而數(shù)形結(jié)合方法在實際教學中的引入和運用，為有效解決上述教學困境做出了重要貢獻.鑒于此，本文將會圍繞用數(shù)形結(jié)合解析單純形方法教學中的幾個問題展開簡要闡釋.

一、無最優(yōu)解的線性規(guī)劃問題

在線性規(guī)劃數(shù)學問題的運算處理過程中，受所求問題和可行域便捷約束條件等因素的共同影響，通常會出現(xiàn)最優(yōu)解不存在現(xiàn)象，而且針對這一數(shù)學問題的計算和證明，往往也是具體教學環(huán)節(jié)開展過程中的難點.

例1求解如下線性規(guī)劃問題：

maxS=3X1+2X2，其約束條件為X1-X2≤2.00；200X1-X2≤6.00；X1≥0；X2≥0.

解根據(jù)題干和已知條件，先將原有問題的表述語句轉(zhuǎn)化為標準形式，并同時引入松弛數(shù)學變量X3和X4，這時可以得到新的問題表達語句為maxS=3.00X1+2.00X2+0X3+0X4.其基本的數(shù)學規(guī)劃約束條件為X1-X2+X3=200；2.00X1-X2+X4≤6.00；X1≥0；X2≥0；X3≥0；X4≥0.

選取線性規(guī)劃數(shù)學運算條件下的可行基Bi=（P3，P4）=E，可以具體列示出線性規(guī)劃可行基B1在單純形線性規(guī)劃方法運用條件下的數(shù)值分布表，并借助換基迭代方法獲取如表1所示數(shù)據(jù)結(jié)果.

在線性規(guī)劃數(shù)學運算條件下的可行基Bi=（P1，P2）具體對應(yīng)的單純形測算數(shù)據(jù)量表中，由于檢驗性控制參數(shù)（-Cj）項目中的（-7.00）數(shù)據(jù)項具有非正數(shù)屬性表現(xiàn)特征，因而，應(yīng)當針對現(xiàn)有的非基變量項目（X3）實施進基運算處理，與此同時，由于非基變量項（X3）在這一運算處理條件下，所對應(yīng)表格數(shù)據(jù)列中的（-1.00）和（-2.00）項均具有非正數(shù)的數(shù)學屬性特征，直接導致這一數(shù)學運算處理情境之下未能形成基變量處理項目，因而，可以確定這一線性規(guī)劃問題在現(xiàn)有的數(shù)學約束條件下不存在最優(yōu)解求解結(jié)果.

以線性規(guī)劃問題求解活動的基本思路展開簡要分析，如果某一檢驗性參數(shù)所在單純形數(shù)據(jù)表的所在列向量中不存在數(shù)值表征屬性為正數(shù)的數(shù)據(jù)項，則直接可以判定，對應(yīng)的數(shù)學線性規(guī)劃問題不存在最優(yōu)解.

以例題1所列示的數(shù)學問題場景展開分析，基于初始化數(shù)據(jù)求解列表中的T（B1）數(shù)據(jù)列，即可明確實現(xiàn)對問題中最優(yōu)解存在與否的準確判斷，由于檢驗性控制參數(shù)（-Cj）項目所在數(shù)據(jù)列中的（-2.00）<0，直接可知檢驗性控制參數(shù)（-Cj）項目所在的第二列數(shù)據(jù)元素中不存在具備正數(shù)數(shù)學屬性的數(shù)據(jù)項目，因而，導致例題1所列示的線性數(shù)學規(guī)劃問題，在現(xiàn)有的約束條件之下，不存在最優(yōu)解.在此基礎(chǔ)上，本文將結(jié)合幾何圖形，對例題1的數(shù)學描述特征展開分析.

如圖1所示，由于在題干所述的初始性數(shù)學約束條件中，（X2）項的約束系數(shù)均為非正數(shù)，表明在現(xiàn)有的線性規(guī)劃數(shù)學條件之下，（X2）處于不受約束狀態(tài)，也就是說，例題1對應(yīng)的可行域圖形具有無上界特征.與此同時，對于線性規(guī)劃問題求解過程中的目標直線簇S而言，其最優(yōu)化求解過程中的方向，是沿著可行無上界域的上方呈現(xiàn)無限變化趨勢的，因而，可以在圖形分析背景下，證實例題1所述問題不存在最優(yōu)解.

二、退化解線性規(guī)劃問題

例2求解如下線性規(guī)劃問題：

maxS=-2.00X1-5.00X2；其約束條件為X1+3.00X2≤6.00；X1-X2≤2.00；X1≥0；X2≥0.

解根據(jù)題干和已知條件，先將原有問題的表述語句轉(zhuǎn)化為標準形式，并同時引入松弛數(shù)學變量X3和X4，這時可以得到新的問題表達語句為maxS=2.00X1+5.00X2+0X3+0X4.

其基本的數(shù)學規(guī)劃約束條件為X1+3.00X2+X3=600；X1-X2+X4=2.00；X1≥0；X2≥0；X3≥0；X4≥0.

選取線性規(guī)劃數(shù)學運算條件下的可行基Bi=（P3，P4）=E，可以具體列示出線性規(guī)劃可行基B1在單純形線性規(guī)劃方法運用條件下的數(shù)值分布表，并借助換基迭代方法獲取如表2所示數(shù)據(jù)結(jié)果.

通過對基項參數(shù)T（B3）中列示的相關(guān)內(nèi)容展開具體分析，可知例題2中所列線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為S=-1000，此時X1=0，X2=2.00.

在實施第一次迭代運算處理過程中，如果在完成基變量項目選擇環(huán)節(jié)基礎(chǔ)上，同時出現(xiàn)了兩個具備等同性比值特征的最小值，則通?？梢匀我膺x取其中的一個作為后續(xù)運算處理過程中的基礎(chǔ)條件.如果在完成第一次迭代運算處理基礎(chǔ)上出現(xiàn)了基變量項目X1=0的運算處理結(jié)果，則通常認為這一運算條件下獲取的最優(yōu)解，具備退化特征.

在實際開展基變量選取環(huán)節(jié)過程中，如果同時存在兩個或者是兩個以上的、具備等同性比值特征的最小值，如果在這一運算處理情境下，隨機選取任意一個最小值展開后續(xù)的進基性計算分析規(guī)劃求解處理過程中，往往會同時出現(xiàn)一個或者是多個基變量參數(shù)項目同時為零的運算處理結(jié)果，這時通常認為實際求解獲取的基礎(chǔ)解具備表征明顯的退化性特征.

在線性規(guī)劃問題的運算求解構(gòu)成中，退化解計算結(jié)果的出現(xiàn)，將會直接導致目標函數(shù)無法獲取到及時有效的數(shù)學改良，因而，在運用一般運算法處理后獲取的新的線性規(guī)劃解，往往依然具有退化特征，直接導致線性規(guī)劃問題的求解處理過程，在有限的區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出循環(huán)往復(fù)特征，始終無法實現(xiàn)對最優(yōu)解的求解處理目標.為切實解決退化解運算處理過程中的循環(huán)往復(fù)現(xiàn)象，通常需要：分別計算出緊接求解列之后一列的元素與求解列相應(yīng)的元素的比值數(shù)據(jù)結(jié)果，并從中選取比值數(shù)據(jù)最小的一個數(shù)據(jù)行作為最終應(yīng)用的求解行.

例題2中所列示數(shù)學情境，其具體涉及的運算求解處理過程，不具有循環(huán)性表現(xiàn)特征，直接導致該問題通過換基迭代的計算處理方法，能夠獲取到最優(yōu)化的結(jié)果.在引入數(shù)形結(jié)合分析方法基礎(chǔ)上，可以獲取如圖2所示的可行域.

在圖2所示的可行域求解圖形中，A點對應(yīng)的恰好就是基于單純形法獲取的基本解系，在單純形計算處理方法背景下所表現(xiàn)的變化特征.

事實上，在例題2所述的問題情境中，點A（0，2）在兩個獨立存在的線性規(guī)劃約束條件的共同約束之下，就可以實現(xiàn)準確的運算描述.而本組例題中同時給出了三個線性規(guī)劃可行域邊界約束條件，即X1=0；X1+X2=2.00；X1+3.00X2=6.00.從這里可以知道，在線性規(guī)劃可行域的便捷約束條件數(shù)量超過極點確定過程中的約束條件個數(shù)限制條件下，通常會導致線性規(guī)劃數(shù)學問題，在具體的求解處理過程中，出現(xiàn)退化解現(xiàn)象，給最優(yōu)解的計算分析求解處理過程造成極其顯著的技術(shù)困難.

三、結(jié)束語

針對數(shù)形結(jié)合解析單純形方法教學中的幾個問題，本文從無最優(yōu)解的線性規(guī)劃問題、退化解線性規(guī)劃問題兩個基本方面，結(jié)合對具體例題的計算分析處理，具體論述了線性規(guī)劃問題求解過程中最優(yōu)解的不存在現(xiàn)象，以及可能發(fā)生的循環(huán)性退化解問題，旨在為相關(guān)領(lǐng)域的研究人員和一線教師提供借鑒.

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