溫小英

摘 要：國內(nèi)高中數(shù)學教材的內(nèi)容少而精，對知識理論的掌握程度要求高，注重公式的精確應用和抽象邏輯思維的訓練；國際高中數(shù)學教材的內(nèi)容廣而泛，跟實際生活聯(lián)系很緊密，注重知識在實際生活中的應用，注重批判性和發(fā)散性思維的訓練。

關鍵詞：國際高中 數(shù)學課程 數(shù)學教材

一、問題的提出

近年來，國際教育熱愈演愈烈，國際課程被紛紛引進，國際高中數(shù)學課程可以說是最熱門的引進課程，引進的教材版本也各不相同，但內(nèi)容和風格差不多。引進的這些數(shù)學課程教材跟國內(nèi)的數(shù)學課程教材在內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上有什么不同呢？它對學生的思維方式的訓練能起到什么作用呢？本文將結(jié)合本人的工作經(jīng)歷對國際與國內(nèi)高中數(shù)學課程教材做簡要的比較分析。[1]

二、國內(nèi)與國際高中數(shù)學教材內(nèi)容的對比分析

筆者從事國際高中數(shù)學課程教學七年有余，對國際O-LEVEL，A-LEVEL，SAT及IB數(shù)學教材有比較深入的研究，同時也將它們與國內(nèi)普通高中的數(shù)學教材作了一番比較，發(fā)現(xiàn)國際數(shù)學教材的主要特點有：內(nèi)容比較具體，覆蓋面比較廣，跟實際生活的聯(lián)系很緊密，問題的設置上也比較直觀，不需要很強的理論技巧。不需要很復雜的抽象思維，很少有復雜抽象的證明，更多的是形象有趣的生活應用。[2]

國際課程標準明確強調(diào)數(shù)學學習要保證學生變成有自信，有創(chuàng)新性的數(shù)學應用型人才和交流者；能夠探究、呈現(xiàn)以及解釋工作中和生活中出現(xiàn)的數(shù)學現(xiàn)象，而大數(shù)學家華羅庚也一針見血地分析過：“人們對數(shù)學產(chǎn)生枯燥無味、神秘難懂的印象，原因之一是數(shù)學教學脫離了實際.也許正是基于這些理念，國外的高中數(shù)學課程教材特別接地氣，內(nèi)容圖文并茂，栩栩如生，涵蓋了很多的生活場景，融入了很多國外的文化特色，充分體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活的思想。

以下以加拿大11年級教材---預微積分（pre-calculas）和國內(nèi)高中數(shù)學必修4的教材做簡要比較分析。[3]

1.理論呈現(xiàn)和應用（以三角函數(shù)求值為例）

（1）教材內(nèi)容展示

國內(nèi)必修4數(shù)學教材（原文片段）：三角函數(shù)求值（誘導公式）

思考：我們利用單位圓定義了三角函數(shù)，而圓具有很好的對稱性。能否利用圓的這種對稱性來研究三角函數(shù)的性質(zhì)呢？例如，能否從單位圓關于x軸、y軸、直線y=x的軸對稱性以及關于原點O的中心對稱性等出發(fā)，獲得一些三角函數(shù)的性質(zhì)呢？

探究：給定一個角α

（1）角π-α、π+α的終邊與角α的終邊有什么關系？它們的三角函數(shù)之間有什么關系？

（2）角-α的終邊與角α的終邊有什么關系？它們的三角函數(shù)之間有什么關系？

（3）角-α的終邊與α有什么關系？它們的三角函數(shù)之間有什么關系？

……

設任意角α的終邊與單位圓的交點坐標為P1（x，y）。由于角π+α的終邊與角α的終邊關于原點對稱，角π+α的終邊與單位圓的交點P2與點P1關于原點O對稱，因此點P2的坐標是（-x，-y）。由三角函數(shù)的定義得

Sinα=y， cosα=x， tanα=；

sin（π+α）=-y， cos（π+α）=-x， tan（π+α）=

從而得公式二

……

我們可以用下面一段話來概括公式一～四：

α+k·2π（k∈Z），-α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。

……

加拿大11年級數(shù)學教材（片段節(jié)選）

Pre-calculus 11： Trigonometric Ratios of Any Angle（三角函數(shù)值）

The Athabasca Oil Sands are located 40 km north of Fort McMurray， AB. They are the worlds largest source of synthetic crude from oil sands， and the greatest single source in Canada. （阿沙巴斯克油砂位于麥克默里堡北部40千米，他是世界上最大的合成原料來源，也是加拿大最豐富的能源）。Massive machinery has been developed specifically for the excavation of the oil sands. Power shovels are equipped with a global positioning system （GPS） to make digging more exact. The operator must understand the angles necessary to operate the massive shovel. The design of power shovels uses the laws of trigonometry.（特制的大型的機械設備如安裝了GPS的挖掘機可以更準確的挖掘油砂， 它的設計運用了三角函數(shù)的知識，操作者需要懂得操作角度。）[4]

Hint： Reference angle（參考角的定義）

· the acute angle whose vertex is the origin and whose arms are the terminal arm of the angle and the x-axis（參考角即角的終邊與x軸形成的銳角）

Signs of trigonometric ratios in the four quadrants.

（三角函數(shù)值在四個象限的符號）

The length of the line OA is unit.endprint

In the first quadrant， the coordinates of A are （a，b） and the reference angle α

sinθ==sinα cosθ==cosα tanθ==tanα （如圖，θ在第一象限，點A的坐標為（a，b），參考角為α，則sinθ，cosθ，tanθ與sinα，cosα， tanα的關系為

sinθ=sinα cosθ=cosα tanθ=tanα） 。

In the second quadrant， the coordinates of A are （-a， b） and the basic angle

α=180°-θ ； sinθ==sinα cosθ==-cosα tanθ==-tanα ，（在第二象限，點A的坐標為（-a，b），參考角為α，則sinθ，cosθ，tanθ與sinα，cosα， tanα的關系為

sinθ=sinα cosθ=-cosα tanθ=-tanα）

……

（2）教材內(nèi)容對比分析

相比較來看，國內(nèi)普通版的教材內(nèi)容理論性非常強，語言抽象度高，知識理論的掌握程度要求很高，邏輯要求更為嚴謹，對學生的抽象推理能力要求比較高。不僅要掌握軸對稱、中心對稱、單位圓定義，還需要理解抽象的角α、π-α、π+α、-α、-α的位置表示及角之間的關系。誘導公式的應用不僅需要記憶大量的數(shù)學公式（誘導公式一～四共12個），還需要很強的抽象轉(zhuǎn)化能力及運算能力。

應用展示如下：將sin（-1300°）化為銳角三角函數(shù)

解：sin（-1300°）=-sin1300°（公式三）

=-sin（3×360?+220）=-sin220?（公式一）

=-sin（180?+40?）=-（-sin40?）（公式四）

=sin40?

國際版的教材內(nèi)容則很生活化，先從一個本土化問題引入，進而提出問題，然后闡述理論，最后應用理論解決實際問題。語言也比較通俗易懂，邏輯推理要求沒那么高，還比較形象生動。整個理論的推導過程，就圍繞一個參考角展開，并將所有的求值問題轉(zhuǎn)化為跟參考角的關系問題， 簡化了公式的記憶。因此在理論的應用方面，只要知道兩個知識點：參考角及角在各個現(xiàn)象的符號，也就是說學生只需要能把角準確的畫在坐標軸上，能找到參考角，能熟記各個三角函數(shù)的每個象限的符號就能很快的解決問題。

解題過程展示：Express sin（-1300°）as a trigonometric ratio of acute angle.

Solution：Draw the angle -1300°in standard position， it is easy to know the reference angle is 40° and the terminal arm is in quadrant Ⅱ

i.e. sin（-1300°）= sin40?（將-1300°畫在直角坐標系中，可知參考角為40°，終邊在第二象限，所以sin（-1300°）= sin40?）

總而言之，國內(nèi)高中的數(shù)學教材在三角函數(shù)求值這一節(jié)，需要綜合應用三角函數(shù)的誘導公式，而國際數(shù)學課程則通過找參考角，將任意角的求值問題轉(zhuǎn)化為參考角三角函數(shù)來求；國內(nèi)高中的三角函數(shù)求值，需要融匯貫通誘導公式和符號法則，對邏輯思維和抽象轉(zhuǎn)化能力有很高的要求，而國際課程，則顯得直觀也不需要深層次的思考，無非是先找出參考角，再結(jié)合三角函數(shù)在各個象限的符號，就能達到求值目的，學生不需要記太多的東西，也不需要深層次的邏輯推理，這對于抽象思維能力比較弱的同學是很有好處的。

2.練習題問題的設置

國內(nèi)的高中數(shù)學教材涉及的問題跟實踐結(jié)合的比較少，應用題的數(shù)量也不多，而這些應用題較少地體現(xiàn)了數(shù)學知識點的實際應用，更多的是一種理想化或假想的應用。[5]

國際數(shù)學教材中則有許多有趣的生活實際問題和富有批判性的問題。例如：

a）Explain why there are exactly two non-quadrantal angles between 0°and 360° that have the same sine ratio.（請解釋為什么在0至360度間，恰好有兩個位于不同象限的角具有相同的正弦值？）

這個問題能引發(fā)學生深層次多維度的思考，有益于學生思維的拓展，也有益于學生再次鞏固所學知識的來龍去脈。[6]

b） A rancher has 100 m of fencing available to build a rectangular corral.

Write a quadratic function in standard form to represent the area of the corral. Identify any assumptions you made in modelling this situation mathematically.（建模過程你做了哪些假設呢？）

國內(nèi)數(shù)學也有類似的應用題：給定一定長度的籬笆，建成一個長方形的圍欄，用二次函數(shù)來表示圍欄的面積。國內(nèi)的數(shù)學一般會求圍欄的最大值，然而國際版的教材除了要求最大值外，還要求思考所采用的數(shù)學模型的假設條件是什么？用這個函數(shù)模型在現(xiàn)實生活中會遇到哪些限制？這種問題，能極大的提高學生全面思考問題的能力，同時能提高學生對生活細節(jié)的關注度。

c）A siksik， an Arctic ground squirrel， jumps from a rock， travels through the air， and then lands on the tundra. The graph shows the height of its jump as a function of time. Use the graph to answer each of the following， and identify which characteristic（s） of the graph you used in each case.

Would this type of motion be possible for a siksik in real life？ Explain why or why not.（在現(xiàn)實生活中，松鼠Sisik可能發(fā)生這樣的運動嗎？請解釋理由）

這個問題先介紹一只松鼠，接著描述了一次松鼠跳躍的運動軌跡，要求根據(jù)運動圖像判斷現(xiàn)實生活中這種跳躍運動能否發(fā)生？這個問題學生剛開始接觸時是非常棘手的，學生一般會從形的角度去考慮，很少會從時間的角度去考慮，這類問題有益于訓練學生辯證的批判的看問題。endprint