陳榮榮

[摘 要] 有理數(shù)的學習是數(shù)系的進一步擴充，隨著數(shù)系的擴充，數(shù)的抽象程度越來越高，離生活實際也越來越遠，學生對無理數(shù)的理解也存在一定的困難. 本文選取蘇科版、人教版以及北師大版教材，分析比較無理數(shù)概念部分的編排.

[關鍵詞] 無理數(shù)；初中教材；蘇科版；人教版；北師大版

課程標準中對于無理數(shù)概念的要求：了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，能求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值. 本文通過比較蘇科版、人教版和北師大版三種教材，從無理數(shù)的知識編排體系與無理數(shù)概念的引入兩部分來探究教材對無理數(shù)概念編排的思路.

無理數(shù)知識的編排體系

考慮到初中教材中有關無理數(shù)知識的編排體系對無理數(shù)概念的引入有一定的影響，因此分析概念的引入前，先對無理數(shù)知識的編排體系進行比較. 下面通過表格對三種教材關于無理數(shù)知識的目錄進行分析：

對比三個版本教材的目錄，蘇科版將無理數(shù)的概念與有理數(shù)安排在七年級上冊，將平方根、立方根以及實數(shù)的運算安排在八年級上冊，時間跨度比較大. 蘇科版設計的思路：一方面小學數(shù)學已經(jīng)介紹了負數(shù)的概念，七年級上冊應在小學基礎上有進一步的提升；另一方面為后續(xù)的教學提供方便，如在七年級下冊介紹了在數(shù)軸上表示不等式解集，解集范圍內數(shù)軸上的點對應的是實數(shù)，即無理數(shù)和有理數(shù)，因此蘇科版在七年級上冊介紹了無理數(shù)的概念.

人教版與北師大版相同，將無理數(shù)的概念與平方根、立方根以及實數(shù)的運算設置在同一章節(jié). 不同的是，人教版將無理數(shù)的內容安排在七年級下冊，且對無理數(shù)相關知識的編排順序遵循了傳統(tǒng)教材的做法，在學習有理數(shù)的基礎上，先介紹平方根、立方根，認識一些不同于有理數(shù)的數(shù)，再在此基礎上引入無理數(shù).

對于人教版這種傳統(tǒng)的處理方式，國家義務教育數(shù)學課程標準初中數(shù)學教材核心編寫成員、南京師范大學顧繼玲教授認為其存在缺點：一方面學生體會不到數(shù)的擴充的必要性，另一方面對無理數(shù)概念的意義理解不夠，會產(chǎn)生一些誤解，如認為“無理數(shù)就是帶根號的數(shù)”等. 因此顧繼玲教授對北師大版實數(shù)這一部分重新做了設計：無理數(shù)的概念——平方根、立方根——實數(shù)的運算. 這樣的設計一方面考慮到無理數(shù)的歷史發(fā)展過程，先有無理數(shù)的概念，再研究根號形式的無理數(shù)，另一方面考慮到學生的認知規(guī)律.

華東師范大學數(shù)學系的陳月蘭教授基于Tirosh，D的概念框架及概念的認知理論，經(jīng)過實證研究發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)教材的處理確實容易讓學生產(chǎn)生“帶根號的數(shù)就是無理數(shù)”的誤會. 故筆者認為蘇科版和北師大版的安排較為合理些.

無理數(shù)的概念引入

教材對無理數(shù)概念引入的編排可以分為概念的引入情境、表述以及引出三個部分，本文就從這三個部分進行比較分析. 概念的引入情境指的是引入概念的情境，表述指的是教材中對于概念的描述，引出部分指的是給出概念后的部分，一般是對概念的舉例說明.

1. 概念的引入情境

2. 概念的表述

概念的表述是教材對知識的直接呈現(xiàn)，通過對概念的表述比較可以發(fā)現(xiàn)三個版本教材的編排脈絡. 三個版本教材對無理數(shù)概念的表述如下：

3. 概念的引出

概念的引出部分往往是對概念的舉例說明，有利于學生對概念的理解，具有代表性、典型性. 三個版本教材中的概念引出如下表：

蘇科版在引出部分除了舉出圓周率π并給出它的值，還舉例說了兩個無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，一正一負，隱含了無理數(shù)是有正負的. 人教版的引出則明確提出無理數(shù)是有正負的，并選擇根號形式的無理數(shù)和π來說明，沒提及任何無限不循環(huán)小數(shù). 北師大版在引出部分除了提及圓周率π以及它的值，還舉了一個無限不循環(huán)小數(shù)的例子，但是沒有提到或隱含無理數(shù)是有正負的，與蘇科版的引出部分相比，不夠全面.

總結

從教材對無理數(shù)概念引入的處理來看，人教版遵循傳統(tǒng)的處理方式，以平方根、立方根為基礎引入無理數(shù)，導致之后概念的引入涉及大量根號形式的無理數(shù)，將平方根、立方根和無理數(shù)緊密地聯(lián)系在一起. 根據(jù)華東師范大學的陳月蘭教授《初中生對無理數(shù)的理解》的研究結果，人教版這樣的編排容易讓學生將帶根號的數(shù)等價為無理數(shù). 蘇科版的編排不論是編排體系還是對有理數(shù)的判斷都體現(xiàn)了數(shù)學學科知識的科學性、邏輯性、嚴謹性. 北師大版教材的編排不論在無理數(shù)知識的編排順序部分還是無理數(shù)概念引入情境部分，都充分考慮到學生的認知規(guī)律. 三個版本教材對無理數(shù)概念的處理都符合課程標準對無理數(shù)的要求，蘇科版和人教版都將無理數(shù)的概念放在“了解”的水平上，北師大版則達到了“理解”的水平.