楊靖一，黃山云，丁祝順，荊龍賓

(北京航天控制儀器研究所，北京100039）

基于模糊PID算法的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制研究

楊靖一，黃山云，丁祝順，荊龍賓

(北京航天控制儀器研究所，北京100039）

針對(duì)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)難以實(shí)現(xiàn)高精度及快速響應(yīng)的問題，分析六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型，提出基于模糊PID的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制算法。介紹了六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型及機(jī)械系統(tǒng)模型；在此基礎(chǔ)上確定模糊算法的模糊語言變量、隸屬函數(shù)和模糊規(guī)則，完成了六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)模糊PID控制器的設(shè)計(jì)。針對(duì)一組PID控制參數(shù)進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，加入模糊算法的PID控制提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性及運(yùn)動(dòng)精度。

運(yùn)動(dòng)學(xué)反解；模糊PID控制；六自由度；SimMechanics

Abstract：Due to the difficulties in the high precision and fast response of parallel mechanism，the parallel mecha?nism model is analyzed，the PID controller based on fuzzy algorithm is proposed to solve the motioned problem.Firstly，the inverse kinematics solution process of parallel mechanism is deduced.On the basis of analyzing the PID control and fuzzy control principle，the fuzzy language variables，membership function and fuzzy rules are determined，then six DOF parallel mechanism fuzzy PID controller is designed to improve the precision and response of the system.Finally，by the simulation and experiment analysis，the results show that the fuzzy PID controller improves the dynamic response performance and pre?cision.

Key words：inverse kinematics;PID fuzzy control;six?DOF;SimMechanics

0 引言

六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于Stewart平臺(tái)原理，由Stewart于1965年在 《A Platform with Six Degree》中首次提出，應(yīng)用于飛行模擬器的運(yùn)動(dòng)研究。近年來，六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)以剛度大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載能力強(qiáng)、精度高、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)成為機(jī)器人領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)，已在并聯(lián)機(jī)器人、新型機(jī)床、大型射電望遠(yuǎn)鏡、飛行模擬器、航空宇航對(duì)接器等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。

六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)是一個(gè)多輸入、多輸出的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，具有時(shí)變、強(qiáng)耦合和非線性等動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，這給機(jī)構(gòu)的控制研究帶來了很大的困難。在六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程中，平臺(tái)的姿態(tài)變化反解出各桿的期望位移各不相同，甚至相差很大。而傳統(tǒng)控制方法一旦控制參數(shù)確定，在運(yùn)動(dòng)過程中就無法實(shí)時(shí)調(diào)整控制參數(shù)，所以傳統(tǒng)控制方法無法滿足系統(tǒng)在不同位姿情況下快速響應(yīng)和高精度的要求。文獻(xiàn)[1]基于H∞魯棒控制，提出了一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)魯棒自適應(yīng)控制，但其終究還是先進(jìn)行線性化再進(jìn)行設(shè)計(jì)的一種方法，無法完全適應(yīng)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)非線性控制的要求。文獻(xiàn)[2]提出了一種新型滑膜控制算法，其缺陷是控制器頻繁切換動(dòng)作有可能造成跟蹤誤差在零點(diǎn)附近產(chǎn)生抖動(dòng)的現(xiàn)象，而不能收斂到零。在此基礎(chǔ)上本文首先建立了六自由并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型，針對(duì)模型特性設(shè)計(jì)模糊PID控制器，并對(duì)其進(jìn)行仿真及試驗(yàn)研究，驗(yàn)證了模糊PID在六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制上的優(yōu)勢，達(dá)到了提高機(jī)構(gòu)響應(yīng)速度及精度的目的。

1 系統(tǒng)描述

六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)總體框圖如圖1所示，主要由運(yùn)動(dòng)學(xué)反解、控制系統(tǒng)和六自由并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成。運(yùn)動(dòng)學(xué)反解將輸入的期望位姿解算為六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)6根支腿的目標(biāo)長度，同時(shí)根據(jù)反饋得到各支腿的實(shí)時(shí)長度，計(jì)算出各支腿的目標(biāo)位移。將目標(biāo)位移和目標(biāo)位移的微分同時(shí)輸入控制系統(tǒng)，控制系統(tǒng)根據(jù)輸入量實(shí)時(shí)調(diào)整控制參數(shù)，輸出控制信號(hào)控制電機(jī)驅(qū)動(dòng)，通過對(duì)6根電動(dòng)推桿的控制使六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出指定位姿。

圖1 系統(tǒng)總體框圖Fig.1 Block diagram of system

下面將對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解、控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的建模進(jìn)行詳細(xì)介紹。

2 系統(tǒng)建模

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)中有兩個(gè)基本問題，即機(jī)構(gòu)的正解、反解問題。若己知機(jī)構(gòu)主動(dòng)件的位置，求解機(jī)構(gòu)輸出件的位置和姿態(tài)，稱之為機(jī)構(gòu)位置的正解；若已知輸出件的位置和姿態(tài)，求解機(jī)構(gòu)輸入件的位置，稱之為機(jī)構(gòu)位置的反解。由于正解的復(fù)雜性，以及無法獲得準(zhǔn)確解，目前大部分并聯(lián)機(jī)構(gòu)都采用反解的方法來求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

圖2 Stewart機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.2 Dynamitic model of Stewart organization institution

圖2為Stewart機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)簡化模型，固定坐標(biāo)系O?XYZ建立在固定平臺(tái)上，動(dòng)坐標(biāo)系o?xyz建立在動(dòng)平臺(tái)上，跟隨動(dòng)平臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)。建立固定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系兩者幾何矢量關(guān)系：

式中，Bi和bi是第i根支鏈的下固定鉸點(diǎn)和上運(yùn)動(dòng)鉸點(diǎn)。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)逆解是從工作坐標(biāo)反求鉸點(diǎn)坐標(biāo)，并且有唯一解。位置逆解分析是利用坐標(biāo)變換，將obi從動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系中，求Obi。動(dòng)平臺(tái)在固定坐標(biāo)系中有位置和姿態(tài)兩個(gè)參數(shù)，位置是動(dòng)平臺(tái)的中心的位置(x，y，z）。姿態(tài)為動(dòng)平臺(tái)的角姿態(tài)，設(shè)動(dòng)平臺(tái)繞z軸旋轉(zhuǎn)的角為γ，繞y軸旋轉(zhuǎn)的角為β，繞x軸旋轉(zhuǎn)的角為α。

角位移γ、β、α對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣R分別為［3］：

動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)在空間上可以看到分別繞z軸、y軸、x軸旋轉(zhuǎn)得到，則：

令Obi為Pi，obi為Pi′，Bibi為li，OBi為Bi，Oo為X，則［4?5］：

將式(2）代入式(1），得：

式中，li＝［lixliyliz］T。

則支鏈i對(duì)應(yīng)的上下鉸點(diǎn)間的長度為：

利用式(3）和式(4），即可通過輸出件的目標(biāo)位姿，求解出機(jī)構(gòu)的輸入量。

2.2 電動(dòng)推桿建模

六自由度平臺(tái)系統(tǒng)的直流電動(dòng)推桿不同于直流電機(jī)，它是通過輸入的電壓量U(t）轉(zhuǎn)換成距離量X(t），在此過程中電動(dòng)推桿需要將U(t）逐步轉(zhuǎn)化為電流量I(t）、轉(zhuǎn)矩量T(t）、角速度量Ω(t）和最終的距離量X(t）。對(duì)于平臺(tái)位姿的控制實(shí)際需要從控制單個(gè)電動(dòng)推桿開始，因此對(duì)于整個(gè)電動(dòng)推桿的模型搭建和計(jì)算就顯得十分重要。圖3是本文所用的電動(dòng)推桿經(jīng)過拉普拉斯變換后的傳遞函數(shù)圖。

圖3 直流電動(dòng)推桿傳遞函數(shù)圖Fig.3 Transfer function diagram of DC electric push rod

通過圖3可以得出輸入和輸出參數(shù)之間的關(guān)系：

式(5）中，R和L分別代表直流電機(jī)的電樞電阻和電感，km是電子轉(zhuǎn)矩和電樞電流之間的系數(shù)，J和F是拖動(dòng)系統(tǒng)整體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦轉(zhuǎn)矩，kc是電動(dòng)推桿的反電動(dòng)勢系數(shù)。

2.3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的SimMechanics建模

目前，對(duì)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿真大部分使用的是ADAMS，或者是ADAMS同Matlab的聯(lián)合仿真，因涉及不同軟件的接口問題，數(shù)據(jù)交換比較復(fù)雜。本文利用Simulink中的SimMechanics來構(gòu)建物理模型，SimMechanics模塊庫中包含了組成一個(gè)完整機(jī)械系統(tǒng)所需要的基本模塊，利用這些模塊可以方便、準(zhǔn)確地搭建出機(jī)械系統(tǒng)模型［6?7］。

六自由度機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)主要由上、下平臺(tái)和6根桿組成。其中，上平臺(tái)由實(shí)體庫下Body創(chuàng)建，通過參數(shù)設(shè)置對(duì)話框，設(shè)置上平臺(tái)的幾何屬性、質(zhì)量屬性和初始狀態(tài)。幾何屬性包括上平臺(tái)質(zhì)心坐標(biāo)以及同伸縮桿連接點(diǎn)的坐標(biāo)。固定下平臺(tái)直接選用Ground模塊建模，設(shè)定系統(tǒng)環(huán)境，包括質(zhì)量、機(jī)械系統(tǒng)維數(shù)及分析模式等。定義每根桿的驅(qū)動(dòng)力Fi(i＝1，…，6）為機(jī)械系統(tǒng)輸入，桿的位移Pi(i＝1，…，6）作為機(jī)械系統(tǒng)輸出。

六自由度機(jī)構(gòu)伸縮桿由上伸縮桿和下伸縮桿組成，使用實(shí)體庫、約束庫和約束激勵(lì)庫建立模型。在模型中添加伸縮桿同上下平臺(tái)的接口、上伸縮桿和下伸縮桿、上伸縮桿和上平臺(tái)的萬向副約束、上伸縮桿和下伸縮桿間的圓柱副，同時(shí)添加力驅(qū)動(dòng)圓柱副、移動(dòng)傳感器測量伸縮桿的位移、下伸縮桿和下平臺(tái)間添加萬向副約束。最終，建立的模型如圖4所示。

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的SimMechanics模型Fig.4 SimMechanics model of parallel mechanism

3 模糊PID控制器設(shè)計(jì)

通過以上對(duì)模型的分析，可以看出在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中不同位姿反解得到的驅(qū)動(dòng)桿的位移各不相同，如果在運(yùn)動(dòng)過程中使用同一組不變的控制參數(shù)，會(huì)對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)速度及精度造成影響。本文提出在PID的基礎(chǔ)上，引入模糊控制來改善PID控制在運(yùn)動(dòng)過程中不能實(shí)時(shí)調(diào)整參數(shù)對(duì)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)響應(yīng)速度及精度帶來的影響。

3.1 模糊PID控制算法

六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)模糊PID控制器為基于誤差驅(qū)動(dòng)的增益調(diào)整型控制，由PID控制器和模糊控制器兩部分組成。整個(gè)模糊PID控制器的結(jié)構(gòu)框圖如圖5所示。

圖5 模糊PID控制原理圖Fig.5 Schematic diagram of fuzzy PID control

常規(guī)PID控制器的算法：

式中，KP為比例控制系數(shù)，KI為積分控制系數(shù)，KD為微分控制系數(shù)，e(t）為期望輸入r(t）與實(shí)際輸出y(t）之間的差值。

模糊控制器主要由4部分組成：模糊化、知識(shí)庫、模糊推理和清晰化［8?10］。

輸入輸出變量的確定：由于模糊PID控制器主要針對(duì)PID的3個(gè)參考進(jìn)行調(diào)整，能夠?qū)崿F(xiàn)參數(shù)自調(diào)整的效果。同時(shí)對(duì)于該控制器的輸入，選用偏差e和偏差變化率 de/dt作為輸入，輸出為PID 控制的 3 個(gè)參數(shù)：Δkp、Δki、Δkd。參數(shù)kp、ki、kd可由以下公式計(jì)算得出：

式中，kp′、ki′、kd′均為初始值，即為系統(tǒng)所要改進(jìn)的傳統(tǒng)PID的控制系數(shù)。

將輸入輸出變量所對(duì)應(yīng)的模糊子集以及模糊論域定義為：｛E｝＝｛EC｝＝｛－0.3，－0.2，－0.1，0，0.1，0.2，0.3｝；｛Δkp｝＝｛－30000，－20000，－10000，0，10000，20000，30000｝；｛Δki｝＝｛－300，－200，－100，0，100，200，300｝；｛Δkd｝＝｛－750，－500，－250，0，250，500，750｝。

其中，｛E｝、｛EC｝、｛Δkp｝、｛Δki｝和｛Δkd｝的模糊子集都定義為：｛NB(負(fù)大），NM(負(fù)中），NS(負(fù)?。?，ZO(零），PS(正?。?，PM(正中），PB(正大）｝。

模糊規(guī)則的確定：根據(jù)上文對(duì)PID3個(gè)參數(shù)控制作用的分析，結(jié)合專家?guī)熘蠵ID控制規(guī)則，得出關(guān)于Δkp、Δki、Δkd3個(gè)參數(shù)的控制規(guī)則表。如表1所示，文中只給出了Δkp的控制規(guī)則，Δki和Δkd的控制規(guī)則類似。

表1 ΔKp模糊規(guī)則表Table 1 Rule sheet ofΔKpfuzzy

3.2 模糊PID控制器設(shè)計(jì)

模糊PID是在普通PID基礎(chǔ)上，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)控制參數(shù)的實(shí)時(shí)修正，需要先搭建一個(gè)PID控制模型，如圖6所示。系統(tǒng)輸入兩個(gè)6×1矩陣，pos和r＿pos分別代表傳感器觀測的6根桿實(shí)時(shí)位移和經(jīng)過運(yùn)動(dòng)學(xué)反解得出的6根桿的目標(biāo)位移，計(jì)算偏差量輸入到PID控制器得到一個(gè)6×1矩陣Force，即施加在6根桿上的力。其中，kp＝80000、ki＝500、kd＝1800。

由于在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程中給定目標(biāo)姿態(tài)，經(jīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解得出的各桿目標(biāo)位移各不相同，所以本文針對(duì)6根桿分別設(shè)計(jì)控制器。6個(gè)模糊PID控制器可以根據(jù)桿的目標(biāo)位移與實(shí)際位移的偏差量及偏差量變化率實(shí)時(shí)更新控制參數(shù)，達(dá)到更好的控制效果。下面以其中1根桿為例設(shè)計(jì)模糊PID控制器。

在PID控制器基礎(chǔ)上引入模糊控制，如圖7所示。選擇與傳統(tǒng)PID的控制參數(shù)作為模糊PID控制的初始控制參數(shù)，添加Fuzzy Logic Controller模塊，分別設(shè)置輸入輸出的論域及模糊規(guī)則，選擇Max?Min的推理算法和面積中心法的清晰化方法。其中，模糊控制器的輸入量為目標(biāo)桿位移和實(shí)際桿位移的偏差量，即桿的伸縮量；以及伸縮量的變化率，輸出為Δkp、Δki、Δkd，分別和初始控參數(shù)kp、ki、kd作和，得到新的控制參數(shù)。

圖6 PID控制框圖Fig.6 The PID control frame

圖7 模糊PID控制框圖Fig.7 Control frame of fuzzy PID

4 控制系統(tǒng)仿真分析

采用 Matlab/Simulink軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真平臺(tái)的搭建與各模塊的連接如圖8所示。Leg Trajectory為運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模塊，Controller為控制器模塊，Plant為機(jī)構(gòu)的機(jī)械系統(tǒng)模塊。

圖8 仿真總體框圖Fig.8 Overall model of simulation

在3個(gè)進(jìn)動(dòng)方向和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向分別輸入幅值為0.1m和1°、頻率為1Hz的正弦信號(hào)，針對(duì)同一組控制參數(shù)分別對(duì)傳統(tǒng)PID和模糊PID進(jìn)行仿真，得到曲線如圖9所示。

根據(jù)仿真結(jié)果分析，得到的傳統(tǒng)PID仿真及模糊PID的仿真的幅值、誤差平均值及誤差方差如表2所示。從圖9和表2中可以看到，加入模糊算法的PID控制相對(duì)傳統(tǒng)PID控制在響應(yīng)速度及精度上都有所改善。

圖9 正弦輸入輸出對(duì)比Fig.9 The comparison of sine response

表2 設(shè)定信號(hào)為1Hz的仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 2 Results of simulation and experiment about input signals with frequency of 1Hz

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

利用實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，將模糊PID算法移植到控制板上。由于在各自由度的運(yùn)動(dòng)中得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果類似，這里以繞Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)為例，輸入控制指令使并聯(lián)機(jī)構(gòu)繞Y軸跟蹤幅值為1°、頻率為1Hz的正弦曲線轉(zhuǎn)動(dòng)。利用姿態(tài)板采集上平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度信息，傳統(tǒng)PID與模糊PID控制的輸出曲線如圖10所示?？梢钥闯觯：齈ID控制的響應(yīng)速度及精度優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制的響應(yīng)速度及精度。

圖10 正弦輸入輸出對(duì)比Fig.10 The comparison of sine response

傳統(tǒng)PID與模糊PID控制的輸出曲線與輸入曲線作差取絕對(duì)值得出誤差曲線，如圖11所示。模糊PID控制誤差均值為0.0597，方差為0.0021。傳統(tǒng)PID控制誤差均值為0.1348，方差為0.0056。從分析結(jié)果可知，在不同位姿情況下模糊PID控制的控制效果相對(duì)于傳統(tǒng)PID控制的控制效果有所改善。

圖11 正弦跟蹤誤差對(duì)比Fig.11 The comparison of sine response error

6 結(jié)論

針對(duì)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)難以實(shí)現(xiàn)高精度及快速響應(yīng)的問題，本文針對(duì)六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)特性在傳統(tǒng)PID的基礎(chǔ)上引入模糊算法，使系統(tǒng)在控制過程中可以實(shí)時(shí)調(diào)整控制參數(shù)，建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿真模型，然后對(duì)所建立的并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型進(jìn)行研究及仿真分析，并在實(shí)際的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，加入模糊控制的PID改進(jìn)了傳統(tǒng)PID控制在六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中響應(yīng)速度和精度的不足。

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Research on the Controller of a 6?DOF Parallel Platform Based on the Fuzzy PID Strategy

YANG Jing?yi,HUANG Shan?yun,DING Zhu?shun,JING Long?bin
(Beijing Institute of Aerospace Control Devices,Beijing 100039）

U666.1

A

1674?5558(2017）01?01362

10.3969/j.issn.1674?5558.2017.05.006

2017?01?06

楊靖一，男，碩士，導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制專業(yè)，研究方向?yàn)榭刂啤?/p>