李相林
摘 要:創(chuàng)新能力是一個(gè)國(guó)家的核心競(jìng)爭(zhēng)力,兒童的基本能力與創(chuàng)新能力的中間地帶,存在著一條少有察覺(jué)卻不可或缺的隱形通道,就是辨析力。在比較中明晰實(shí)質(zhì),在辨別中溝通聯(lián)系,在分析中融合創(chuàng)新。本文力圖從“動(dòng)”與“變”的縱橫聚散中,探尋如何生長(zhǎng)兒童的辨析力。
關(guān)鍵詞:辨析力;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)思想
中國(guó)教育已經(jīng)進(jìn)入核心素養(yǎng)時(shí)代,核心素養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂上,需要找到“人(學(xué)生)”,發(fā)展“人(學(xué)力)”。“辨析力”是強(qiáng)調(diào)辨別、分析、批判關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)能力。布盧姆在《學(xué)習(xí)、教學(xué)和評(píng)估的分類學(xué)》中將認(rèn)知過(guò)程分為六種維度:記憶、理解、運(yùn)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造。辨析能力其實(shí)是關(guān)于理解和分析兩個(gè)高層次認(rèn)知過(guò)程中比較、區(qū)分、組織和歸屬等綜合能力的表現(xiàn)。它是一種能動(dòng)的“思考型”學(xué)力,也是對(duì)學(xué)生終身發(fā)展有益的“DNA”。
筆者嘗試從“動(dòng)”與“變”的演繹中,在教學(xué)中基于知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)和思想的四個(gè)層面生長(zhǎng)學(xué)生的辨析力。
一、動(dòng)態(tài)生成中演變:基于知識(shí)的形成發(fā)展辨析力
數(shù)學(xué)知識(shí)形成的核心是理解,而理解是一種心理結(jié)構(gòu)的構(gòu)造過(guò)程。因此知識(shí)就是理解狀態(tài)的某種心理表征,而這個(gè)結(jié)果又影響下一次知識(shí)的形成,構(gòu)成一個(gè)所謂的理解循環(huán)。
小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)的形成,一般是具有實(shí)際背景的材料經(jīng)歷表象表征,進(jìn)而抽象化的過(guò)程。這一過(guò)程不是獨(dú)立、單一、隔離的,可以從一個(gè)更廣泛的層面在動(dòng)態(tài)生成中演示變化,辨別知識(shí)的本質(zhì),分析知識(shí)的聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的辨析能力。
例如課堂教學(xué)片段:蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)(下)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”。教師直接出示如圖1所示的數(shù)軸,要求學(xué)生填數(shù)。
教師提問(wèn):第一個(gè)點(diǎn)為什么可以用0.1表示?
生1:超過(guò)10。
生2:超過(guò)0。
生3:是1厘米的。
生4:是1的。
教師未做置評(píng),再次示范講解。
一個(gè)小小的課堂教學(xué)片段折射出思維培養(yǎng)的大問(wèn)題,四名學(xué)生不同回答的背后蘊(yùn)含著四種不同層次的理解,此處不做深究。蘇教版數(shù)學(xué)教材,在各學(xué)段均大量出現(xiàn)數(shù)軸。每一次數(shù)軸的出現(xiàn)既幫助學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)新數(shù)的形成,又是一次數(shù)體系的自我完善和發(fā)展的過(guò)程??梢曰跀?shù)軸知識(shí)的形成,在動(dòng)態(tài)生成中演變,在知識(shí)的關(guān)聯(lián)和擴(kuò)張中發(fā)展學(xué)生的辨析能力。
數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的一種特定幾何圖形。由生活中的彈簧秤、溫度計(jì)到具有表象特征的數(shù)字小火車、珠子圖、殘缺的直尺圖,再到抽象的數(shù)軸,對(duì)數(shù)軸的要素學(xué)生已經(jīng)隱隱有所覺(jué)察。教學(xué)中,在各個(gè)時(shí)段可以在數(shù)軸上進(jìn)行數(shù)知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成,不斷變化完善數(shù)知識(shí)體系。學(xué)生在數(shù)軸上建立基本的基數(shù)和序數(shù)概念后,將數(shù)軸沿正方向無(wú)限延長(zhǎng),在單位長(zhǎng)度上產(chǎn)生更多、更大的自然數(shù),在動(dòng)態(tài)延伸中認(rèn)識(shí)到自然數(shù)的無(wú)窮;認(rèn)識(shí)自然數(shù)后,將數(shù)軸上單位長(zhǎng)度動(dòng)態(tài)十等分,產(chǎn)生十進(jìn)制分?jǐn)?shù),借助十進(jìn)制分?jǐn)?shù)建立小數(shù)的概念,十分之幾是一位小數(shù),百分之幾是兩位小數(shù)……認(rèn)識(shí)小數(shù)后,將數(shù)軸上單位長(zhǎng)度動(dòng)態(tài)縮放n等分,生成分?jǐn)?shù);認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)后,將數(shù)軸從原點(diǎn)向反方向延伸,生成與正數(shù)一一對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)。從自然數(shù)到小數(shù),從整數(shù)到分?jǐn)?shù),從正數(shù)到負(fù)數(shù),數(shù)的知識(shí)體系在數(shù)軸的縮放伸展之間一次一次地?cái)U(kuò)張、完善。在這一動(dòng)態(tài)生成演變的過(guò)程中,學(xué)生在一個(gè)更廣泛的體系中認(rèn)識(shí)新數(shù),理解整數(shù)包含正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0,自然數(shù)是0與正整數(shù)的集合,小數(shù)其實(shí)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù),百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù),更深刻地把握到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以說(shuō)明小數(shù)的性質(zhì),整數(shù)數(shù)位順序表與小數(shù)數(shù)位順序表是相融相通的……在辨別、比較、區(qū)分中明晰各知識(shí)區(qū)別于相關(guān)知識(shí)的本質(zhì)特征,厘清了它們的內(nèi)在聯(lián)系,把握它們性質(zhì)方面的互通互聯(lián),逐步發(fā)展主動(dòng)辨析的能力。
很多原理類數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),也可以采用動(dòng)態(tài)生成演變的方法,發(fā)展辨析能力。可以將長(zhǎng)度單位、面積單位、體積(容積)單位、質(zhì)量單位和時(shí)間單位等從更廣泛的層面,在動(dòng)態(tài)變化生成的過(guò)程中聯(lián)系、辨析、互通起來(lái),對(duì)相關(guān)的周長(zhǎng)、面積和體積等知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生聯(lián)系、融通的作用,從而將辨析能力遷移運(yùn)用到新的情境中,生成新方法,解決新問(wèn)題。
二、逆向聯(lián)動(dòng)中裂變:基于技能的運(yùn)用催化辨析力
數(shù)學(xué)技能是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,通過(guò)訓(xùn)練得以順利完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種行動(dòng)方式或心智行動(dòng)方式,可以分為操作技能和心智技能。為了達(dá)成技能的熟練化、自動(dòng)化,日常教學(xué)常陷入枯燥單一、機(jī)械重復(fù)的低層次訓(xùn)練泥潭中。當(dāng)前,國(guó)際上對(duì)于高層次數(shù)學(xué)思維技能的研究相當(dāng)活躍,具有深刻、靈活、批判、敏捷等技能特征的高層次技能極具創(chuàng)新性。
小學(xué)生的數(shù)學(xué)技能雖然處于基礎(chǔ)階段,也應(yīng)著眼于未來(lái)向高層次思維技能發(fā)展??梢詮母l(fā)散的層面,在練習(xí)中逆向設(shè)計(jì)、裂變衍生,基于技能的運(yùn)用催化辨析能力。
例如,為了促進(jìn)學(xué)生小數(shù)簡(jiǎn)算技能深刻性、靈活性的遷移蛻變,辨析技能運(yùn)用背后的性質(zhì)、規(guī)律等,筆者逆向聯(lián)動(dòng),設(shè)計(jì)了“五變”練習(xí)。
一變:將基本練習(xí)中的“5.47+1.9+0.53”變?yōu)椤?.47+1.9 ”,要求學(xué)生補(bǔ)充成一道小數(shù)簡(jiǎn)算習(xí)題。二變:變“5.47+1.9 ”為“5.47-1.9 ”。三變:變“5.47-1.9+0.53-3.1”為“ ×
+ × ”。四變:變“ × + × ”為“ × + ”。五變:變“ × + ”為“ ×
”。最后,教師要求學(xué)生組內(nèi)互選習(xí)題寫出關(guān)鍵步驟并說(shuō)出根據(jù)。
一變基本題為半命題,轉(zhuǎn)換了角色,運(yùn)用加法運(yùn)算律編題還算簡(jiǎn)單;二變加號(hào)為減號(hào),加法運(yùn)算律和減法的性質(zhì)在加減的對(duì)比中交融;三變變出乘法分配律的經(jīng)典模型,對(duì)于后進(jìn)生有了挑戰(zhàn);四變變出乘法分配律的省略形式,對(duì)運(yùn)算律的理解有了更高要求;五變由繁至簡(jiǎn),形簡(jiǎn)意難,涉及拆數(shù)及乘法分配律反運(yùn)用。五次變化,逆向而行,由淺入深,由此及彼,關(guān)聯(lián)辨析。技能運(yùn)用的難度在習(xí)題的精心設(shè)計(jì)下不斷展現(xiàn),學(xué)生的思維技能在每次變化中不斷釋放,每道題都飽含著學(xué)生自己的思考體驗(yàn),還受到同伴的啟發(fā),在辨析中獨(dú)創(chuàng),課堂上百花齊放、精彩紛呈。
變換角度,逆向而行,裂變衍生,關(guān)聯(lián)變化,引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生靈活地運(yùn)用技能以實(shí)現(xiàn)技能的有效遷移。以辨析的觀點(diǎn),從與眾不同的“新”角度辨別問(wèn)題,分析問(wèn)題背后隱藏的本質(zhì)聯(lián)系,產(chǎn)生不同的解題方法和結(jié)果,不受常規(guī)束縛,富于聯(lián)想,產(chǎn)生有別于常規(guī)正統(tǒng)的創(chuàng)造性思維。
三、真實(shí)活動(dòng)中深變:基于經(jīng)驗(yàn)的積累生成辨析力
小學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)后留下的直接感受、體驗(yàn)和感悟,是知識(shí)性成分、體驗(yàn)性成分與觀念性成分的“組合體”,是數(shù)學(xué)活動(dòng)的產(chǎn)物。沒(méi)有真實(shí)的活動(dòng)便沒(méi)有真正的經(jīng)驗(yàn),沒(méi)有深刻的活動(dòng)便很難有高層次多維辨析的經(jīng)驗(yàn)。因此,設(shè)計(jì)和組織好的數(shù)學(xué)活動(dòng)成為經(jīng)驗(yàn)積累的關(guān)鍵。教學(xué)中,可以從更深刻的層面,設(shè)計(jì)組織數(shù)學(xué)活動(dòng),在真實(shí)深入的活動(dòng)中展開(kāi)變化,將“做”數(shù)學(xué)的過(guò)程與“思考”的過(guò)程統(tǒng)一起來(lái),讓學(xué)生主動(dòng)深刻地從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”,在行為操作的經(jīng)驗(yàn)和思維操作的經(jīng)驗(yàn)中關(guān)聯(lián)比較,基于經(jīng)驗(yàn)的積累,生成辨析能力。
例如,蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)(下)“圖形的運(yùn)動(dòng)復(fù)習(xí)”中有一道思考題:如圖2,兩個(gè)同樣大的正方形,其中一個(gè)正方形的頂點(diǎn)固定在另一個(gè)正方形的中心點(diǎn)上。旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)正方形,重疊部分的面積變了沒(méi)有?
為了積累豐富多維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),將操作經(jīng)驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)比較,筆者精心設(shè)計(jì)了真實(shí)深入的數(shù)學(xué)活動(dòng):為學(xué)生提供同樣大小的紅、藍(lán)兩種透明正方形塑片及小圖釘,要求學(xué)生獨(dú)立有序地進(jìn)行操作,并在實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中觀察、記錄、猜想、推理、驗(yàn)證。
學(xué)生按照要求獨(dú)立進(jìn)行了真實(shí)有序地操作,在親身經(jīng)歷中,清晰地觀察到重疊部分形狀在變化,通過(guò)重疊部分增減的運(yùn)動(dòng)軌跡猜測(cè)面積沒(méi)有變。
在分析驗(yàn)證階段,學(xué)生通過(guò)分割、平移、旋轉(zhuǎn)、組合等給出了多種證明方法,如圖3。
最后,學(xué)生關(guān)聯(lián)辨析多種途徑,提出終極方法“旋轉(zhuǎn)十字架”:這個(gè)問(wèn)題本質(zhì)上可以看成相交于正方形中心且相互垂直的兩條直線,無(wú)論繞中心怎樣旋轉(zhuǎn),都將正方形四等分(如圖4)。
數(shù)學(xué)活動(dòng)中,學(xué)生做與不做是有區(qū)別的,真實(shí)深入地做與泛泛地做獲得的經(jīng)驗(yàn)層次也是不同的。對(duì)比讓學(xué)生直接畫圖解題、用白紙泛泛操作或用課件演示,教師匠心獨(dú)運(yùn)地提供利于操作、觀察的材料,對(duì)活動(dòng)過(guò)程的指揮和干涉卻很少,這樣可以盡最大可能讓學(xué)生自主經(jīng)歷探究過(guò)程,去感受與體驗(yàn)。這一過(guò)程中,學(xué)生深刻地經(jīng)歷,外部的感官操作和內(nèi)隱的心智操作相輔相成,在辨別區(qū)分、分類歸屬中獲得豐富、獨(dú)特、動(dòng)態(tài)且富有創(chuàng)新價(jià)值的經(jīng)驗(yàn),在“變與不變”的演繹中提升了經(jīng)驗(yàn)層次,生成操作經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)相融合的辨析能力。
四、心動(dòng)想象中聚變:基于思想的感悟生長(zhǎng)辨析力
數(shù)學(xué)思想方法是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)性認(rèn)識(shí),是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)思想的生成,有利于學(xué)生下位知識(shí)的理解和學(xué)習(xí),有助于認(rèn)清形式背后的本質(zhì)內(nèi)涵,促進(jìn)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。真正具有思想深度的教學(xué),會(huì)將數(shù)學(xué)的烙印深深地印在學(xué)生的內(nèi)心深處,最終成為一種精神、一種信仰、一種觀念。
小學(xué)階段蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法主要有:抽象、分類、歸納、轉(zhuǎn)化、模型、數(shù)形結(jié)合、方程、對(duì)應(yīng)等。教學(xué)中,可以從更集中的層面聚焦方法的變化,關(guān)聯(lián)、融通對(duì)應(yīng)方法的精神實(shí)質(zhì),基于思想的感悟生長(zhǎng)辨析能力。
案例:一道錯(cuò)解生長(zhǎng)的辨析力。
棱長(zhǎng)3 cm的正方體擺成圖如5的圖形,求表面積和體積。
學(xué)生求體積的錯(cuò)誤解法:9×6×3+3×3×3。
筆者敏銳地捕捉到這個(gè)契機(jī):可不可以將錯(cuò)就錯(cuò),引發(fā)學(xué)生思考,辨析感悟背后的數(shù)學(xué)思想呢?源于學(xué)生自身的教學(xué)資源更具親切感和探究性,學(xué)生對(duì)于這種解法的判斷是一致否定。“你能讀懂這種解法嗎?”教師的質(zhì)疑引導(dǎo)學(xué)生再次審視這種解法。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)其實(shí)這位同學(xué)想把這個(gè)立體圖形分成9×6×3的大長(zhǎng)方體和4個(gè)小正方體。在這種方法的啟發(fā)下,學(xué)生展開(kāi)心理想象操作,提出多種解法并做出相應(yīng)解釋:①33×10,用一份數(shù)乘份數(shù),在整體由多個(gè)相同量組成時(shí)很簡(jiǎn)潔;②9×6×3+33×4,分割成一個(gè)規(guī)則形體和4個(gè)小正方體,需要一定的想象力;③9×9×3+33,轉(zhuǎn)化成一個(gè)規(guī)則形體和1個(gè)小正方體,需要具備轉(zhuǎn)化的意識(shí);④15×6×3,比解法③更進(jìn)一步,直接將10個(gè)小正方體轉(zhuǎn)化為一個(gè)大長(zhǎng)方體……聚焦反思解法的變化,關(guān)聯(lián)辨析多種方法,學(xué)生發(fā)現(xiàn)用轉(zhuǎn)化的思想方法來(lái)統(tǒng)攝思考,解法上更靈活多變,無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化,體積是不變的。
“那求表面積是否也可以將形體進(jìn)行轉(zhuǎn)化?”教師將問(wèn)題遷移到新的情境?!安荒?!”學(xué)生的第一反應(yīng)是不能移動(dòng)小正方體,因?yàn)橐灰苿?dòng)就會(huì)多出或少掉一些面,表面積就變了。嘴上這樣說(shuō),不少同學(xué)心里已經(jīng)展開(kāi)想象操作,希冀有新的發(fā)現(xiàn)。最后,學(xué)生將表面積與三視圖聯(lián)系起來(lái),只要保證移動(dòng)過(guò)程中三視圖的對(duì)應(yīng),圖形的表面積是不變的,再次深化了對(duì)應(yīng)思想。
在心動(dòng)想象過(guò)程中,聚焦解法的變化,關(guān)聯(lián)辨析多種方法,學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化、對(duì)應(yīng)及從整體考慮的數(shù)學(xué)思想方法有了更深刻的感悟,基于思想的感悟進(jìn)一步生長(zhǎng)了辨析能力,提升了創(chuàng)新力。這種辨析的力量在后面的學(xué)習(xí)中得到印證,學(xué)生在解決課本上用6個(gè)相同正方體擺出規(guī)定三視圖中的兩個(gè)面時(shí),竟直接通過(guò)心動(dòng)想象快速給出二十幾種擺法,聚焦學(xué)生一系列的動(dòng)作變化路徑,映射出他們基于整體考慮思想統(tǒng)攝下的一種關(guān)聯(lián)與辨析。
總之,在教學(xué)實(shí)踐中摸爬滾打,于理論學(xué)習(xí)中上下求索?!霸谛畔⒌氖澜缋铮覀兊闹R(shí)在哪里;在知識(shí)的世界里,我們的智慧在哪里?”英國(guó)詩(shī)人艾略特的沉吟久久回蕩在耳際。在高速發(fā)展、信息爆炸的時(shí)代,生長(zhǎng)兒童辨析力也許可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育向智慧彼岸的擺渡。