陳西西

【摘 要】小學(xué)階段的運算定律的學(xué)習(xí)中，乘法分配律無疑是重點，也是最難理解和掌握的一部分。文章從現(xiàn)狀調(diào)查以及分析學(xué)生的學(xué)習(xí)困難入手，研究提高乘法分配律的有效策略，從系統(tǒng)把握教材、巧用生活情境、利用數(shù)形結(jié)合、進行練習(xí)的變式等幾個方面，使學(xué)生真正理解乘法分配律的內(nèi)涵，掌握好數(shù)學(xué)模型，從而有效提高學(xué)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；乘法分配律；教學(xué)策略

一、小學(xué)數(shù)學(xué)中乘法分配律的教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查

（一）依葫蘆畫瓢，方法選擇的負遷移

在去年學(xué)校組織的團隊賽課中，在執(zhí)教《除法有分配律嗎》時，為了進一步研究，我們有針對性地在中高年級學(xué)生中進行了前測問卷調(diào)查。

每個班大約有40%的孩子出現(xiàn)“（a+b）÷c=a÷c+b÷c”這一類的錯誤，其中重要的原因在于受乘法分配律運算的負遷移的影響。從四年級開始學(xué)習(xí)乘法分配律后，無論在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，還是四則混合運算的學(xué)習(xí)中，這一運算定律不斷出現(xiàn)并被廣泛應(yīng)用。學(xué)生剛開始接觸乘法分配律時，教材教學(xué)只出現(xiàn)“（a+b）×c=ac+bc”或“c×（a+b）=ac+bc”。在整數(shù)范圍內(nèi)的應(yīng)用，此時學(xué)生已用得得心應(yīng)手，不會出現(xiàn)錯誤，并在頭腦中形成思維定式。當(dāng)乘法分配律“推廣”到整數(shù)除法中“兩個數(shù)的和除以一個數(shù)，可以用這兩個數(shù)分別除以這個數(shù)，再把兩個商相加，結(jié)果不變”時，學(xué)生借助乘法分配律的慣性思維自然而然地遷移出“（a+b）÷c=a÷c+b÷c”。

調(diào)查結(jié)論：學(xué)生在運算定律的選擇與應(yīng)用方面隨意性比較大，模仿痕跡比較明顯，只停留在形式模仿層面，即知其然，而不知其所以然。

（二）不求甚解，意義理解的不充分

筆者在教乘法分配律新授課后，從當(dāng)堂練習(xí)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生能較好地運用定律，然而在第二天的練習(xí)課上，學(xué)生出現(xiàn)了這樣一些錯誤：78×99+1=78×（99+1），25×32×125=25×4+125×8。學(xué)生對著模型能很好地理解，但遇到變式的題目，就不能較好地運用了。一方面，是由于學(xué)生長時間受簡算意識的影響而產(chǎn)生的一種條件反射。他們看到特殊的數(shù)字組合，如能湊整十、整百的，總想著把他們湊合在一起，造成了思維定勢。另一方面，相信很多老師都有體會，今天學(xué)什么新知識，今天所有的題目學(xué)生做題時都會采用這一方法照樣畫葫蘆。

調(diào)查結(jié)論：學(xué)生不能靈活的選用合適的運算定律進行簡便運算。說明學(xué)生對于乘法分配律的意義和形式建構(gòu)理解不充分。

二、學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律時產(chǎn)生困難的原因分析

運算定律是對數(shù)的運算過程中的基本規(guī)律的歸納和總結(jié)，是運算本身固有的性質(zhì)，是進行運算的依據(jù)。運算定律是小學(xué)階段唯一以定律方式呈現(xiàn)的內(nèi)容。因此，在平時的教學(xué)中如何正確地引導(dǎo)學(xué)生認識、理解運算定律的內(nèi)涵，有必要去明確其意義與作用。但學(xué)生在學(xué)習(xí)小學(xué)階段的運算定律時，為什么會在學(xué)習(xí)乘法分配率時會舉步維艱呢？主要是難在以下幾個方面。

（一）難以用準(zhǔn)確的語言將定律描述出來

學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法結(jié)合律時，經(jīng)過大量的實例論證后，學(xué)生很快就可以用字母歸納“a×b×c=a×（b×c）”，并且很容易根據(jù)字母的順序去敘述乘法結(jié)合律。學(xué)生在學(xué)完乘法分配律后，依舊可以很順利的用字母歸納“（a+b）×c=ac+bc”。但是課堂上，我們會發(fā)現(xiàn)，即使是學(xué)習(xí)成績較優(yōu)秀的學(xué)生，也不能很準(zhǔn)確地把定律用語言描述出來。個別學(xué)生在其他同學(xué)復(fù)述了好幾次的情況下，還是不能用語言進行準(zhǔn)確的描述。課后分析原因，可能在于對乘法分配律的描述中，出現(xiàn)了平時不大出現(xiàn)的數(shù)學(xué)語言，如兩個數(shù)的和、分別乘一個數(shù)等，學(xué)生說起來比較拗口。

語言是一個人思想的外在表現(xiàn)形式，當(dāng)學(xué)生難以用語言去描述乘法分配率，是因為他們還沒真正理解乘法分配率的本質(zhì)。所以，在課堂上，教師除了觀察學(xué)生書寫的正確率，數(shù)學(xué)表達能力也是極其重要的一個能力。

（二）乘法分配率符號復(fù)雜多樣

乘法分配律與其他定律相比，符號多樣化。已經(jīng)學(xué)習(xí)過的乘法交換律和乘法結(jié)合律——a×b=b×a、a×b×c=a×（b×c），左右兩邊都只有一個乘法運算符號，但乘法分配律“（a+b）×c=ac+bc”出現(xiàn)兩種運算符號，左邊出現(xiàn)一次加法和乘法，而右邊出現(xiàn)一次乘法，再出現(xiàn)一次加法，最后又出現(xiàn)一次乘法，學(xué)生單憑自己的記憶力很難記住。如“（25+9）×4”，學(xué)生很容易就寫出“25×4+9”。

（三）乘法分配率模式不固定，難以運用

對于學(xué)生來講，乘法分配律最難的還在于運用。乘法交換律和結(jié)合律只是單一固定的模式，如：25×4=4×25，234×125×8=234×（125×8），25×32×125=（25×4）×（125×8）。然而在學(xué)生眼中，乘法分配律就像一個百變金剛。如“657×99+657=657×（99+1）、69×102=69×（100+2）、42×98=42×（100-2）、51×20-51×12+（20-8）×51=51×（20-12+12）、9999×8+1111×28=1111×（72+28）”等看似跟乘法分配律無關(guān)的題目，但最終都能化為乘法分配律的基本模型進行簡便運算。

三、解決學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配率中存在問題的策略

（一）系統(tǒng)把握教材，初步感知模型

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性、邏輯性都很強的學(xué)科。它是一個系統(tǒng)的整體。教師應(yīng)樹立正確的教材觀，把握數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立一個融會貫通的知識體系?！抖Y記·中庸》中說道：“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢?！弊鋈魏问虑槎家扔袦?zhǔn)備，才能成功，不然就會失敗。其實，在二年級學(xué)習(xí)乘法口訣時就已經(jīng)滲透了乘法分配律的思想。如記住“5×7”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生記4個7加1個7，還有“7×4-7”、“8×6-8”等練習(xí)都為今后學(xué)習(xí)乘法分配率做了鋪墊。又如在教學(xué)《兩位數(shù)乘一位數(shù)》“3×12”時，呈現(xiàn)口算方法的多樣化，有部分學(xué)生把12拆分成10和2，口算“3×10=30、2×3=6、30+6=36”，乘法分配率的思想就蘊含在里面了。再如在教學(xué)《長方形正方形周長》時，兩種計算周長的思想和方法也蘊含了乘法分配律的意義。

小學(xué)的數(shù)學(xué)知識就像一張網(wǎng)一樣，前后連接，左右連接。在四年級正式學(xué)習(xí)乘法分配率之前，教材中以上知識點就已經(jīng)滲透了乘法分配率的思想，教師要研讀教材，把握知識與乘法分配率之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生初步感知乘法分配律的模型。這樣，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)乘法分配率時，才能由淺入深，由易到難，循序漸進地掌握知識點，將知識點理解得更深刻。

（二）巧用生活情境，深入理解模型

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)各種情境，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動的機會，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，以及學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望。”人教版四年級下冊的教材以植樹的題材引入，提出問題：一共有多少名同學(xué)參加這次植樹活動？但筆者認為，生活在城市里的學(xué)生對于植樹這項活動會比較陌生，因此不妨讓學(xué)生回歸到真正的生活中去。例如：

師：老師去商店買水筆3元一支，鋼筆25元一件，各買44支共多少元？請你試試。

生：3×44+25×44。

生：（3+25）×44。

師：兩個算式怎么樣？用什么符號連接？

……

師：誰能寫出這樣規(guī)律的算式嗎？

生：（6+12）×5=6×5+12×5。

生：（25+8）×4=25×4+8×4。

……

（生探究、驗證發(fā)現(xiàn)結(jié)論）

這樣為了引入而引入，并不能充分發(fā)揮引入的引領(lǐng)功能。為了更加接近生活，讓學(xué)生有充分的感性認識，積累和儲備表象，教師可提供主題圖，使學(xué)生以后運用乘法分配律進行思考時，頭腦中仍可出現(xiàn)主題圖中的“分”與“配”。在第二個環(huán)節(jié)，誰能寫出這樣規(guī)律的算式時，學(xué)生如果單純寫算式的話，只能單從形式上了解這個基本模型，更重要的是探究“內(nèi)理”引導(dǎo)孩子將水筆變?yōu)?元，鋼筆變?yōu)?2元，算出各買5支的總價，從而得出水筆a元，鋼筆b元，各買c支時的價錢。從主題圖當(dāng)中得出，不論怎么算，都是求a個c的和加b個c的和。還可以引申為3個數(shù)的分配，水筆、鋼筆、鉛筆等加以拓展。再要求學(xué)生說說每步各表示什么意思。具體可以這樣引入：

師：誰能寫出這樣規(guī)律的算式嗎？

生：（6+12）×5=6×5+12×5，水筆變?yōu)?元，鋼筆變?yōu)?2元，買5支的總價。

生：（25+8）×4=25×4+8×4，水筆變?yōu)?元，鋼筆變?yōu)?5元，買4支的總價。

……

師：那如果水筆變?yōu)閍元，鋼筆變?yōu)閎元，求買c支的總價？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

（回歸到主題圖）

師：那如果再買4支一元的鉛筆呢，又該怎么求總價？

（三）利用數(shù)形結(jié)合，建構(gòu)完善模型

數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)階段一個重要的思想方法，把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來，以形助數(shù)，達到事半功倍的效果。在乘法分配律中，如果只讓學(xué)生單純地去計算，學(xué)生對定律的理解只能停留在記憶與模仿的層面，時間久了學(xué)生就會出現(xiàn)遺忘，以及知識間的混淆，如混淆“（a+b）×c”和“a×b×c”，所以學(xué)生到了六年級乘法分配律的錯誤率還是很高。在教學(xué)中，能把直觀的形和抽象的數(shù)結(jié)合起來，從形中提煉出直觀的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生真正理解運算定律的內(nèi)涵。

【教學(xué)片斷】

師：我們還可以借助長方形來解釋。這是一塊長方形花園（如圖），你能列算式計算花園的周長嗎？

生1：7×2+4×2=22厘米。

生2：（7+4）×2=22厘米。

師：你能指指算式中每一步是表示圖上的哪一部分？（學(xué)生在說的時候動畫演示）

……

師：現(xiàn)在你還能說說這塊花園的周長嗎？

生3：長×2+寬。

生4：老師不對不對，長×2+寬的話，就變成兩條長和一條寬了，就不能組成一個長方形了。

師：這里的長和寬還可以用什么代替呢？

生5：用a和b代替。

師：a和b可以是幾？

（生舉例）

師：（a+b）×2，如果兩個數(shù)的和變成乘3，兩個式子還相等嗎？

師：如果變乘4、5……，兩個式子還相等嗎？

通過作圖，學(xué)生能直觀的理解每一步所代表的意義。直觀模型的具體化有一定的局限性，所以需要我們慢慢地向符號模型轉(zhuǎn)變，使學(xué)生真正把握了模型的內(nèi)涵。

（四）進行練習(xí)的變式，內(nèi)化提升模型

變式練習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、創(chuàng)新能力和發(fā)散思維。變式練習(xí)大致分為以下幾類。

1. 對比練習(xí)

如乘法分配律和乘法結(jié)合律“8×4×25”與“（8+4）×25”。學(xué)生對知識點產(chǎn)生了負遷移。針對以上情況，教師要加強對比練習(xí)，提供對比組，如：8×4×25與（8+4）×25，7×8×125與8×（125+7），125×64與125×（8+8）。引導(dǎo)學(xué)生分析每組算式的區(qū)別，以及每步的算理，有效擊破各個難點，幫助同學(xué)理清思路。通過對比練習(xí)，學(xué)生明白只有幾個幾加幾個幾，才能用乘法分配率計算。

2. 逆向練習(xí)

25×4+25×36

128×8+125×72=（8+ ）×（ ）

3. 拓展練習(xí)

15×8+35×8+50×8

（259-59）×9

31×99

79×25+22×25-25

35×28+70

通過以上由易到難、循序漸進，有層次性，讓后進生“吃得飽”，又讓優(yōu)生“吃得好”的變式訓(xùn)練，促進了學(xué)生思維向多層次發(fā)散，更好地溝通了與乘法分配律的聯(lián)系。解題思路中方法與規(guī)律的練習(xí)，教會了學(xué)生聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)化的思想方法，有效促進學(xué)生知識內(nèi)化。

總之，能掌握好數(shù)學(xué)模型，需要教師研讀教材，把握內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生深入理解、建構(gòu)完善的模型，豐富和深化對乘法分配率的認知。經(jīng)歷從一般到特殊、直觀到抽象的過程，在充分感悟的過程中，實現(xiàn)對分配率本質(zhì)的理解，有效提高學(xué)習(xí)效率。

參考文獻

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