陳燕

[摘 要] 無(wú)論是課程改革，還是核心素養(yǎng)，其對(duì)教學(xué)的作用的一個(gè)基本支撐點(diǎn)，是學(xué)生對(duì)學(xué)科知識(shí)的有效學(xué)習(xí). 表征作為一個(gè)基本的認(rèn)知心理學(xué)概論，用以描述學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用數(shù)學(xué)表征這一概念，可以清晰地厘清學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，從而對(duì)理解課程改革的理念與培養(yǎng)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；表征；數(shù)學(xué)表征

將十幾年前推行的課程改革，與今天的核心素養(yǎng)概念進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)核心素養(yǎng)作為一個(gè)具有高度凝練的概念，其在強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生必備品格與關(guān)鍵能力的時(shí)候，更強(qiáng)調(diào)一個(gè)隱性的過(guò)程，那就是必備品格與關(guān)鍵能力的形成過(guò)程. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，必備品格作為面向情感、道德的要素，其形成于學(xué)生的具體學(xué)習(xí)過(guò)程中，而從當(dāng)前評(píng)價(jià)體系來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵能力則是更為重要的教學(xué)研究著力點(diǎn). 在數(shù)學(xué)視域中，關(guān)鍵能力指向很多，對(duì)其進(jìn)行解構(gòu)并尋找培養(yǎng)途徑可能沒(méi)有必要，而從學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)角度來(lái)考慮教學(xué)的有效性可能更為關(guān)鍵. 經(jīng)由十多年的課程改革，我們?cè)谘芯繉W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理時(shí)，接觸到一個(gè)重要的概念，那就是“數(shù)學(xué)表征”，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平往往代表著其數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的水平，而教師如果著力于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力，那數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)往往可以自然形成. 從這個(gè)角度講，研究數(shù)學(xué)表征對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，極有意義！

數(shù)學(xué)表征的基本含義

數(shù)學(xué)表征是表征的下位概念. 表征是認(rèn)知心理學(xué)中的一個(gè)基本概念，用以描述學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中大腦對(duì)信息的加工過(guò)程. 也就是說(shuō)，表征并不是字面上的表示學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，而是表示學(xué)習(xí)過(guò)程的，尤其是用來(lái)表示知識(shí)在學(xué)生的大腦中是如何被建構(gòu)出來(lái)的過(guò)程的. 在這樣的理解中，表征被賦予了信息加工與建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的觀點(diǎn). 作為表征的下位概念，數(shù)學(xué)表征是指對(duì)數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系的信息加工過(guò)程，其指向?qū)W生大腦對(duì)數(shù)學(xué)信息進(jìn)行加工的過(guò)程，研究重點(diǎn)是學(xué)生如何表征所學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí). 初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，由于思維方式的不同，其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的加工往往有所不同，這就決定了即使是同樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，不同學(xué)生個(gè)體的學(xué)習(xí)所得并不完全相同，這種表征的差異性，是學(xué)生學(xué)習(xí)差異性的重要原因. 學(xué)習(xí)心理研究成果指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中對(duì)所學(xué)知識(shí)表征的形式越豐富，那所學(xué)的知識(shí)也就越牢固，運(yùn)用起來(lái)也就越得心應(yīng)手. 而表征形式豐富與否，實(shí)際上也反映了學(xué)生的表征能力.

舉個(gè)例子，學(xué)生進(jìn)入初中之后要學(xué)的第一個(gè)概念是“有理數(shù)”，其中正負(fù)數(shù)的概念學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)初有涉獵，思維加工的難度不大，而另一個(gè)概念卻容易被教師所忽視，那就是“數(shù)軸”. 作為一個(gè)基本概念，數(shù)軸在教師的思維中再簡(jiǎn)單不過(guò)，用一個(gè)實(shí)例略加引導(dǎo)，數(shù)軸的概念就形成了. 但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，其思維加工的過(guò)程是不是也是這么簡(jiǎn)單呢？或者說(shuō)是不是如教師所想象的這般線性呢？答案恐非如此. 因?yàn)楣P者在教學(xué)中常常遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：不少學(xué)生在數(shù)軸相關(guān)的表征過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)一些匪夷所思的問(wèn)題. 比如，有學(xué)生在很長(zhǎng)一段時(shí)間之后都不知道為什么要學(xué)習(xí)數(shù)軸這一概念；也有學(xué)生對(duì)數(shù)軸的理解比較機(jī)械，他們不知道數(shù)軸的來(lái)龍去脈；還有學(xué)生對(duì)利用數(shù)軸解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的正負(fù)確定表現(xiàn)混亂……種種現(xiàn)象表明，相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)數(shù)軸這一信息加工的過(guò)程表征是不清晰的. 由于表征的間接性，教師只能根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)來(lái)推測(cè)學(xué)生的內(nèi)部表征，而無(wú)法直接觀測(cè)學(xué)生的內(nèi)部表征過(guò)程，因此，可以斷定還有未曾被發(fā)現(xiàn)的表征困難.

促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征

在對(duì)包括“數(shù)軸”在內(nèi)的多個(gè)數(shù)學(xué)概念及規(guī)律的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)一個(gè)鮮明的對(duì)比，那就是如果學(xué)生對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念運(yùn)用嫻熟，對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系理解順暢，那這個(gè)學(xué)生對(duì)相關(guān)概念與數(shù)學(xué)關(guān)系的表征就是有效的. 因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力，促進(jìn)學(xué)生有效的數(shù)學(xué)表征，就成為數(shù)學(xué)教師需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容. 基于筆者有限的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，筆者梳理了如下兩點(diǎn)供同行參考.

其一，賦予學(xué)生自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì). 自主學(xué)習(xí)是新課程改革提出的重要的學(xué)習(xí)方式，而十多年之后回過(guò)頭來(lái)再思考這一學(xué)習(xí)方式的時(shí)候，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)其推崇的原因更多的都是來(lái)自于專家的說(shuō)教，而不是來(lái)源于對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的關(guān)注. 而從數(shù)學(xué)表征的角度來(lái)看，學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)，在自主學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生的表征意識(shí)會(huì)被喚醒，表征需要會(huì)被激活，他們會(huì)主動(dòng)地激活原有的知識(shí)記憶，主動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)理解，而在此過(guò)程中所生成的一些樸素的概念，常?？梢猿蔀閿?shù)學(xué)概念形成的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)（而在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往拒絕這些樸素概念）.

比如，在“數(shù)軸”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師給出具體的問(wèn)題情境（如一條路上的汽車站牌、樹木等，直接給出“用圖表示情境”的問(wèn)題）后，讓學(xué)生自主解決這一問(wèn)題. 既然是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過(guò)程，那教師的干預(yù)就要盡可能少，此過(guò)程允許學(xué)生出錯(cuò)，允許學(xué)生自己發(fā)明概念（比如有學(xué)生用“正、反”或“左、右”表示兩個(gè)不同的方向），待學(xué)生思維中有了一個(gè)完整的關(guān)于數(shù)軸的表象時(shí)，教師再提出相關(guān)的概念，那數(shù)軸的形象就完整了.

其二，賦予學(xué)生自主表達(dá)的機(jī)會(huì). 自主表達(dá)似乎是區(qū)域課程改革中強(qiáng)調(diào)的一個(gè)概念，自從某些地域性的課程改革被媒體放大后，筆者發(fā)現(xiàn)其中有一個(gè)共性，即強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主表達(dá). 盡管這些區(qū)域課程改革還有不少爭(zhēng)議，但筆者發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)表達(dá)，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的表征來(lái)說(shuō)確實(shí)非常有益. 讓學(xué)生表達(dá)，說(shuō)得通俗一點(diǎn)，就是讓學(xué)生將自己的思考過(guò)程“說(shuō)出來(lái)”，這是一個(gè)用生活語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征自己數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)與數(shù)學(xué)理解的過(guò)程. 仔細(xì)分析這一過(guò)程，其實(shí)可以發(fā)現(xiàn)其與數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的邏輯相通——數(shù)學(xué)的發(fā)展，即一個(gè)數(shù)學(xué)研究的過(guò)程不斷地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)的過(guò)程. 讓學(xué)生表達(dá)時(shí)，可以“逼”著學(xué)生去完成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的組織與數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的聯(lián)結(jié). 比如，學(xué)生在“數(shù)軸”概念的構(gòu)建過(guò)程中，通過(guò)表達(dá)會(huì)發(fā)現(xiàn)，不同學(xué)生用不同的語(yǔ)言（生活語(yǔ)言）描述自己所理解的方向不同. 那如何用一個(gè)統(tǒng)一的概括性語(yǔ)言呢？于是“正、負(fù)”就取代了“左、右”與“正、反”，但學(xué)生并不會(huì)因?yàn)檫@種語(yǔ)言的替代而心有遺憾，因?yàn)樗麄儠?huì)發(fā)現(xiàn)不同語(yǔ)言背后的內(nèi)涵是一樣的. 再如，后來(lái)到了“有理數(shù)的加法”這一課的教學(xué)中，在利用數(shù)軸尋找有理數(shù)的加法規(guī)則時(shí)，學(xué)生能夠順利地借助數(shù)軸概念構(gòu)建過(guò)程中形成的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，順利地表達(dá)自己所理解的5+3、（-5）+（-3）等，這種能力的遷移，可以反證此前數(shù)軸概念教學(xué)中學(xué)生表征的成功.

綜合以上兩點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生表征能力的關(guān)鍵，在于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自主性的發(fā)揮.

數(shù)學(xué)表征與核心素養(yǎng)

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)到目前為止還沒(méi)有明確的界定，但根據(jù)高中數(shù)學(xué)的六個(gè)核心概念，與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的十個(gè)核心概念可以管窺一二. 從數(shù)感的建立到符號(hào)意識(shí)的形成，從空間觀念的建構(gòu)到幾何直觀的培養(yǎng)，從數(shù)據(jù)分析觀念的建立到運(yùn)算能力的培養(yǎng)，從推理能力的訓(xùn)練到模型思想的形成，從應(yīng)用意識(shí)的強(qiáng)調(diào)到創(chuàng)新意識(shí)的激活，可以發(fā)現(xiàn)這十個(gè)概念可以作為對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效概括，而在這其中，學(xué)生的數(shù)學(xué)表征又起著非常重要的作用.

從理論上的邏輯關(guān)系來(lái)看，這十個(gè)核心概念都指向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的外在體現(xiàn)，即通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后，學(xué)生在這十個(gè)方面要有所進(jìn)益. 而數(shù)學(xué)表征作為對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的有效表達(dá)，客觀上可以理解為核心素養(yǎng)的支柱. 從實(shí)踐的角度來(lái)看，這十個(gè)核心概念實(shí)際上只是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的終極體現(xiàn). 只有經(jīng)過(guò)有效的學(xué)習(xí)，才談得上數(shù)感、符號(hào)意義及其他，而這個(gè)過(guò)程是由什么來(lái)表述的呢？顯然，數(shù)學(xué)表征是一個(gè)有效的衡量依據(jù).

仍然可以通過(guò)一例來(lái)說(shuō)明，在“從算式到方程”這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，同一個(gè)問(wèn)題既可由算術(shù)方法來(lái)解決，也可由含有未知數(shù)的等式來(lái)解決，這兩種方法之間有什么聯(lián)系，有什么區(qū)別，哪種方法更好……這些問(wèn)題就成為本課教學(xué)的重點(diǎn)，也是闡釋“從算式到方程”中“到”字的含義. “到”是一個(gè)過(guò)程，既是“算式”向“方程”過(guò)渡的過(guò)程，更是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程. 在此之前，學(xué)生習(xí)慣以算式解決問(wèn)題，而在此之后，意味著方程成為解決此類問(wèn)題的第一選擇，這是認(rèn)知方式的遞進(jìn). 從核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，有符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)——方程在解決問(wèn)題過(guò)程中的“正式使用”，意味著學(xué)生思維向“x”的轉(zhuǎn)變，也意味著問(wèn)題表征方式的根本性轉(zhuǎn)變，從此之后，學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題幾乎是“言必稱x”……從這個(gè)角度講，核心素養(yǎng)不是一個(gè)空洞的概念，其就是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表征不斷遞進(jìn)的過(guò)程.

“為表征而教”是筆者在研究數(shù)學(xué)表征中的一個(gè)重要認(rèn)識(shí)，總體而言，還是感覺(jué)有道理的. 再好的“教”也是為了促進(jìn)學(xué)生的表征，一個(gè)數(shù)學(xué)概念或規(guī)律，只有被學(xué)生有效表征了，才能真正成為學(xué)生的知識(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)也才會(huì)有一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).endprint