吳丞昊，楊建民，田新亮，胡智煥，彭 濤

(上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

深海布放纜不同材料屬性下應(yīng)力波自由傳播頻率特性影響研究

吳丞昊，楊建民，田新亮，胡智煥，彭 濤

(上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

在頻域?qū)ι詈２挤爬|系統(tǒng)內(nèi)應(yīng)力波自由傳播特性進(jìn)行了分析。在布放纜數(shù)學(xué)建模時(shí)使用了哈密頓原理，并在建模時(shí)考慮布放纜的曲率。計(jì)算過程中保留了纜繩曲率與其弧長坐標(biāo)之間的非線性關(guān)系，并最后得到了其上傳播的應(yīng)力縱波與應(yīng)力橫波的特性。通過計(jì)算得到布放纜屬性和纜繩內(nèi)豎直張力等參數(shù)對纜繩內(nèi)自由傳播頻率特性的影響曲線。結(jié)果表明，這些因素對自由傳播應(yīng)力波的頻率關(guān)系、色散關(guān)系、相速度與群速度影響顯著。對于應(yīng)力縱波，整個(gè)頻域可被兩個(gè)截止頻率與一個(gè)行波截止頻率分成四個(gè)區(qū)域。除了通頻帶之外，在低頻時(shí)亦存在抑止帶和行波抑止帶。應(yīng)力縱波僅能在通頻帶中以行波形式傳播，而應(yīng)力橫波則可以在所有頻率范圍內(nèi)以行波形式傳播。

應(yīng)力波；深海布放；張緊松弛；突加載荷

隨著人類對深海資源開發(fā)的逐漸加速以及深海生產(chǎn)設(shè)備技術(shù)的進(jìn)步，位于3500米及更深處的深海開發(fā)日益受到重視。為了適應(yīng)大規(guī)模深海開發(fā)，各類深海開發(fā)裝備的質(zhì)量與體積也與日俱增。布放回收裝置擔(dān)負(fù)著將所有水下系統(tǒng)安全、可靠、平穩(wěn)地布放到海底以及將其從海底回收到水面的使命。國內(nèi)外各項(xiàng)研究表明，在遇到復(fù)雜海情的情況下，纜繩系統(tǒng)可能出現(xiàn)高速傳播的突加應(yīng)力，其大小甚至可能達(dá)到平均張力的十倍[1-2]，對系統(tǒng)整體安全造成了巨大威脅。相比現(xiàn)有的較淺的海洋設(shè)備布放系統(tǒng)，深海布放所需的纜線相對更長、所受載荷更重。目前世界上學(xué)者對深海布放系統(tǒng)基于疊加駐波的模態(tài)研究已經(jīng)較為深入，然而對系統(tǒng)內(nèi)應(yīng)力波的傳播過程和衰減的研究則相對較少。由于深海長纜線中的應(yīng)力傳播時(shí)間與系統(tǒng)特征時(shí)間同數(shù)量級，在這種條件下，應(yīng)力波是一個(gè)不應(yīng)被忽視的因素[3]。因此，為了設(shè)計(jì)更安全更經(jīng)濟(jì)的布放纜線系統(tǒng)，了解深海布放長纜系統(tǒng)中應(yīng)力波的產(chǎn)生和傳播特性顯得尤為重要。

Poisson S D[4]最先對固體介質(zhì)中傳播的行波進(jìn)行了理論研究，并發(fā)現(xiàn)在固體介質(zhì)中可以傳播兩類行波(縱波與橫波)，A L B Cauchy 的經(jīng)典著作[5]中亦得到了相同結(jié)論。K F Graff,et al.[6]在總結(jié)了前人對彈性行波研究的基礎(chǔ)上，沿用經(jīng)典方法研究了在系泊纜與懸鏈線纜中的應(yīng)力行波傳播。其計(jì)算中不僅考慮了纜繩的質(zhì)量與曲率，同時(shí)考慮了浸沒液體中纜繩受到的水動力作用。M Behbahani-Nejad和N C Perkins 使用Hamilton原理推導(dǎo)了在小下垂率假設(shè)下的懸鏈纜線性控制方程，得到了自由傳播的結(jié)構(gòu)波動態(tài)響應(yīng)曲線[7]，并使用解析和數(shù)值方法分別在頻域與時(shí)域上研究了簡諧波在纜上傳播的響應(yīng)特性[8]，研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力縱波在傳播過程中表現(xiàn)為高度色散，而應(yīng)力橫波則表現(xiàn)出非色散特性，且初始張力擾動會導(dǎo)致兩列應(yīng)力波以不同的速度進(jìn)行傳播，而這點(diǎn)是傳統(tǒng)準(zhǔn)靜態(tài)纜繩張力理論所不能預(yù)見的。W J Kim 和N C Perkins隨后對系泊浮標(biāo)下的受拉張緊系泊纜進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，將其線性化后得到了其頻域響應(yīng)曲線[9]。他們也對一個(gè)彈性纜繩系統(tǒng)在流激勵下的共振響應(yīng)進(jìn)行了研究[10]。 張素俠等人研究了系泊纜在松弛-張緊變換狀態(tài)下的應(yīng)力波在鋼纜上傳播的頻率響應(yīng)[11]，發(fā)現(xiàn)纜繩頻率、群速度與頻散曲線沿纜繩弧長方向變化較大。Abedinnasab M H,et al分別研究了繩索中[12]和Euler-Bernoulli柱[13]在有限變形下的應(yīng)力波色散曲線。近年來，王禮力等人在其著作中[3]全面地總結(jié)了應(yīng)力波在不同介質(zhì)中傳播的控制方程、推導(dǎo)過程及其時(shí)域頻域特征，為之后的研究者提供了良好的學(xué)習(xí)參考。

除了使用解析方法對應(yīng)力波的特征進(jìn)行分析以外，應(yīng)力波在不同條件下的數(shù)值計(jì)算也引起了研究者的廣泛興趣。Bezverkhii等人和Shul’ga等人在Hamilton原理基礎(chǔ)上進(jìn)一步推出了一套纜繩中應(yīng)力波傳播的連續(xù)-離散偏微分?jǐn)?shù)值計(jì)算模型，并用該模型計(jì)算了系泊纜[14,15]和水下多纜拖曳系統(tǒng)[16-18]等情況下系統(tǒng)中的應(yīng)力時(shí)域曲線。同時(shí)在該研究基礎(chǔ)上，又在公式中增加了對纜繩材料非線性影響的考慮[14,16]。然而其數(shù)值計(jì)算主要集中在時(shí)域上纜繩應(yīng)力的動態(tài)響應(yīng)分析，在頻域的相關(guān)分析稍顯不足。

本文用理論解析求解的方式分析深海布放纜線系統(tǒng)中應(yīng)力波自由傳播的頻域特性，并引入纜內(nèi)水平張力與纜單位長度濕重之比λ1、纜內(nèi)豎直張力與纜單位長度濕重之比λ2來表現(xiàn)布放纜受到的水平與豎直張力對其上應(yīng)力波的傳播影響，同時(shí)通過彈性模量與材料密度的變化(表現(xiàn)為cl的變化)表現(xiàn)不同纜繩屬性對應(yīng)力波頻率特性的影響。計(jì)算中保留了纜繩曲率與其弧長坐標(biāo)之間的非線性關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)了非線性對應(yīng)力橫波傳播特性的影響。結(jié)果以期為工程布放應(yīng)用安全提供參考。

1 纜繩數(shù)學(xué)模型

圖1 平衡狀態(tài)布放纜模型χe與動態(tài)布放纜模型χdFig.1 Cable model in equilibrium configuration χe and in dynamic configuration χd

根據(jù)Perkins理論[19]， 可以視布放纜線為一個(gè)在三維空間中運(yùn)動的可忽略彎曲剛度及扭轉(zhuǎn)剛度的一維彈性連續(xù)體，于此同時(shí)其內(nèi)部編制結(jié)構(gòu)對布放系統(tǒng)內(nèi)應(yīng)力波傳播的影響也被忽略，即將其考慮為一整根完整連續(xù)的一維彈性連續(xù)體。布放纜繩模型如圖1所示，其在平衡狀態(tài)下的構(gòu)型為χe，而當(dāng)應(yīng)力波在其上傳播時(shí)，其平衡狀態(tài)會被打破，此時(shí)處于不穩(wěn)定狀態(tài)下的布放纜構(gòu)型為χd。布放纜運(yùn)動可以被分解為3個(gè)方向：切向、法向與副法向，本文僅考慮其在面內(nèi)的運(yùn)動。定義切向位移為u1，法向位移為u2，它們對t的偏導(dǎo)數(shù)分別為u1,t，u2,t，即切向與法向運(yùn)動速度對s的偏導(dǎo)數(shù)u1,s，u2,s分別為切向與法向應(yīng)變。忽略纜繩在流體介質(zhì)中的阻尼，其面內(nèi)運(yùn)動的運(yùn)動方程為：

(1+Cm)ρlAu1,tt=[(P+EAε)(u1,s-κu2)+EAε],s-κ(P+EAε)(u2,s+κu1)+F1

(1)

(1+Cm)ρlAu2,tt=[(P+EAε)(u2,s+κu1)],s+κ[(P+EAε)(u1,s-κu2)+EAε]+F2

(2)

式中：s為纜繩的弧長坐標(biāo)，A為纜繩的截面積，E為纜繩的彈性模量，P1為布放纜張力豎直方向分量，P0為布放纜張力水平方向分量，F(xiàn)1和F2為系統(tǒng)所受的外力。纜繩在s處的動態(tài)應(yīng)變ε(s,t)、布放纜平衡張力P(s,t)及曲率κ(s,t)分別為：

式中：ρ=ρl-ρw，其中ρl為纜繩材料密度，ρw為流體介質(zhì)密度，Cm為纜繩附加質(zhì)量系數(shù)，g為重力加速度。

由式(4)、(5)可以發(fā)現(xiàn)，纜繩的曲率κ(s,t)與弧長坐標(biāo)s之間呈現(xiàn)非線性的關(guān)系。為了更好地保留纜繩曲率對頻率特性的影響，在之后的計(jì)算中該非線性關(guān)系將被保留。

由于本文考慮應(yīng)力波在深海布放纜線系統(tǒng)內(nèi)的自由傳播特性，因此忽略式中外力F1與F2。將式(3)、(4)、(5)代入式(1)與(2)并保留線性項(xiàng)，可以得到：

(6)

(7)

式(6)與式(7)可用矩陣表示為：

2 應(yīng)力波傳播特性

2.1頻率關(guān)系

(9)

式中：C.C.代表式(9)前一項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。將其代入方程(8)并對其進(jìn)行空間傅里葉變換，可以得到：

通過求解式(11)，可以得到特征頻率方程：

式中：

α1=(A1+A2)γ2-j(F1+F2)γ+C1+C2

通過求解式(12)可以獲得四個(gè)頻率解：縱波頻率ω1,2=±ωl和橫波頻率ω3,4=±ωt，其中：

2.2色散關(guān)系

纜線系統(tǒng)內(nèi)傳播的應(yīng)力波速度可分為相速度與群速度兩個(gè)速度。對于色散的波傳播系統(tǒng)，相速度與群速度將會分離，且波速依賴于頻率。

2.2.1 相速度

一般將c=ω/γ稱為相速度，將其代入頻率關(guān)系式(12)，可以得到色散方程：

D(c;ω,cl,ct)=β1c4+β2ωc3-β3ω2c2-β4ω3c+β5ω4=0

(15)

式中：

β1=ω4-(C1+C2)ω2+(C1C2+B1B2)

β2=j[(F1+F2)ω2-(C1F2+E1B2+B1E2+F1C2)]

β3=(A1+A2)ω2+(F1F2-A2C1-A1C2+E1E2)

β4=j(F1A2+A1F2)

β5=A1A2

2.2.2 群速度

通過對頻率關(guān)系式(12)進(jìn)行直接微分，可以得到：

4ω3(dw)-(dα1)ω2-2α1ωdω+dα2=0

其中：

dα1=2γ(A1+A2)dγ-j(F1+F2)dγ

3 結(jié)果與討論

為了更好地展示纜繩屬性、纜繩受到的豎直與水平力等對纜繩內(nèi)應(yīng)力波傳播的頻率特性造成的影響，通過數(shù)值求解上述方程對其上應(yīng)力波傳播特性進(jìn)行分析。在計(jì)算分析中，為了更好地拓展研究范圍，本文在常見的工程應(yīng)用布放纜材料屬性之上更進(jìn)一步地?cái)U(kuò)展了各屬性的計(jì)算范圍。

本文參考的復(fù)合纜屬性為[20]：彈性模量E=12.4 GPa，密度ρl=1.44×103kg/m3。鋼纜系統(tǒng)參數(shù)為[15]：彈性模量E=200 GPa，纜繩密度ρl=8×103kg/m3，Cm=0.13，由于cl與且僅與纜繩屬性有關(guān)，為了覆蓋從復(fù)合纜到鋼纜的各種材料屬性，同時(shí)拓展計(jì)算范圍，本文在計(jì)算中取3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s來觀察不同材料屬性對應(yīng)力波傳播特性的影響。水平與豎直方向張力與單位長度纜繩濕重之比的取值分別為λ1=500 m 及1 000≤λ2≤10 000 m。

3.1頻率極限情況

本文首先關(guān)注布放系統(tǒng)的截止頻率。在長波長/低頻率極限時(shí)，傳播常數(shù)γ→0，因此式(12)在低頻極限時(shí)趨向于：

通過求解方程(16)，可以得到：

圖2 兩個(gè)截止頻率實(shí)部((a)(b))及兩個(gè)截止頻率虛部((c)(d))(3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,0≤λ2≤10 000 m)Fig.2 Real parts of cut-off frequencies ((a)(b)) and Imaginary parts of cut-off frequencies ((c)(d)) (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,0≤λ2≤10 000 m)

從圖2(b)中可以發(fā)現(xiàn)，絕對值較小的截止頻率ωcut_off_2的實(shí)部并不隨著λ2的增加而單調(diào)減少，而是可以觀察到一個(gè)區(qū)域極大值。該極大值出現(xiàn)時(shí)所對應(yīng)的λ2是區(qū)分該系統(tǒng)截止頻率是否為純實(shí)數(shù)的λ2臨界值，當(dāng)布放系統(tǒng)的λ2大于該極大值對應(yīng)的λ2時(shí)，該系統(tǒng)截止頻率不再是純實(shí)數(shù)，而是一個(gè)復(fù)數(shù)。截止頻率實(shí)部的極值出現(xiàn)時(shí)所對應(yīng)的λ2的大小隨著cl的增大而增大，即其出現(xiàn)位置對應(yīng)的λ2隨著布放纜彈性模量的增大而增大，隨著布放纜密度的增大而減小，但該極值的幅值大小隨著cl的增大而減小。當(dāng)較小的截止頻率在越過極值點(diǎn)后單調(diào)遞減，且此時(shí)該截止頻率大小隨著cl的增大而增大。

圖3 實(shí)線: 行波截止頻率實(shí)部大小隨λ2變化曲線，虛線：截止頻率實(shí)部大小隨λ2變化曲線。橫軸λ2為對數(shù)坐標(biāo)(3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,0≤λ2≤10 000 m)Fig.3 Real part of cut-off frequencies (dashed curves) and pass-band edge frequencies (solid curves).λ2 is set on a logarithmic scale(3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,0≤λ2≤10 000 m)

在Re(γ)→0，即波數(shù)趨向于0時(shí)，可以得到另一個(gè)極限解：行波截止頻率ωpde。只有大于該頻率的應(yīng)力波才能以行波的形式在布放纜介質(zhì)中傳播。圖3中分別以實(shí)線和虛線展示了行波截止頻率與截止頻率隨λ2的變化關(guān)系。

整個(gè)應(yīng)力縱波的頻域因而被兩個(gè)截止頻率與行波截止頻率劃分成了四個(gè)部分。如圖4所示，當(dāng)頻率大于行波截止頻率時(shí)，為通頻帶；行波抑止帶存在于ωcut_off_1與行波截止頻率之間，以及小于ωcut_off_2的頻率范圍；當(dāng)兩個(gè)截止頻率為復(fù)數(shù)時(shí)，它們之間的區(qū)域仍然保持行波抑止帶，而當(dāng)兩個(gè)截止頻率為純實(shí)數(shù)時(shí)，在它們之間的為抑止帶。

另一方面，在短波長-高頻極限，即γ→時(shí)，將式(12)左右分別除以γ4可以得到：

圖4 系統(tǒng)頻域上由截止頻率和行波截止頻率分成的四個(gè)不同頻段示意Fig.4 Different bands of the spectral domain divided by cut-off frequencies and pass-band edge

3.2頻率關(guān)系

根據(jù)式(13)與式(14)，可以計(jì)算得到纜繩內(nèi)應(yīng)力波的傳播常數(shù)與頻率的關(guān)系，計(jì)算得到的應(yīng)力縱波、橫波與頻率關(guān)系分別如圖5、圖6所示。傳播常數(shù)為復(fù)數(shù)，其實(shí)部為波數(shù)，虛部為衰減常數(shù)的相反數(shù)。波數(shù)的正負(fù)分別代表了波傳播的兩個(gè)方向。衰減常數(shù)表征應(yīng)力波衰減方向與衰減率的大小。

圖5顯示了在不同纜繩屬性的情況下，系統(tǒng)內(nèi)縱波傳播常數(shù)與頻率的關(guān)系。可以發(fā)現(xiàn)，在通頻帶，兩個(gè)方向傳播的波數(shù)大小的絕對值及兩個(gè)衰減常數(shù)均相等。表明應(yīng)力縱波在兩個(gè)方向上以相同的相速度傳播，同時(shí)應(yīng)力波在弧長坐標(biāo)系的負(fù)方向上衰減。而在行波抑止帶與抑止帶，γ為純虛數(shù)，意味著應(yīng)力縱波在該頻段不能以行波的形式在纜繩內(nèi)傳播。在行波抑止帶，能觀察到兩列近場衰減波以不同的衰減系數(shù)向弧長坐標(biāo)系的負(fù)方向衰減；在抑止帶可以觀察到向纜繩兩個(gè)方向傳播的近場快速衰減波。從圖5中也可以發(fā)現(xiàn)，隨著布放纜材料的cl逐漸增大，即隨著布放纜彈性模量的增大和密度的減小，其行波截止頻率也隨之增大。并且隨著頻率ω的增大，各曲線的斜率均漸進(jìn)趨向于張緊弦假設(shè)下的理論解γ=ω/c。

圖5 布放纜內(nèi)應(yīng)力縱波頻率關(guān)系曲線 (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.5 Frequency relation curves of longitudinal waves (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

圖6 布放纜內(nèi)應(yīng)力橫波的頻率關(guān)系曲線(3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.6 Frequency relation curves of transversal waves (opposite numbers of attenuation constants) are plotted (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

圖6展示了系統(tǒng)內(nèi)橫波的頻率關(guān)系。與縱波不同的是，在所有頻率下，應(yīng)力橫波均能夠在纜繩系統(tǒng)內(nèi)傳播。相同頻率下，應(yīng)力橫波的波數(shù)隨著cl的增加而增加。在λ2→時(shí)，曲線漸進(jìn)趨向于張緊弦假設(shè)下的理論波速的直線，即γ→ωct。在較低頻率時(shí)，系統(tǒng)總體而言是色散的，其色散程度大小及色散頻率區(qū)間隨著cl的增加而增加。在cl→0或在高頻時(shí)，系統(tǒng)的頻率關(guān)系趨向于線性，系統(tǒng)逐漸趨向于非色散系統(tǒng)，該極限情況也與張緊弦理論解相符。

與Behbahani-Nejad M和 N C Perkins[8]通過將纜繩曲率與弧長坐標(biāo)的關(guān)系線性化后計(jì)算得到的純實(shí)數(shù)結(jié)果所不同的是，在保留非線性的情況下，應(yīng)力橫波的傳播常數(shù)為復(fù)數(shù)，意味著在傳播過程中其幅值會以相對應(yīng)的衰減常數(shù)進(jìn)行衰減，可以看到，隨著頻率的減小，其衰減常數(shù)隨之增加，且在低頻時(shí)，相同頻率下的應(yīng)力橫波衰減常數(shù)隨著cl的增加而增加。

3.3色散關(guān)系

通過圖7(c)、7(d)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)頻率大于行波截止頻率時(shí)，兩個(gè)相速度虛部相等，并且其幅值隨著頻率的減少而增大。而當(dāng)頻率小于行波截止頻率時(shí)，系統(tǒng)有兩種可能情況，如圖4所示，如果ωcut_off是復(fù)數(shù)，則該頻段屬于抑止帶，此時(shí)從圖7(c)上可以看到一個(gè)相速度虛部在跨越截止頻率時(shí)會從正值跳躍到負(fù)值，此時(shí)在抑止帶可以觀察到兩列方向相反的近場衰減波；反之，如果ωcut_off為純實(shí)數(shù)，圖7(c)上的相速度并不會穿越零軸跳躍，此時(shí)該頻段為行波抑止帶，僅能觀察到單一方向的衰減波，在該頻段相速度的虛部會取到一個(gè)區(qū)域極大值，該極大值隨著Im(ωcut_off)的絕對值的增加而減小，并隨著布放纜的cl的減小而減小。另外從圖7上同時(shí)可以看到，在λ1、λ2相同時(shí)，在相同頻率，隨著cl的減小，行波截止頻率隨之變小，抑止頻帶或半通頻帶所占的頻率范圍也隨之減小。

圖7 布放纜內(nèi)應(yīng)力縱波色散關(guān)系 (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.7 Dispersion curves of longitudinal waves (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

應(yīng)力橫波色散曲線如圖8所示。橫波在任何頻率下均可以行波的形式傳播。其相速度實(shí)部在0 Hz時(shí)為0 m/s，隨后隨著頻率的增大而迅速增大，并漸進(jìn)趨向于其漸進(jìn)極限，即短波長/高頻極限為±ct。該極限并不受纜繩屬性cl的變化而變化，然而在中低頻區(qū)，cl越大，應(yīng)力橫波的相速度則相對越小，更小的cl可使應(yīng)力橫波的相速度更快地趨向于其短波長/高頻極限。

圖8 布放纜內(nèi)應(yīng)力橫波色散關(guān)系 (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.8 Dispersion curves of transversal waves (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

3.4群速度

圖9展示了縱波群速度與縱波相速度之比。

圖9 布放纜內(nèi)應(yīng)力波群速度曲線 (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.9 Group velocity curves (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

由于只有位于通頻帶的應(yīng)力縱波才能以行波的形式傳播，因此在非通頻帶群時(shí)，縱波群速度與相速度都逼近0。由于被除數(shù)出現(xiàn)了接近于0的項(xiàng)，為了更好地展現(xiàn)通頻帶群速度特性，在圖中僅展現(xiàn)通頻帶下的結(jié)果，非通頻帶下的該比例被設(shè)為0。

從圖9(a)、9(b)中可以看到，當(dāng)縱波的頻率越過行波截止頻率時(shí)，其迅速達(dá)到1/3左右，并迅速單調(diào)遞增趨向于1。其表明，行波的群速度始終小于相速度，且在高頻時(shí)兩者趨向相等，在高頻時(shí)可以認(rèn)為系統(tǒng)是非色散的。

圖9(c)、9(d)展示了橫波的群速度相速度之比。在低頻時(shí)，該比例非常高，隨著頻率的增加，該頻率迅速降低并最終趨向于1。由于其比例始終大于1，因此橫應(yīng)力波的傳播特性為反常色散，高頻項(xiàng)會不斷向波前鋒聚集，最終在波前鋒形成一個(gè)強(qiáng)間斷波。隨著波的傳播，該前鋒處的應(yīng)力應(yīng)變變化率將會變得很大，對布放纜產(chǎn)生巨大的加載。因此在設(shè)計(jì)和布放時(shí)需要對該點(diǎn)額外注意，需要增加系統(tǒng)安全系數(shù)以避免低估傳播過程中逐漸集中的強(qiáng)間斷波對布放纜的應(yīng)力應(yīng)變作用。

4 結(jié) 語

從應(yīng)力波在纜繩中傳播理論出發(fā)，研究了長布放纜系統(tǒng)中不同豎直張力下應(yīng)力波的傳播特性，并保留布放纜弧度與該點(diǎn)弧長坐標(biāo)之間的非線性關(guān)系。研究表明：

1) 整個(gè)頻域被兩個(gè)截止頻率與一個(gè)行波截止頻率分成四個(gè)區(qū)域。從低頻到高頻分別為行波抑止帶、抑止帶、行波抑止帶與通頻帶。

? 在通頻帶，應(yīng)力縱波可以行波形式傳播，且在傳播時(shí)衰減，該系統(tǒng)為色散系統(tǒng)。

? 在行波抑止帶，應(yīng)力縱波不能以行波的形式向外傳播。但是在應(yīng)力突變源附近會產(chǎn)生雙向的近場衰減波。

? 在抑止帶，應(yīng)力縱波不能以行波的形式向外傳播。但是在應(yīng)力突變源附近會產(chǎn)生單向的近場衰減波。

? 應(yīng)力橫波始終能夠以行波的形式向外傳播，不存在抑止帶。系統(tǒng)在考慮了布放纜弧度與該點(diǎn)弧長坐標(biāo)之間的非線性關(guān)系時(shí)為色散系統(tǒng)。

2) 應(yīng)力橫波與縱波的行波群速度在高頻時(shí)趨向于它們的相速度。然而應(yīng)力橫波表現(xiàn)出了反常色散特性，因此高頻項(xiàng)會在傳播的過程中向波前鋒聚集，從而形成前間斷波，該點(diǎn)在進(jìn)行布放纜設(shè)計(jì)考慮時(shí)特別需要留意。

? 布放纜內(nèi)傳播的應(yīng)力縱波較大的截止頻率與行波截止頻率均隨著cl的增大而增大，而較小的截止頻率在其內(nèi)部豎直張力較大時(shí)也隨著cl的增大而增大。

? 值得注意的是，布放纜中應(yīng)力橫波的波數(shù)隨著cl的增加而增加，該效應(yīng)在較低頻率時(shí)更為顯著；且在中低頻區(qū)，隨著cl增大，應(yīng)力橫波的相速度則相對減小，更小的cl可使應(yīng)力橫波的相速度更快地趨向于短波長/高頻極限。

? 隨著cl的增加，應(yīng)力縱波的群速度與相速度之比隨之下降，而應(yīng)力橫波的群速度與相速度之比隨之增加。

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Study of characteristics of stress waves propagating freely in deep-sea deployment cables with different cable properties

WU Chenghao,YANG Jianmin,TIAN Xinliang,HU Zhihuan,PENG Tao

(Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration,State Key Lab.of Ocean Engineering,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China)

The spectral responses of stress waves freely propagating along deep-sea deployment cables are investigated using an analytical method.Hamilton’s Principle is used for the modeling of the deployment system.The curvature of the cable is considered and both transversal and longitudinal propagating waves are taken into consideration.The relation between cable curvature and cable arc coordinate is kept nonlinear.The influence of cable’s property and the vertical stress inside cable on the characteristics of stress waves propagating freely in deep-sea deployment cable is calculated.Calculation shows that those factors have a great influence on two stress waves’ frequency,dispersion relations as well as phase velocities and group velocities.For longitudinal stress waves,four distinct frequency bands are identified by two cut-off frequencies and one pass-band-edge frequency.Partly-pass band and stop band exist at low frequencies.Longitudinal stress wave can only propagate in pass-band,however transversal stress waves may propagate at any frequency.

stress wave; deep-sea deployment; slack-taut; snap tension

P751

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.05.002

1005-9865(2017)05-0012-11

2016-10-17

國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃支持“深海多金屬結(jié)核采礦試驗(yàn)工程”資助項(xiàng)目(2016YFC0304100)；國家自然科學(xué)基金支持資助項(xiàng)目(51239007，51509152，11632011)

吳丞昊(1992-)，男，碩士研究生，主要從事深海采礦水動力學(xué)特性及布放系統(tǒng)中應(yīng)力波傳播研究。E-mail: Chenghao.wu@sjtu.edu.cn

楊建民。E-mail: jmyang@sjtu.edu.cn