陳婧++張東海++王曉鋒

摘 要 在高職院校微積分教學(xué)中，概念的理解對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)影響較大，卻正是學(xué)生的困難之處。GeoGebra在微積分概念教學(xué)中優(yōu)勢(shì)明顯，以極限、導(dǎo)數(shù)、定積分為例進(jìn)行具體闡述。

關(guān)鍵詞 GeoGebra；幾何畫板；高職院校；微積分

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2017）10-0042-04

1 引言

微積分是高職院校高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)的核心內(nèi)容，這門課程能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、綜合分析能力，也為其他后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供了有力的數(shù)學(xué)工具。但這門課程對(duì)高職校學(xué)生尤其是文科生來說有一定難度，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易產(chǎn)生畏難情緒，而且有的學(xué)生即使在計(jì)算方面取得高分，也不能正確理解相關(guān)概念及其相互關(guān)系[1]。

“磨刀不誤砍柴工”，正確理解概念對(duì)后續(xù)知識(shí)的融會(huì)貫通、知識(shí)的應(yīng)用、能力的遷移幫助很大。此外，對(duì)于高職院校文科學(xué)生，有的知識(shí)點(diǎn)根據(jù)教學(xué)大綱要求只需達(dá)到“了解”的認(rèn)知要求。

GeoGebra是一個(gè)結(jié)合代數(shù)、幾何、圖形、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)表和計(jì)算的免費(fèi)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，比幾何畫板操作更簡(jiǎn)單，同時(shí)具備幾何畫板沒有的符號(hào)計(jì)算、微分、統(tǒng)計(jì)等功能。在微積分的教學(xué)中利用GeoGebra，可以幫助學(xué)生更好地理解概念以及直觀了解一些結(jié)論。

2 概念教學(xué)的重要性

美國科羅拉多州立大學(xué)Kelly K. Chappell[2-4]采用量化研究和質(zhì)化研究結(jié)合的方法，探討教育環(huán)境（基于概念教學(xué)的或者傳統(tǒng)的）對(duì)學(xué)生概念理解、應(yīng)用技能、遷移能力等方面的影響。結(jié)論指出：概念性的理解有助于解題技巧的掌握；基于概念的教學(xué)方法在保證學(xué)生解題技巧的同時(shí)，加深了學(xué)生的理解；理解而掌握的知識(shí)與程序性知識(shí)更容易推廣到陌生的領(lǐng)域[5]。

3 GeoGebra在概念教學(xué)中的應(yīng)用

GeoGebra在極限概念教學(xué)中的應(yīng)用 函數(shù)y=f（x），當(dāng)x→x0時(shí)極限為A的定義為：任意給定的正數(shù)ε，總存在一個(gè)正數(shù)δ=δ（ε），使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，|f（x）-A|<ε恒成立，記為。

函數(shù)極限的定義描述較為抽象，同時(shí)也是學(xué)生初次接觸高等數(shù)學(xué)中類似概念，所以在理解過程中有一定難度。利用GeoGebra制作課件，可以直觀地幫助學(xué)生理解該定義。課件完成步驟要點(diǎn)如下：

1）在繪圖區(qū)用“描點(diǎn)”工具找點(diǎn)A、B、C、D、E、F（用以確定所需圖象的大致位置）；

2）在命令框中輸入多項(xiàng)式擬合[A，B，C，D，E，F(xiàn)，5]，產(chǎn)生函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)式；

3）在命令框中輸入描點(diǎn)[{1，f（1）}]，在繪圖區(qū)得到點(diǎn)M（1，2.77），過M分別作x、y軸的垂線段；

4）創(chuàng)建滑動(dòng)條，名稱為δ，最小值0，最大值0.5，增量為0.01；

5）在命令框中輸入描點(diǎn)[{（1+δ），f（1+δ）}]，在繪圖區(qū)得到點(diǎn)N，其橫坐標(biāo)為（1+δ），縱坐標(biāo)為f（1+δ），過N分別作x、y軸的垂線段；

6）在命令框中輸入描點(diǎn)[{（1-δ），f（1-δ）}]，在繪圖區(qū)得到點(diǎn)G，其橫坐標(biāo)為（1-δ），縱坐標(biāo)為f（1-δ），過G分別作x、y軸的垂線段；

7）隱藏點(diǎn)A、B、C、D、E、F，設(shè)置垂線段為虛線，用不同顏色區(qū)分；

8）在命令框中輸入公式文本[M]、公式文本[N]、公式文本[G]，在繪圖區(qū)出現(xiàn)M、N、G的坐標(biāo)（如圖1所示）；

9）點(diǎn)擊“文件→導(dǎo)出→動(dòng)畫GIF”，生成δ變化時(shí)，點(diǎn)N、G移動(dòng)的GIF動(dòng)畫。

在課堂教學(xué)中，可以拖動(dòng)滑動(dòng)條或者右擊滑動(dòng)條，選擇“啟動(dòng)動(dòng)畫”進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)態(tài)演示，也可以直接將GIF文件插入在PPT課件中自動(dòng)演示。學(xué)生可以從圖象上直觀地感受到δ趨于0，點(diǎn)N、G越接近，也可以從點(diǎn)M、N、G的坐標(biāo)上看到這一變化。此外，可以在命令框內(nèi)輸入“極限[f（x），1]”，在代數(shù)區(qū)產(chǎn)生數(shù)字2.77，恰好是點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，驗(yàn)證了。

GeoGebra在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用 函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)定義為：設(shè)y=f（x）在x0處的某鄰域內(nèi)有定義，且當(dāng)自變量x0處有增量Δx時(shí)，若極限

存在，就稱其值為y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)。

這個(gè)定義的描述是比較抽象的，學(xué)生較難理解。其實(shí)導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)中最主要的概念，是英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在研究力學(xué)與幾何學(xué)過程中建立的。把這個(gè)定義回歸到具體問題中更容易理解，常見的例子有物體作變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（如自由落體運(yùn)動(dòng)）、切線問題?？梢岳肎eoGebra制作有關(guān)切線斜率的課件，直觀地幫助學(xué)生理解該定義，切線斜率也恰好是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。課件完成步驟要點(diǎn)如下：

1）在命令框中輸入，在繪圖區(qū)可得函數(shù)圖象；

2）在命令框中輸入x0=2；

3）在命令框中輸入描點(diǎn)[{x0，f（x0）}]，在繪圖區(qū)得A點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為0.67；

4）創(chuàng)建滑動(dòng)條，名稱為Δx，最小值-2，最大值2，增量為0.05；

5）在命令框中輸入描點(diǎn)[{x0+Δx，f（x0+Δx）}]，在繪圖區(qū)得點(diǎn)B，其橫坐標(biāo)2+Δx，縱坐標(biāo)f（2+Δx）；

6）在命令框中輸入“直線[A，B]”，在繪圖區(qū)得直線AB；

7）在命令框中輸入，即為割線AB的斜率；

8）在命令框中輸入公式文本[k]，在繪圖區(qū)得k的值（如圖2所示）；

9）點(diǎn)擊“文件→導(dǎo)出→動(dòng)畫GIF”，生成Δx變化時(shí)，點(diǎn)B移動(dòng)的GIF動(dòng)畫。

在課堂教學(xué)中，可以拖動(dòng)滑動(dòng)條或者右擊滑動(dòng)條，選擇“啟動(dòng)動(dòng)畫”進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)態(tài)演示，也可以直接將GIF文件插入在PPT課件中自動(dòng)演示。從課件上可見，當(dāng)Δx趨于0時(shí)，B趨于A，割線漸變?yōu)榍芯€。k的值趨于2，即在點(diǎn)A處的切線斜率為2。讓學(xué)生體會(huì)逼近思想在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中的作用，加深對(duì)概念的理解。endprint

GeoGebra在定積分概念教學(xué)中的應(yīng)用 在講解定積分概念時(shí)，是通過求曲邊梯形面積等問題從而歸納出“和的極限”這個(gè)模式。具體步驟是分割、近似求和、取極限。這種和的模式比較抽象復(fù)雜，定義的敘述也比較長。

用傳統(tǒng)教學(xué)手法，教師只能“言傳”，學(xué)生只能“意會(huì)”，缺乏直觀感受，學(xué)生在理解過程中有一定的困難。而利用GeoGebra制作課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，直觀生動(dòng)，學(xué)生容易理解。下面介紹課件完成步驟要點(diǎn)。

1）在命令框中輸入f（x）=x2。在繪圖區(qū)可得函數(shù)圖象。

2）創(chuàng)建滑動(dòng)條，名稱為n，最小值1，最大值100，增量為1。

3）在命令框中輸入上和[f，0，2，n]。在繪圖區(qū)得到n個(gè)以分割區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為高，寬為的小矩形，顯示a=3.08（當(dāng)n=10時(shí)），即上和的值。

4）在命令框中輸入下和[f，0，2，n]。在繪圖區(qū)得到n個(gè)以分割區(qū)間左端點(diǎn)處的函數(shù)值為高，寬為的小矩形，顯示b=2.28（當(dāng)n=10時(shí)），即下和的值。

5）在工具欄中選擇“復(fù)選框按鈕”，在繪圖區(qū)單擊彈出對(duì)話框中，輸入標(biāo)題“上和”。在“從下列列表、代數(shù)區(qū)或繪圖區(qū)中選擇對(duì)象”下拉框中，選擇“數(shù)值a：上和[f，

0，2，n]”。在工具欄中選擇“文本”，在繪圖區(qū)單擊彈出對(duì)話框，輸入“上和=”，再在對(duì)象下拉框中選擇a。同理制作下和復(fù)選框按鈕（如圖3所示）。

利用這個(gè)課件可以直觀演示：當(dāng)n越來越大時(shí)，小矩形面積之和越來越接近曲邊梯形的實(shí)際面積，也可以從動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)上驗(yàn)證該結(jié)論。此外，教材中往往是以各小區(qū)間的左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值作為小矩形的高，即對(duì)應(yīng)“下和”命令，所求面積和比曲邊梯形面積小。而利用軟件中的“上和”命令，可以以各小區(qū)間的右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值作為小矩形的高，所求面積和比曲邊梯形面積大。但是這兩種不同的取近似方式下，只要n越來越大時(shí)，都是越來越接近曲邊梯形實(shí)際面積的，由此也驗(yàn)證了分點(diǎn)的任意性。

利用復(fù)選框按鈕，可以根據(jù)需要分別顯示上和和下和。圖4為n=20時(shí)只顯示上和的情況，圖5為n=30時(shí)只顯示下和的情況。

4 GeoGebra在展示結(jié)論方面的應(yīng)用

對(duì)于高職院校文科學(xué)生，有的知識(shí)點(diǎn)根據(jù)教學(xué)大綱，只需達(dá)到“了解”的認(rèn)知要求。GeoGebra整合了代數(shù)、幾何、微積分，代數(shù)區(qū)的代數(shù)對(duì)象和繪圖區(qū)的幾何對(duì)象是一一對(duì)應(yīng)的，同步變化，操作方便。借助于GeoGebra可以方便快捷地在課堂上現(xiàn)場(chǎng)演示，讓學(xué)生直觀了解相關(guān)結(jié)論。同時(shí)，由于軟件在這部分操作簡(jiǎn)單，學(xué)生自己也可以嘗試進(jìn)行相關(guān)結(jié)論的驗(yàn)證和探索，培養(yǎng)他們的自我學(xué)習(xí)能力。

如重要極限之一，可以弱化其推導(dǎo)過程，讓學(xué)生掌握結(jié)論即可。在命令框中輸入，在繪圖區(qū)得此函數(shù)圖象。在命令框中輸入y=e，得到直線y=e的圖象（圖6）。讓學(xué)生觀察x→∞時(shí)，此函數(shù)的變化趨勢(shì)。此外，在命令框中輸入“極限[（1+（1/x））^x，∞]”，可在代數(shù)區(qū)直接計(jì)算出此函數(shù)的極限。（注：不能得精確值e，只能得近似值2.72。）

再如函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)是振蕩無極限的，手工繪圖很難實(shí)現(xiàn)，用軟件作圖一目了然（圖7）。

在空間解析幾何部分，二元函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖形通常是曲面，手工繪圖煩瑣且不精準(zhǔn)；利用GeoGebra的3D功能，只需輸入解析式，可直接得到對(duì)應(yīng)的立體圖形。如在命令框中輸入z=x2+y2，在3D繪圖區(qū)得到對(duì)應(yīng)的拋物面。

5 結(jié)語

在微積分教學(xué)中，學(xué)生對(duì)概念的理解對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有重要意義，卻也是高職學(xué)生的困難所在。GeoGebra可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方式的不足之處，一方面讓敘述晦澀、難以理解的概念變得直觀、易理解，從而提高課堂教學(xué)效率，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；另一方面，在重要極限、空間解析幾何等方面其展示性能優(yōu)越，且操作方便，可以讓學(xué)生自行研究探索，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力有很大幫助。

參考文獻(xiàn)

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