鄧德東

摘要：在反比例函數(shù)課堂教學(xué)中，結(jié)合例題，探索反比例函數(shù)一些題型的解題規(guī)律，適時(shí)滲透相關(guān)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想在解題中的作用，并能在解決問(wèn)題的過(guò)程中，融會(huì)貫通，形成自己解決問(wèn)題的思想和方法。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；反比例函數(shù)；數(shù)學(xué)思想

“反比例函數(shù)”是九年級(jí)下冊(cè)第二十六章教學(xué)內(nèi)容，它是一種簡(jiǎn)單而又重要的函數(shù)。通過(guò)教學(xué)，讓學(xué)生明白，現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)中具有反比例變化規(guī)律的問(wèn)題，都可以用反比例函數(shù)來(lái)描述。學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)有了一定的認(rèn)知，所以學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，可以用類比的方法讓學(xué)生再次經(jīng)歷函數(shù)學(xué)習(xí)的幾個(gè)過(guò)程：一理解函數(shù)的概念，二明確函數(shù)的圖像和性質(zhì)，三掌握函數(shù)的應(yīng)用。教材中本節(jié)的內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，但在日常生活中，物理、化學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)中都要用到反比例函數(shù)，而且各地市中考題中，也經(jīng)常出現(xiàn)難度較大的以反比例函數(shù)為載體的題目，這些題目注重知識(shí)間的融合。因此讓學(xué)生扎實(shí)學(xué)好反比例函數(shù)概念、圖像和性質(zhì)；確定反比例函數(shù)解析式及綜合應(yīng)用顯得尤為重要。

在教學(xué)中，受課時(shí)安排的影響，不可能把所有的問(wèn)題都安排在課堂中讓學(xué)生思考解決，但是我們可以在課堂教學(xué)中結(jié)合練習(xí)題講解、學(xué)生練習(xí)，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生吃透問(wèn)題，理解本質(zhì)，進(jìn)而形成合理有效的解題方法。

一、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透類比思想

類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。大數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)：“在數(shù)學(xué)的王國(guó)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具就是歸納和類比?！毖芯糠幢壤瘮?shù)的概念、圖像、性質(zhì)可以類比正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的研究方法，這樣的安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

1.用類比的方法學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的概念

通過(guò)類比學(xué)習(xí)，加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念、解析式的理解，同時(shí)給學(xué)生強(qiáng)調(diào)反比例函數(shù)的一個(gè)重要特征“”。

2.用類比的方法學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖像及特征

反比例函數(shù)的圖像與特征，可以與正比例函數(shù)的情況進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)畫出兩種函數(shù)圖像，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：時(shí)，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖像都在第一、三象限；時(shí)，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖像都在第二、四象限，但是正比例函數(shù)的圖像是直線，而反比例函數(shù)的圖像是曲線，且兩種函數(shù)的增減性不同，讓學(xué)生明白，為什么反比例函數(shù)的增減性要強(qiáng)調(diào)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大（或減?。?。

3.用類比的方法求反比例函數(shù)的解析式

求反比例函數(shù)的解析式，可類似于求正比例函數(shù)解析式的方法，借助函數(shù)變量x、y一組值或者知道函數(shù)圖像上的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，就可以求出該反比例函數(shù)的解析式，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)待定系數(shù)法的理解。

用類比方法學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，加深了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，同時(shí)給學(xué)生以提示，知識(shí)之間是有聯(lián)系的，要學(xué)好反比例函數(shù)，就必須掌握好前面學(xué)過(guò)的函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生不斷完善自己的知識(shí)體系。

二、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念，數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微?！痹诜幢壤瘮?shù)課堂教學(xué)中，可結(jié)合具體題目對(duì)學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

例1.（2016成都）已知、兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖像上，且.則（填“>”或“<”）

分析：這道題沒(méi)有給出具體的值，難以通過(guò)計(jì)算求出的值，除非取一組的特殊值，但是這樣的做法缺乏一般性。此時(shí)給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，要求學(xué)生畫出反比例函數(shù)的圖像，根據(jù)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，把P、Q兩點(diǎn)放入圖像中（大致位置），觀察點(diǎn)的位置，非常容易得出的大小關(guān)系。

例2.已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1 ，a），則點(diǎn)B坐標(biāo)為__________

分析：先將點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1 ，a）代入，求出a=2，則A（-1，2），接下來(lái)常規(guī)做法是將（-1 ，2）代入，求出k值，再聯(lián)立方程組求出另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1 ，-2）。若本題借助數(shù)形結(jié)合思想，因?yàn)榉幢壤驼壤瘮?shù)的圖像均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，易知點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B（1，-2）。

在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生不能主動(dòng)畫出圖形，因此可以選擇一些類似的比較函數(shù)值大小，利用對(duì)稱性求點(diǎn)坐標(biāo)等變式題目給學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)解題時(shí)先畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想能直觀地解決問(wèn)題，讓他們獲得成功的體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)養(yǎng)成規(guī)范畫圖的習(xí)慣。

三、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想

解決問(wèn)題時(shí)，人的思維特點(diǎn)是化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知，所以轉(zhuǎn)化思想是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)重要的基本思想。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種重要的思維方法，反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義的教學(xué)就體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

如圖，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)M（x ， y）作x軸，y軸的垂線段ME、MF，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則矩形MEOF的面積為。即反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k的絕對(duì)值表示過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸，y軸的垂線，所得的矩形的面積。同樣道理，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)N作x軸垂線，垂直為點(diǎn)Q，則。

在與反比例函數(shù)有關(guān)的題型中，求圖形面積時(shí)常用轉(zhuǎn)化的思想。

例1.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)（x<0）的圖像上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ABCD，使點(diǎn)B、C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，則ABCD 的面積為（ ）

A. 1 B. 3 C. 6 D.12

分析：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB于點(diǎn)H，通過(guò)轉(zhuǎn)化，可得□ABCD的面積等于矩形AHOD的面積=，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，知，故選（ C ）

例2.（2016包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函數(shù)（x<0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，若，則k的值為______

分析：試著將△ABO的面積轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的圖形，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，易得出△ABM的面積等于△ABO面積二分之一，所以，結(jié)合的幾何意義，得=，又知此反比例函數(shù)圖像在第二象限，所以。

為了利用轉(zhuǎn)化思想解決與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積的題型，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行認(rèn)真分析，抓住題目的條件，合理地將所求圖形的面積轉(zhuǎn)化為與 有關(guān)的矩形或者三角形的面積，同時(shí)鞏固學(xué)生對(duì)學(xué)過(guò)圖形的理解與應(yīng)用水平。

四、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透方程思想

方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)分析題意，找到問(wèn)題中隱藏的數(shù)量關(guān)系，由問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系建立方程（組），需要的時(shí)候可以考慮引進(jìn)參數(shù)列出方程（組），然后通過(guò)解方程（組）使問(wèn)題得到解決。

例1.若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)（k≠0）的圖像交于點(diǎn)A（m，1），則k的值是_____

分析：由題意知，點(diǎn)A既在正比例函數(shù)上，又在反比例函數(shù)圖像上，所以以點(diǎn)A為橋梁得到方程組，從而解出k值，解本題的關(guān)鍵就是用到數(shù)學(xué)中的方程思想。

例2.（2014福州）如圖，已知雙曲線分別于x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線交于E、F兩點(diǎn).若AB=2EF，則k的值為（ ）

A. -1 B.1 C. D.

分析：解決本題，最重要的是要有方程思想。過(guò)點(diǎn)E作EN⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，易知△AOB、△EFH都是等腰直角三角形，，所以，，設(shè)F（t，-t + 2），則E（t +1， -t +1），由反比例函數(shù)解析式的變式“”得，解得，所以，所以，故選D。

由例2給我們以啟示，為了列出方程，必須熟練掌握常用圖形的特征，配合使用相關(guān)知識(shí)，將反比例函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)用含參數(shù)的式子表示出來(lái)，結(jié)合反比例函數(shù)的重要性質(zhì)“xy=k”列出方程，從而將問(wèn)題解決。

五、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透建模思想

在“反比例函數(shù)”這個(gè)章節(jié)里，教材第2節(jié)課探討了如何利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，解題的過(guò)程實(shí)際上就是在教學(xué)中滲透建模思想的過(guò)程，通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，合理建立數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題，得出關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述。

例：蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用此電源時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位 ）之間的函數(shù)圖像如圖所示，如果以蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過(guò)10 A，那么用電器的可變電阻應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

分析：觀察圖像，是雙曲線在第一象限的一支，所以可以判斷此函數(shù)是反比例函數(shù)，設(shè)，建立反比例函數(shù)模型，通過(guò)圖像上一點(diǎn)A（9，4），求出比例系數(shù)U=9×4=36，從而得出這個(gè)函數(shù)的解析式。由知 ，結(jié)合圖像得，用電器限制電流不得超過(guò)10 A，用電器的電阻應(yīng)控制在的范圍內(nèi)。

在教材練習(xí)題中，通過(guò)建立反比例函數(shù)模型解決問(wèn)題的題型較多。教學(xué)中，通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)變量滿足什么關(guān)系時(shí)可以建立反比例函數(shù)模型？最后形成統(tǒng)一共識(shí)，這些題目都有一個(gè)共同點(diǎn)：兩個(gè)變量的函數(shù)圖像是雙曲線或兩個(gè)變量的積是一個(gè)常數(shù)。

在本章教學(xué)中，一方面要讓學(xué)生熟悉反比例函數(shù)的定義，理解它的圖像及特征，明確比例系數(shù)“k”的幾何意義，掌握解與反比例函數(shù)有關(guān)的一些題型的技巧。另一方面，要以知識(shí)和技能為載體，適時(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)。

數(shù)學(xué)思想的形成是要有一個(gè)過(guò)程的，不可能一朝一夕就能形成，只有以問(wèn)題為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決，在“悟”的過(guò)程中，才能理解數(shù)學(xué)思想的作用，才能對(duì)知識(shí)進(jìn)行有效遷移。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)題目，一個(gè)問(wèn)題中可能不僅僅存在一種數(shù)學(xué)思想，可能是兩個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)思想的結(jié)合，這就要求教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)，做好知識(shí)遷移，逐步讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中掌握數(shù)學(xué)思想，并能在解決問(wèn)題的過(guò)程中，融會(huì)貫通，形成自己解決問(wèn)題的思想和方法。

參考文獻(xiàn)：

1.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀

2.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)