紀(jì)紅剛，宋漢文

(1.廣東省珠海市質(zhì)量計(jì)量監(jiān)督檢測(cè)所，廣東 珠海 519000；2.同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

自然激勵(lì)技術(shù)在時(shí)延相關(guān)白噪聲激勵(lì)系統(tǒng)中的應(yīng)用

紀(jì)紅剛1，宋漢文2

(1.廣東省珠海市質(zhì)量計(jì)量監(jiān)督檢測(cè)所，廣東 珠海 519000；2.同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

工況模態(tài)分析（operational modal analysis，OMA）是一種只基于輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的技術(shù)。由于系統(tǒng)所受激勵(lì)未知，通常假設(shè)其為互不相關(guān)的白噪聲。自然激勵(lì)技術(shù)（natural excitation technique，NExT）正是一種基于該假設(shè)的從響應(yīng)數(shù)據(jù)中提取自由衰減信號(hào)的高效方法。然而對(duì)于真實(shí)工況，系統(tǒng)所受激勵(lì)之間互不相關(guān)的假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格，例如行駛的車輛等所受激勵(lì)為時(shí)間延遲相關(guān)的白噪聲。針對(duì)這類情況，基于復(fù)模態(tài)系統(tǒng)討論NExT理論的適用性。結(jié)果表明，NExT是否適用取決于從相關(guān)函數(shù)中截取的用來(lái)進(jìn)行OMA分析的數(shù)據(jù)段的位置，當(dāng)數(shù)據(jù)段位于T＞ε區(qū)間內(nèi)，NExT是適用的。在ε已知的情況下，可以基于NExT對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行工況模態(tài)分析。最后通過(guò)仿真進(jìn)一步驗(yàn)證該結(jié)論。

振動(dòng)與波；工況模態(tài)分析；自然激勵(lì)技術(shù)；脈沖響應(yīng)函數(shù)

有些研究對(duì)象或者無(wú)法施加人工激勵(lì)，如在軌飛行器，或者人工激勵(lì)代價(jià)昂貴或有破壞性，如橋梁、高聳結(jié)構(gòu)、海洋平臺(tái)，或者結(jié)構(gòu)在工作狀態(tài)下自身承受的環(huán)境激勵(lì)不可測(cè)控，如機(jī)翼顫振、橋梁風(fēng)振、機(jī)床切削顫振以及地震等情形，如何直接利用工況條件下的響應(yīng)數(shù)據(jù)提取其模態(tài)參數(shù)，得到了眾多學(xué)者的關(guān)注[1–3]。工況模態(tài)分析（Operational Modal Analysis，OMA）的提出及發(fā)展解決了激勵(lì)不易獲取的難題，它是一種只基于輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的技術(shù)。

在OMA情形下，激勵(lì)力是不可知的，通常假設(shè)為白噪聲?；谠摷僭O(shè)，James III提出了自然激勵(lì)技術(shù)（natural excitation technique，NExT）[4–7]，該理論指出單輸入白噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)位移響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)含有結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)信息，并且證明了相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)具有相似的表達(dá)形式，可用于模態(tài)參數(shù)的時(shí)域辨識(shí)。這為環(huán)境激勵(lì)下系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的提取提供了一條新的途徑[8–10]。對(duì)于多輸入情況下系統(tǒng)受環(huán)境激勵(lì)時(shí)位移響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)以及模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，鐘軍軍等進(jìn)行了研究[11–12]。對(duì)于NExT在復(fù)模態(tài)系統(tǒng)中的適用性，韓海明，秦飛等進(jìn)行了一系列的探索[13–14]。

這些使用NExT理論進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的工作，均是基于系統(tǒng)所受激勵(lì)為互不相關(guān)的白噪聲這一假設(shè)，該假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格。在實(shí)際工況中，有些激勵(lì)并不是完全互不相關(guān)的，例如列車行進(jìn)時(shí)，后輪受到的路面激勵(lì)與前輪始終有一個(gè)時(shí)間差，可以認(rèn)為他們所受的激勵(lì)是時(shí)間延遲相關(guān)的白噪聲[15]。本文在NExT理論基礎(chǔ)上，基于復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的位移響應(yīng)，探討系統(tǒng)在受時(shí)間延遲相關(guān)白噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)系。以激勵(lì)延遲的時(shí)間大小ε為分界點(diǎn)，分T＞ε以及0＜T＜ε兩種情況，討論了NExT理論的適用性。結(jié)果表明當(dāng)從相關(guān)函數(shù)所截取的用于工況模態(tài)分析的數(shù)據(jù)段在T＞ε區(qū)間時(shí)，NExT是適用的；而數(shù)據(jù)段在0＜T＜ε區(qū)間時(shí)，NExT已經(jīng)不可用。因此，在ε已知的情況下，可以基于NExT對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行工況模態(tài)分析。最后通過(guò)仿真證實(shí)了這一結(jié)論。

1 自然激勵(lì)技術(shù)

N自由度線性時(shí)不變復(fù)模態(tài)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程為

式中[M]、[C]和[K]分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；{x(t)}為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)；{f(t)}為作用在系統(tǒng)上的激勵(lì)。

如果系統(tǒng)在k點(diǎn)受的激勵(lì)為fk(t)，則第i測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)為

{Φ}r為系統(tǒng)的第r階模態(tài)振型；diag為系統(tǒng)矩陣關(guān)于復(fù)振型在2N空間加權(quán)正交得到的矩陣；*為共軛運(yùn)算。

當(dāng)式(2)中的f(t)為在t=0處的單位脈沖函數(shù)即δ(t)函數(shù)時(shí)，就得到系統(tǒng)在k點(diǎn)激勵(lì)i測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)hik(t)

若激勵(lì)不只作用在k點(diǎn)，而是在L個(gè)激勵(lì)點(diǎn)上都有，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性，由式(2)可得i測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)為

第j測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的表達(dá)式同式(4)。由相關(guān)函數(shù)的定義，第i、j測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)Rij(T)可以寫為

式中

式中E[]為期望運(yùn)算。

當(dāng)f(t)為高斯白噪聲時(shí)，f(t)的自相關(guān)函數(shù)為

式中αk為常數(shù)，表示白噪聲激勵(lì)的強(qiáng)度。

假定在不同的激勵(lì)點(diǎn)上，系統(tǒng)受的高斯白噪聲激勵(lì)互不相關(guān)，那么激勵(lì)的相關(guān)函數(shù)將化簡(jiǎn)為

將式(8)及式(7)代入式(5)中，并利用δ(t)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)得

2 時(shí)間延遲相關(guān)的白噪聲

對(duì)于車輛一類的系統(tǒng)，正常前進(jìn)時(shí)，后輪將間隔一定的距離，經(jīng)歷前輪所走過(guò)的路。這個(gè)空間上的距離在時(shí)間上體現(xiàn)為延遲。為描述這一情況，設(shè)系統(tǒng)在l和m激勵(lì)點(diǎn)受到的白噪聲激勵(lì)分別為fl(t)和fm(t)，其中fl(t)與fm(t)有一個(gè)時(shí)間差ε，即

根據(jù)高斯白噪聲的性質(zhì)有

將式(11)及式(12)代入到式(5)得

根據(jù)δ函數(shù)的性質(zhì)，并注意積分的上下限，可以消去里面的一重積分。討論σ及τ的積分上下限：

1.當(dāng)T＞ε時(shí)，

此時(shí)，式(13)可以寫為

2.當(dāng)0＜T＜ε時(shí)，

此時(shí)，式(13)可以寫為

對(duì)式(17)求積分得

注意到式(18)中的第二項(xiàng)不是衰減的正弦波的疊加，不能寫成與脈沖響應(yīng)函數(shù)相似的表達(dá)形式，因此NExT理論在此時(shí)不再適用。

綜上所述，受時(shí)延相關(guān)白噪聲激勵(lì)系統(tǒng)的響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)在0＜ε＜T時(shí)，不能寫成與脈沖響應(yīng)函數(shù)相似的表達(dá)形式，NExT理論在此時(shí)不再適用；但是在T＞ε時(shí)有著相似的表達(dá)形式，NExT理論依然適用。因此在已知ε的情況下，可以在工況下對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析。

3 仿真算例

如圖1所示為6自由度系統(tǒng)。

圖1 仿真系統(tǒng)

圖1中，質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼比矩陣分別為

f1(t)為服從N(0,8080)的高斯白噪聲，其余力為0。f3(t)與f1(t)的相關(guān)函數(shù)Rf3,f1如圖1所示。

圖2只給出了Rf3,f1的前3 s曲線，從圖中可以看出f3(t)滯后f1(t)的時(shí)間為1 s。

將f1(t)及f3(t)作用在系統(tǒng)上，采集系統(tǒng)響應(yīng)作響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)，取第1 s至第2 s之間的數(shù)據(jù)段進(jìn)行工況模態(tài)分析。穩(wěn)態(tài)圖如圖3所示。

從圖3中可以清晰地看到6階模態(tài)。將仿真給定的頻率與辨識(shí)的頻率進(jìn)行比較，如表1所示。

從表1可以看到，頻率辨識(shí)的可信度非常高。另外，辨識(shí)的振型如圖4所示，為了便于比較，將給定的振型與辨識(shí)的振型均按其2-范數(shù)進(jìn)行歸一化處理。

在圖4中，粗虛線為給定的系統(tǒng)固有振型，細(xì)實(shí)線為辨識(shí)的固有振型。粗虛線與細(xì)實(shí)線吻合得很好。

表1和圖4表明，系統(tǒng)在受時(shí)延相關(guān)的白噪聲激勵(lì)時(shí)，在已知時(shí)延大小ε時(shí)，基于NExT進(jìn)行工況模態(tài)分析是正確合理的。

圖2 f3(t)與f1(t)的相關(guān)函數(shù)Rf3,f1

圖3 工況模態(tài)分析穩(wěn)態(tài)圖

表1 給定的與辨識(shí)的固有頻率/Hz

4 結(jié)語(yǔ)

本文在自然激勵(lì)技術(shù)的基礎(chǔ)上，基于復(fù)模態(tài)系統(tǒng)討論了受時(shí)間延遲相關(guān)白噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系。給出了NExT的適用性條件，即從相關(guān)函數(shù)中所取的用于OMA分析的數(shù)據(jù)段需位于T＞ε區(qū)間。并且在已知激勵(lì)間時(shí)間延遲ε的情況下，基于NExT對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了工況模態(tài)分析。本文的方法進(jìn)一步拓展了NExT的適用范圍，具有一定的工程意義。

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圖4 給定的與辨識(shí)的固有振型

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Application of Natural Excitation Technique in the Structures under Time-delay-correlative White Noise Excitations

JI Hong-gang1,SONG Han-wen2
(1.Guangdong Zhuhai Supervision Testing Institute of Quality and Metrology,Zhuhai 519000,Guangdong China;2.School ofAerospace Engineering andApplied Mechanics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Operational modal analysis(OMA)is a technique for system modal parameter identification based on outputonly data.Since the excitation of the system is unknown,it is usually assumed to be an independent Gaussian white noise.The natural excitation technique(NExT)greatly promotes the development of OMA,which is an efficient method for extracting free attenuation response signals from output-only data.However,for real systems,the assumption of the independent excitations is over-strict.For example,the excitations of the traveling vehicles are time-delay-correlative white noises.Therefore,the applicability of NExT in this case is discussed based on the complex modal system.The results show that the applicability of NExT depends on the time delayε.When the data fragment cut from the correlation function of the system responses locates in the interval ofT＞ε,NExT is valid and otherwise,the NExT is invalid.Finally,a simulation is done to testify the conclusion.

vibration and wave;operational modal analysis(OMA);natural excitation technique(NExT);correlation function

O321；O327

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.06.042

1006-1355(2017)06-0211-05

2017-04-14

紀(jì)紅剛（1973-），男，吉林省人，工程師，主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)測(cè)試與模態(tài)分析。

宋漢文，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:hwsong@#edu.cn