承彥人

[摘 要] 有效的高中數(shù)學教學，一定是基于對學生學習過程的研究的. 函數(shù)是高中數(shù)學的重要知識，一定程度上代表著學生數(shù)學學習的規(guī)律所在. 研究學生在函數(shù)學習過程中的規(guī)律，可以讓教師更好地看清學生的學習過程，可以讓學生的學習更為有效，當然也可以促進教師自身的專業(yè)成長. 在經(jīng)驗積累的過程中借鑒相關的教育理論，可以使教師對學生的學習過程把握得更為清晰與準確.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；數(shù)學學習；學習過程

無論是此前的有效教學的討論，還是現(xiàn)在核心素養(yǎng)及其培養(yǎng)的討論，實際上指向都是一樣的，那就是對學生的指向，但矛盾的是，真正的教學過程中，教師往往又是不太關注學生的學習過程，而是更關注自己的教學過程. 但教學與學習畢竟主體不同，過程也不同，因此從真正有效的角度來看，還是研究學生的學習過程對教師的教學來說更有意義，而事實上這也是“以學定教”的真實含義. 而將教學研究的視角轉移到學生的學的過程中時，可以發(fā)現(xiàn)學生的學真的是一個非常復雜的過程，有時即使積累了經(jīng)驗，也難以從理論上尋找到很好的解釋，這就使得對高中學生數(shù)學學習過程的研究出現(xiàn)了一些挑戰(zhàn)，而面對這些挑戰(zhàn)并提出自己的一些樸素觀點，是可以促進教師自身的專業(yè)成長的. 本文試以高中函數(shù)概念的教學為例，談談一些筆者的淺顯觀點.

[?] 學生真的學懂了函數(shù)嗎

筆者曾經(jīng)做過試驗，在函數(shù)知識教完一段時間之后去問學生“何為函數(shù)”，而學生的回答則比較一致：他們都是通過舉例，如相對熟悉的一次、二次函數(shù)，與高中學的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等. 為什么都是用舉例的方式來證明自己對函數(shù)的理解呢？

至少從課程、教師的角度來看，對函數(shù)的理解不是通過例子來進行的，甚至是在函數(shù)概念構建的起始課上，教師也常常是從數(shù)學模型等角度引入的，是用集合和對應法則來定義函數(shù)的，盡管這與真正的數(shù)學意義上的函數(shù)理解還有一定距離（教科書的定義方式與學生的學習層次與能力相關），但學生所理解的函數(shù)還是脫離了這一基本面，還是從具體的函數(shù)例子角度建立理解的. 從某種程度上來講，這也是學習的必然結果，事實上成人的每一個知識的學習其實最牢固的“拋錨”基礎就是例子，因此學生通過例子來闡述自己對函數(shù)的理解是必然的. 但這種必然其實又是一種低水平的必然，說明學生并沒有真正把握住函數(shù)的基本要義，再加上日常的訓練都是以具體的習題來作為訓練的，不同的習題對應著不同的具體的函數(shù)例子，因此對函數(shù)的理解水平就定格于這樣的水平，也就是自然而然的結果.

當然，我們又不能認為學生這樣就是不懂函數(shù)，因為在函數(shù)知識的運用與解題中，學生所形成的關于函數(shù)的認識也許是默會的，其也能在學生的生活中發(fā)揮作用，這也算是懂函數(shù)的；但可以認為，這樣的懂是一種類似于默會的懂，至少從數(shù)學知識構建的角度來看，還不是真正的懂. 因為對函數(shù)的描述，至少也應當是從一個統(tǒng)一定義的角度進行的，不同的函數(shù)的例子應當是這個定義的衍生，建立這種從基本定義向具體事例的發(fā)散的函數(shù)理解，才是真正的函數(shù)理解.

[?] 學生怎樣才能學懂函數(shù)

真的從這個角度來讓學生懂函數(shù)，并不是一件輕而易舉的事情. 函數(shù)其實是高中數(shù)學知識體系中最為難懂的概念之一，也是諸多數(shù)學知識的發(fā)生聯(lián)系的重要“結點”. 目前對學生學習函數(shù)的心理機制據(jù)說研究還不夠深入，已有的理念也多是管中窺豹，但這樣的努力已經(jīng)足以讓普通數(shù)學教師有所收益了.

我國著名數(shù)學教育家章建躍先生在引用Schoenfeld等人的研究成果時，提到了知識獲取的四種水平：在模式水平上知識的宏觀結構；知識要素的具體界定、特例分析以及對某些限制條件等——對知識的細節(jié)處理；與支持知識的上層結構有關系——對知識聯(lián)系性的處理；在超出熟悉情境和個體建構在水平3上看到的概念要素的時候——知識綜合的、創(chuàng)造性的應用.

從學生函數(shù)學習的角度來看這四種水平，是可以尋找到比較典型的痕跡的：在函數(shù)起初學習的時候，學生是將函數(shù)的概念建立在集合這一概念基礎之上的，事實上對應法則在此之前遇到很少，也只有在函數(shù)概念建立的時候，才對其有所強調(diào)，這就是在有認知水平上的知識建構；其后，一個具體函數(shù)的學習，可以讓學生從各個角度、不同要素處構建對函數(shù)的理解，這就是對知識細節(jié)的處理（實際上學生對函數(shù)理解的事例化，就是從此時開始的）；再然后，就是讓學生在各個具體函數(shù)的學習中形成一種對函數(shù)的整體認知，尤其是對函數(shù)定義的理解的深入——這是傳統(tǒng)教學中容易忽視的，因為正常的教學都是向“前”看的，很少有“回頭”反思基本定義的，但這個過程很重要，這是一個通過具體函數(shù)事例“反哺”函數(shù)基本定義的過程，是讓學生在通過具體事例深化了對函數(shù)定義的理解之后形成基本理解的過程，是學生真正懂得函數(shù)的深化之舉；而其后的第四步綜合性、創(chuàng)造性地運用，則實際上是一個函數(shù)理論聯(lián)系實際的過程，傳統(tǒng)教學中已經(jīng)重視，不贅述.

從這個研究成果角度來看，函數(shù)概念的理解應當是建立在概念基礎之上的，也就是說不同函數(shù)例子應當是函數(shù)這個基本概念的衍生，理解函數(shù)應當從函數(shù)定義出發(fā)，從集合與對應法則出發(fā)，從不同函數(shù)事例中提取出不同集合與對應法則，才是理解函數(shù)的根本.

[?] 教師如何促進學生學習

可以肯定的是，學生在函數(shù)學習的過程中，自己是不可能生成讓自己理解函數(shù)的情境的，教師應當發(fā)揮主導作用. 那基于學懂函數(shù)概念的需要，教師如何促進學生的學習呢？筆者的經(jīng)驗有三：

第一，重視函數(shù)概念的最初構建. 事實上，高中階段對函數(shù)概念的教學采用過多種定義方式，今天的基于集合與對應法則的函數(shù)定義，是描述形式較為簡潔，理解起來較為簡單的一種方式. 可能很少有人意識到，其實函數(shù)的定義原本就是對各種具體函數(shù)進行了分析綜合，進行了抽象概括后的產(chǎn)物，將這種基于集合與對應法則的函數(shù)定義當成整個函數(shù)體系知識學習的始祖，是數(shù)學課程專家思維的結晶，本來就應當是函數(shù)知識體系構建的基點. 但正是因為其太過基礎了，以至于在實際教學中常常忽視了它，再加上與之相關的試題較少也比較簡單，因此實際教學中又進一步忽視了，如此遞進式忽視，學生會引起重視那才是怪事. 而為了讓學生理解函數(shù)，筆者以為這里需要矯枉過正，需要真正從源頭處重視函數(shù)的教學.endprint

第二，重視具體函數(shù)對函數(shù)概念的反哺. 在建立了函數(shù)概念之后，必然要進行多種函數(shù)的學習，這些函數(shù)作為在更為具體的情境中集合與對應法則的具體運用，會有特殊的理解，這種理解對于學生而言，實際上是思維的延伸. 但教師要注意的是，在學生思維延伸的過程中需要重視“回頭看”，要能夠讓學生認識到這些具體函數(shù)與最源頭處的那個函數(shù)的定義有著什么樣的聯(lián)系，只有這種聯(lián)系被學生建立起來時，學生才能意識到函數(shù)的一般性定義與具體情境下的定義的關系. 這實際上是一個上位概念與下位概念的關系，這種從屬關系的建立，是學生理解函數(shù)的關鍵.

第三，重視綜合情境中函數(shù)概念的創(chuàng)新應用. 數(shù)學知識的應用是當前高中數(shù)學教學中最為重視的內(nèi)容了，由于高考導向日趨科學，新的情境尤其是生活情境，常常出現(xiàn)在試題中，這就給學生將函數(shù)知識向生活延伸提供了可能. 這種延伸對于學生理解函數(shù)來說依然是重要的，尤其是學生在生活情境中發(fā)現(xiàn)集合的存在，發(fā)現(xiàn)對應法則的存在，發(fā)現(xiàn)基于兩者的函數(shù)關系的存在，這往往可以給學生理解函數(shù)提供有效的錨點，這是符合學生認知規(guī)律的，是得到多種不同學習心理理論支撐的.

函數(shù)教學在高中數(shù)學教學中跨度很大，延續(xù)的時間也很長，在這個時間段里讓學生依據(jù)上述思路，織起一個關于函數(shù)的網(wǎng)（而不是一條線），可以很好地促進學生對函數(shù)的理解.

[?] 在關注學習中研究教學

關注學生的學習過程對于教師來說是重要的，尤其是高中數(shù)學，忽視了學生在數(shù)學學習過程中邏輯的運用，忽視了學生在運用邏輯推理知識的時候用到哪些知識、忘記了哪些知識，都無法真正看懂學生是怎樣學習的. 函數(shù)作為高中數(shù)學最核心的內(nèi)容之一，如果教師能夠以之為突破口，最大程度上弄懂學生在學習中的過程，就可以起到突破已有教學思路，抵達新的教學水平的作用.

當然，這個目標的實現(xiàn)可能還有些遙遠，但可以肯定的是，在數(shù)學教學中通過對學生學習細節(jié)的關注，是可以尋找到學生數(shù)學學習的一些基本規(guī)律的. 如果在此過程中還能夠?qū)ふ业揭恍┙虒W理論來引導自身的實踐，那更是一件好事. 事實上，認知發(fā)展心理學中的相關理論，對于解釋學生的學習過程還是有一定的積極作用的.

總的來說，在關注學生學習的過程中研究教學，確實是一條把握學生學習過程，實現(xiàn)自身專業(yè)成長的途徑，沿著這條途徑，是可以窺得高中數(shù)學教學的真諦的.endprint