江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二高級(jí)中學(xué) (215121)

南愛玲

一道例題的多視角探究

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二高級(jí)中學(xué) (215121)

南愛玲

著名數(shù)學(xué)家波利亞在其著作《怎樣解題》中給出一張解題表，包括弄清問題，擬定計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，回顧.弄清問題就是我們通常說的審題，分析理解題目中的條件，研究問題的結(jié)論；擬定解題方案，這一過程中要有理性思維，分析解決問題需要的條件，如何實(shí)現(xiàn)與已知條件之間的轉(zhuǎn)化；實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，就是具體解決問題的過程，在解題過程中不斷調(diào)整策略；回顧，就是解題后進(jìn)行總結(jié)和反思，完善解題認(rèn)知結(jié)構(gòu).而解題教學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)重要組成部分，教師不僅要教會(huì)學(xué)生怎樣解題，還應(yīng)該探究數(shù)學(xué)思維的過程，解題后養(yǎng)成回頭看一看的習(xí)慣，也就是我們通常所說的解題反思，反思解決問題的方法和思路.本文遵循波利亞的解題步驟，從不同的視角對(duì)一道典型例題進(jìn)行探究.

一、弄清問題，高屋建瓴

圖1

審題是解題的首要環(huán)節(jié)，深入細(xì)致的審題是順利解題的前提，因此在平時(shí)的解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生重視審題.

審題就是要弄清楚題目的背景，分析題目中的已知條件，弄清要解決的問題.這是一道求直線方程的問題，直線的方程在江蘇省考試說明中是C級(jí)要求內(nèi)容，要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)或較為困難的問題.本題以橢圓為背景，給定橢圓上一定點(diǎn)A(2,3)，求兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2對(duì)點(diǎn)A張角的平分線，從難易程度上來講，屬于基礎(chǔ)題，但是判斷一道題好不好，難易不是唯一的標(biāo)準(zhǔn)，還要看這道題是否典型，是否包含了重要的基礎(chǔ)知識(shí)，解題過程中是否能夠多角度探究，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，從這個(gè)角度看，本題很典型.因?yàn)轭}目中橢圓的方程已知，可以求出橢圓兩焦點(diǎn)F1,F2的坐標(biāo)，而這個(gè)角平分線所在直線必經(jīng)過點(diǎn)A，那么要求該直線的方程，只要再求出直線上一點(diǎn)坐標(biāo)或者求出該直線的斜率即可.

二、擬定計(jì)劃，深謀遠(yuǎn)慮

擬定計(jì)劃也就是根據(jù)題目中的條件探究解題思路的過程.求直線的方程這種題型對(duì)學(xué)生來講是一類常見題型，在讀完題目后學(xué)生的思路應(yīng)該就出來了，兩類思路：只要再求出直線的另一點(diǎn)的坐標(biāo)或者求出直線的斜率.第一種思路中要考慮的問題是求哪一點(diǎn)的坐標(biāo)呢？我們可以考慮該直線與x軸或者y軸的交點(diǎn)，當(dāng)然也可以任意取一點(diǎn)P(異于點(diǎn)A)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，問題也就隨之解決.而第二種思路中求直線的斜率，相對(duì)來講思維難度要大一點(diǎn).那么這時(shí)候要考慮的問題就是求斜率的方法有哪些呢？本題中哪些方法可行？順著這個(gè)思路尋求問題的解決辦法.這是一道比較簡單的求直線問題，在實(shí)際教學(xué)中，有的老師處理這個(gè)問題時(shí)可能一帶而過，那就很遺憾了，沒有從各個(gè)視角深入探究這個(gè)問題，也就錯(cuò)失了利用這道題拓展學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力.

三、實(shí)施計(jì)劃，靈活應(yīng)變

(一)求點(diǎn)

(1)特殊點(diǎn)的視角

在求點(diǎn)時(shí)往往選擇直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，原因是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)為0，可以簡化運(yùn)算.這其實(shí)也是特殊化的具體應(yīng)用，特殊化是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中尤其是解析幾何中應(yīng)用較為廣泛，通過對(duì)某種特殊位置的考察，來探究一般情況的性質(zhì).

(2)直線方程的定義視角

所謂求直線的方程，其本質(zhì)就是求直線上任意一點(diǎn)P(x,y)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間滿足的關(guān)系.如果從這個(gè)角度考慮，我們就可以根據(jù)角平分線的性質(zhì)直接求出直線的方程.

(3)角平分線定理的視角

除了角平分線的性質(zhì)，我們還可以從角平分線定理的角度來求點(diǎn).根據(jù)角平分線定理，可以求出直線l與x的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線l的方程.

(4)三角形的視角

從三角形的角度來考察本題，由角平分線聯(lián)想到等腰三角形中三線合一的性質(zhì)，此題也迎刃而解.

圖2

構(gòu)建等腰三角形，如圖2，延長AF2至AD使AD=AF1=5，則知點(diǎn)D(2,-2)，由等腰三角線三線合一知F1D的中點(diǎn)M(0,-1)在直線l上，進(jìn)而求出直線方程.解決問題的過程中用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，這是數(shù)學(xué)思維必備能力之一.

(二)求斜率

(1)向量的視角

(2)三角函數(shù)的視角

(3)橢圓切線的視角

本題以橢圓為背景，而橢圓的幾何光學(xué)性質(zhì)等也為解題提供了不一樣的視角.

四、反思總結(jié)，融會(huì)貫通

反思是一種積極的探究行為，通過反思，有利于提高發(fā)現(xiàn)問題的能力，有利于完善解題過程，增強(qiáng)自我調(diào)控意識(shí).反思解題的過程，運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，反思解題策略，在反思的過程中，加深對(duì)問題本質(zhì)的理解，提煉對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí).本題是一道基礎(chǔ)題，學(xué)生很容易想到第一種求點(diǎn)的方法，如果問題到這一步就結(jié)束，可以說是輕描淡寫的收?qǐng)?，那么師生就?huì)錯(cuò)過多視角多方位的對(duì)這個(gè)問題的理解和探究.求點(diǎn)的坐標(biāo)，那么求哪些點(diǎn)的坐標(biāo)呢？有哪些不同的方法呢？如果在平時(shí)的解題中不僅僅滿足于把問題解決了，而是習(xí)慣性地追問自己：還有不一樣的方法嗎？還有更好的方法嗎？如果經(jīng)常這樣追問自己，解題的方法和思路就會(huì)越來越寬，解題能力也會(huì)不斷提高.本題是典型的求直線方程問題，除了求點(diǎn)，很自然就會(huì)想到，求斜率行不行呢？怎么去求斜率呢？這樣思路就打開了.問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關(guān)的問題卻有著內(nèi)在的聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問題？他和哪些問題有聯(lián)系？能否受這個(gè)問題的啟發(fā).將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效的整合，創(chuàng)造性地設(shè)問，在不斷的知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗(yàn)“創(chuàng)造”帶來的樂趣.

在平時(shí)的解題教學(xué)中，要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題回顧和總結(jié)，完善解題認(rèn)知結(jié)構(gòu).在解題后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題中用到的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想方法和解題技巧進(jìn)行回顧，對(duì)典型的問題進(jìn)行深入地挖掘、研究、引申和推廣，使學(xué)生在回顧反思的過程中親身體驗(yàn)，總結(jié)和積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)思維能力.