李凱

【內(nèi)容摘要】從心理學(xué)中“新手與專家比較”的角度研究學(xué)生的解題過程，可以避免機(jī)械的行為主義。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生（新手）較快地達(dá)到教師（專家）水平，需要從學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、問題表征方式以及教學(xué)策略上入手，同時(shí)還需要關(guān)注一些教學(xué)細(xì)節(jié)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 解題教學(xué) 心理學(xué)視角

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題教學(xué)是最重要的環(huán)節(jié)之一，為了迅速達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，很多教師常常會(huì)組織學(xué)生進(jìn)行大量地重復(fù)地訓(xùn)練，以求學(xué)生自己形成良好的解題直覺，然而這樣機(jī)械式的重復(fù)，有時(shí)候往往事倍功半，甚至反而使師生都覺得疲憊不已，苦不堪言。在試圖有所改變的時(shí)候，筆者選擇了學(xué)習(xí)心理學(xué)作為解剖自己教學(xué)的手術(shù)刀，結(jié)果發(fā)現(xiàn)之前的做法帶有明顯的行為主義的影子：通過重復(fù)訓(xùn)練，來讓學(xué)生形成解題本能[1]。而事實(shí)上要想達(dá)到同樣的目標(biāo)，基于“專家與新手”的相關(guān)理論研究，對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，是一條更有價(jià)值的途徑。

一、 “新手與專家”的理論研究

上世紀(jì)，拉金（J.H.Larkin）等人對(duì)新手與專家在面對(duì)問題時(shí)的解決思路進(jìn)行了研究，結(jié)果反映出兩者在知識(shí)結(jié)構(gòu)與問題表征上存在著明顯的差異。在心理學(xué)中，知識(shí)結(jié)構(gòu)是指學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)之后形成的知識(shí)體系的構(gòu)成情況與結(jié)合方式；問題表征是解題的起點(diǎn)，是指學(xué)生在面對(duì)問題的時(shí)候，建立起的從問題解決的起始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)之間的認(rèn)識(shí)。

研究發(fā)現(xiàn)，新手在解決問題的過程中所運(yùn)用的知識(shí)呈現(xiàn)出“小單元”的情形，而專家則是將這些“小單元”組織成了“大單元”。打個(gè)比方，這就跟吃葡萄一樣，新手一拿一個(gè)，而專家一拿一串；而從問題表征的角度來看，新手解決問題時(shí)往往步驟較多，且通常都是思考一步、核對(duì)一步，不容易形成系統(tǒng)的思路；而專家則能夠運(yùn)用自動(dòng)化的解題步驟迅速解決問題。有意思的是，當(dāng)專家遇到不熟悉的問題，或?qū)⑵渲糜谝粋€(gè)新的領(lǐng)域時(shí)，其表現(xiàn)與新手基本無異。

二、 新手慣用的問題解決策略

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，學(xué)生無疑是以新手的身份存在的。比如在圓錐曲線新課教學(xué)時(shí)給出這樣的問題：已知定點(diǎn)F和定直線l，F(xiàn)不在直線l上，動(dòng)圓M過點(diǎn)F且與直線l相切。求證：圓心M的軌跡是一條拋物線。據(jù)筆者的觀察與調(diào)查，學(xué)生由于是初學(xué)，所以往往會(huì)從拋物線的判定角度切入，然后調(diào)用大腦中已經(jīng)學(xué)過的拋物線的定義，并嘗試將原題中信息與拋物線定義“匹配”起來。這里，學(xué)生搜索拋物線定義是知識(shí)結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)，而尋求“匹配”關(guān)系則是問題表征的一種體現(xiàn)。調(diào)查結(jié)果表明，新手在遇到問題的時(shí)候，通常都會(huì)基于問題去尋找相應(yīng)的數(shù)學(xué)定義、公式或規(guī)律，然后嘗試到題目中尋找有用的語言來匹配定義，或?qū)ふ覕?shù)據(jù)來代入公式以求解。這不僅反映了學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的簡單，而且這樣的問題表征方式?jīng)Q定了其后的解題策略往往是低效的。

“逆推式”就是新手慣用的問題解決策略，即從習(xí)題的所求問題向習(xí)題所給條件的推理。譬如上例中，證明過程常常是這樣寫的：因?yàn)閯?dòng)圓M過F與直線l相切，所以MF與M點(diǎn)到直線的距離相等，由拋物線定義可得，M點(diǎn)軌跡為以F為焦點(diǎn)，以直線l為準(zhǔn)線的拋物線方程。而這個(gè)過程與學(xué)生的推理過程是相反的，有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，絕大多數(shù)問題的解決基本上都是這樣的一個(gè)過程，因此有不少學(xué)生總結(jié)：將自己的思考過程反過來寫，就是解題過程了！這是典型的逆推思維，而學(xué)生之所以下意識(shí)地選擇這一策略，與其知識(shí)結(jié)構(gòu)是密切相關(guān)的，學(xué)生不可能有豐富的知識(shí)結(jié)構(gòu)，其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系遠(yuǎn)不如教師那般嫻熟，這就“逼”著學(xué)生只可能逆推，而這種思維方式一旦形成，又會(huì)影響學(xué)生的問題表征，從而形成某種意義上的惡性循環(huán)。

三、 新手變成專家的策略探究

相對(duì)于新手而言，專家（教師）通常不會(huì)采用逆推的解題策略，而是采用從已知到目標(biāo)的推理策略。如果教師注意反思自己的解題教學(xué)，會(huì)發(fā)現(xiàn)總喜歡從條件出發(fā)，去一步步走向目標(biāo)，此過程中還會(huì)不經(jīng)意地有一些新的發(fā)現(xiàn)——題目沒讓求，但可以得到一系列的子結(jié)論。此時(shí)，學(xué)生常常也會(huì)問：你是怎么想得到的呢？這就意味著學(xué)生也是渴求這樣的解題策略的。筆者經(jīng)過實(shí)踐摸索，總結(jié)出了可以讓新手變成專家的兩種有效策略。

1.幫助學(xué)生建立和完善思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖最大的價(jià)值在于可以引導(dǎo)學(xué)生在尋找數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的過程中擁有清晰的思路，需要注意的是，當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)上現(xiàn)成的思維導(dǎo)圖非常多，但筆者不建議直接給學(xué)生，因?yàn)樗季S導(dǎo)圖是思維的產(chǎn)物，如果不經(jīng)學(xué)生的獨(dú)立思考和知識(shí)梳理而直接呈現(xiàn)結(jié)果，這只能引導(dǎo)學(xué)生去機(jī)械記憶，這就失去了思維導(dǎo)圖運(yùn)用的本意了。簡單一點(diǎn)說，就是要讓學(xué)生經(jīng)歷“導(dǎo)”的過程，所導(dǎo)之圖可以是粗糙的，但只要日進(jìn)一步，學(xué)生就一定會(huì)更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

2.培養(yǎng)學(xué)生良好的問題表征能力

心理學(xué)家普遍認(rèn)為，問題表征決定著解題的質(zhì)量[2]。筆者認(rèn)為培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)問題表征能力應(yīng)注重以下兩點(diǎn)：一是讓學(xué)生養(yǎng)成良好的由條件到目標(biāo)的推理習(xí)慣。這里有一個(gè)重要細(xì)節(jié)，就是讓學(xué)生在日常的習(xí)題訓(xùn)練中，不要急于獲得最終的答案，而是要思考由已知條件能夠推理出哪些可能的結(jié)果，然后判斷題目所提的問題在不在自己的推理范圍之內(nèi)，而筆者的策略之一，常常是只提供題干而不問問題；二是讓學(xué)生“大聲”說出推理思路，“說出來”要優(yōu)于“想得到”，因?yàn)檫@是將思維轉(zhuǎn)換成語言的過程，“大聲”要優(yōu)于“輕聲”，因?yàn)槠淇梢蕴岣邔W(xué)生的注意力，可以“逼著”學(xué)生運(yùn)用更嚴(yán)密的邏輯、更清晰的語言來讓自己的思路顯現(xiàn)出來。

總之，在基于學(xué)生核心素養(yǎng)的教育改革大背景下，死記硬背和題海戰(zhàn)術(shù)等教學(xué)手段早就變得不合時(shí)宜，教師需要以科學(xué)的方法論和心理觀為指導(dǎo)，在教學(xué)的方法和策略上作出調(diào)整，來適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自身發(fā)展和全面發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 范建瑋. 數(shù)學(xué)解題的心理學(xué)研究綜述[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究， 2010， 29（11）：2-4.

[2] 范建瑋. 關(guān)于數(shù)學(xué)解題的心理學(xué)研究[D]. 重慶師范大學(xué)， 2003.

（作者單位：江蘇省啟東市呂四中學(xué)）endprint