邵英春

[摘 要]

簡(jiǎn)述中學(xué)數(shù)學(xué)探索規(guī)律題的類型及解法，對(duì)圖形類探索規(guī)律進(jìn)行了重點(diǎn)研究，按照解題涉及方法分為等比型、等差型、周期型三種。試圖用簡(jiǎn)潔的方法分析探索過(guò)程，使讀者感受數(shù)學(xué)美，感受探索規(guī)律的快樂(lè)，提高邏輯推理能力、提升解決數(shù)學(xué)難題的信心。

[關(guān)鍵詞]

初中數(shù)學(xué)；相似；等比；周期

探索規(guī)律題在中考中一直備受青睞。此類試題結(jié)構(gòu)獨(dú)特，綜合性強(qiáng)，區(qū)分度明顯，能比較系統(tǒng)地考察學(xué)生的邏輯推理能力，分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，還能讓學(xué)生在解題過(guò)程中感受數(shù)學(xué)文化、拓寬數(shù)學(xué)視野，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

探索規(guī)律型問(wèn)題指的是根據(jù)已知條件或所提供的若干個(gè)特例，發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含規(guī)律的一類探索性問(wèn)題。尋找規(guī)律的過(guò)程是一種創(chuàng)造性思維的過(guò)程，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法。根據(jù)對(duì)中考試卷的研究以及實(shí)際教學(xué)的總結(jié)，筆者認(rèn)為探索規(guī)律題大致有以下兩種類型：

第一類：探索數(shù)學(xué)運(yùn)算（或變化）的規(guī)律問(wèn)題

這一類比較簡(jiǎn)單，例如：（2016丹東）觀察下列數(shù)據(jù)：-2，[52]，[-103]，[174]，[-265]，…它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第11個(gè)數(shù)據(jù)是_______.

沒(méi)難度，這里不做贅述。

第二類：探索圖形變化規(guī)律的問(wèn)題

這類題以圖形的變化規(guī)律呈現(xiàn)，題目看上去有點(diǎn)長(zhǎng)，圖形變化復(fù)雜但很有趣。只要認(rèn)真審題，分析圖形的形成過(guò)程及變化趨勢(shì)，數(shù)形結(jié)合找出關(guān)鍵，就會(huì)大幅度降低題目的難度。

筆者把這一類按解題涉及的知識(shí)分成等比型、等差型和周期型三種。

A：等比型試題

這個(gè)類型在近年中考出現(xiàn)的頻率最高。解題常用方法有兩種，一種方法是利用相似。首先考慮所求圖形是否相似。如果相似；只需求出第一個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)的結(jié)果及相似比；如果不相似就求出前3～4個(gè)特殊結(jié)果，然后通過(guò)所列算式或其結(jié)果找規(guī)律求解。另一種方法是利用坐標(biāo)。

例1：2016盤錦

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠MOA1=30°，四邊形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，AnBnCnBn+1都是菱形，點(diǎn)A1，A2，A3 … An在x軸上，點(diǎn)B1，B2，B3 …Bn在OM上，B1C1‖B2C2‖B3C3 …‖BnC2n‖y軸，A1B1=[2]，則第n個(gè)菱形AnBnCnBn+1的面積是________。

分析及解法：第一步考慮是否相似，∵B1C1‖B2C2‖B3C3 …‖BnC2n‖y軸；∴∠B2A1O=∠B3A2O=∠B4A3O= …=90°，∵∠MOA1=30°，∴∠OB2A1=∠OB3A2=∠OB4A3= …=60°∵四邊形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，AnBnCnBn+1都是菱形，∴∠C1B2A1=∠C2B3A2=∠C3B4A3=…=120°∴圖中的菱形都是相似的，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，是利用位似構(gòu)造的題目。第二步求相似比（即A2B2與A1B2的比），在Rt△B2A1A2中，∠A1B2A2=180°-∠C1B2A1=60°∴∠B2A2A1=30°∴A2B2=2A1B2，即相似比是2，面積比等于4。第三步求第一個(gè)菱形A1B1C1B2的面積，∠OB2A1=60°，∴△A1B1B2為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)B1作B1M⊥A1B2于點(diǎn)M，B1M=A1B1·sin∠BA1B1=[32]A1B1 ∴菱形A1B1C1B2的面積=A1B1·[32]A1B1=[3]，∴n=2時(shí)，面積為4×[3]； n=3時(shí)，面積為42×[3]…，[3]的系數(shù)呈等比增加，歸納出第n個(gè)菱形AnBnCnBn+1的面積4n-1[3]。

例2：2016本溪

如圖，面積為1的等腰直角△OA1A2 ，∠OA2 A1=90°，且OA2 為斜邊在△OA1A2外作等腰直角△OA2A3，以O(shè)A3為斜邊在△OA2A3 外作等腰直角△OA3A4，以O(shè)A4為斜邊在△OA3A4外作等腰直角△OA4A5…，連接A1A3，A3A5，A5A7，…，分別與OA2，OA4，OA6，…交于點(diǎn)B1，B2，B3，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，記△OB1A3的面積為S1，△OB2A5的面積為S2，△OB3A7的面積為S3，…，△OBnA2n+1的面積為Sn，則Sn=________（用含正整數(shù)n的式子表示）。

分析及解法：第一步考慮陰影三角形是否相似，∵等腰直角△OA1A2 ，△OA2A3 ，△OA3A4 ，… ∴∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=… =45°，A1O=[2]A2O ，A2O=[2]A3O，A3O=[2]A4O …，∴A1O=2A3O，A3O=2A5O ，A5O=2A7O …，∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=…=90°，∴△A1OA3∽△A3OA5∽…，∴∠OA3A1=∠OA5A3 =∠OA7A5=…，∴△OB1A3∽△OB2A5∽…∽

△OBnA2n+1 ，整體圖形可看成是△A1OA2以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，邊縮小邊旋轉(zhuǎn)方式構(gòu)建。第二步求出相似比（即OA3與OA5的比值）為2，第三步求出△OB1A3的面積，∠A1OA2=∠OA2A3=45°∴OA1‖A2A3 ，[A2B1OB1=A2A3OA1=12] ∵△OA1A2∽△OA2A3 相似比為A1O：A2O=[2] ∴△OA1A2的面積等于△OA2A3面積的2倍 ，△OB1A3 的面積等于[SΔOB1A3=23?SΔOA2A3=23?12SΔOA1A2=13]，∴ S1=[13]，S2=[14×13]，S3=[14×14×13=142×13] …，觀察[13]的系數(shù)呈等比增加，歸納得Sn=[14n-1·13]

例3：2017盤錦

如圖，點(diǎn)A（1，1）在直線y=x上，過(guò)點(diǎn)A1分別作y軸，x軸的平行線交直線y=[32]x于點(diǎn)B1，B2 ，過(guò)點(diǎn)B2作y軸的平行線交直線y=x于點(diǎn)A2 ，過(guò)點(diǎn)A2分別作x軸的平行線交直線y=[32]x于點(diǎn)B3，…，按照此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為_(kāi)_________.

分析及解法：此題已經(jīng)給出兩條直線的解析式，用坐標(biāo)法求An的橫坐標(biāo)非常方便，只需將點(diǎn)坐標(biāo)依次代入直線關(guān)系式即可。

∵ A1B1‖A2B2‖A3B3‖…‖y軸，A1B2‖A2B3‖A3B4‖…‖x軸，A1（1，1）

∴B2 [（233，1）] ∴A2 [（233，233）] ∴B3 [（43，233）] ∴ A3 [（43，43）]，觀察A1， A2，A3…橫坐標(biāo)呈等比變化，公比為[233]，歸納出含序數(shù)（n）的代數(shù)式表示An的橫坐標(biāo)為[（233）n-1]

B：等差型試題

例4：2016遼陽(yáng)

觀察下列圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖中共有________個(gè)。

分析及解法：本題以圖形的變化為背景，完美體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”結(jié)合。在解題上可觀察圖形的變化規(guī)律，每個(gè)圖形在前一個(gè)的基礎(chǔ)上增加兩行。圖1是5個(gè)★，圖2在圖1上面加3個(gè)，下面加2個(gè)共（5+2+3）個(gè)，圖3在圖2上面加5個(gè)，下面加2個(gè)共（5+2×2+3+5）個(gè)，第四個(gè)圖是（5+2×3+3+5+7）個(gè)，聯(lián)系序數(shù)（n）把圖形的變化規(guī)律歸納成數(shù)列規(guī)律的來(lái)做。第n個(gè)圖中有5+2（n-1）+3+5+7+…（2n-1）， 用等差數(shù)列求和方法得結(jié)果是4+2（n-1）+1+3+5+7+…（2n-1）=2n+2+n2

C：周期型試題

例5：2016鐵嶺

如圖，邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC放置在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部，頂點(diǎn)A在正方形的一個(gè)頂點(diǎn)上，邊AB在正方形的一邊上，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C落在正方形的邊上時(shí)，完成第一次無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)（如圖①），再將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A落在正方形的邊上時(shí)，完成第2次無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)（如圖②），…，每次旋轉(zhuǎn)的角度都不大于120°，依次這樣操作下去，當(dāng)完成第2016次無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為_(kāi)_______。

分析及解法：每次滾動(dòng)，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑都是弧，弧所在圓的半徑都是等邊三角形的邊長(zhǎng)，所以每次滾動(dòng)的路徑長(zhǎng)取決于弧所對(duì)圓心角的度數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)角依次為120°，30°，0°，30°，120°，0°，120°，…，用旋轉(zhuǎn)角為參照考慮周期性，從角度的大小看只有3種，以3個(gè)為1周期，2016÷3=672，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的總長(zhǎng)為[（120π?1180+30π?1180+0）]×672= 560π

規(guī)律探索題是中考的熱點(diǎn)、亮點(diǎn)更是難點(diǎn)，用科學(xué)的方法經(jīng)歷探索過(guò)程，能感受數(shù)學(xué)的美，感受探索規(guī)律的快樂(lè)，提升解決數(shù)學(xué)難題的信心，逐步提高邏輯推理能力、獨(dú)立探究和創(chuàng)新能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]王麗麗.淺談初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略[J].學(xué)周刊，2016（21）.

[2]安桂花.淺談初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的方法[J].考試：教研版，2009（12）.

[3]楊建平.淺談如何做好初中數(shù)學(xué)階段性復(fù)習(xí)教學(xué)工作[J].中學(xué)生數(shù)理化：學(xué)研版，2014（7）.

[4]梁淑玲.淺談初中數(shù)學(xué)“三輪”復(fù)習(xí)法[J].教師，2015（2）.

（責(zé)任編輯：張華偉）