羅風(fēng)云

[摘? 要] 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)自我探究、自我建構(gòu)的過程，教學(xué)中，教師應(yīng)該以問題為載體，喚醒學(xué)生進(jìn)行自主探究. 為此，筆者開設(shè)了一節(jié)校際公開課，課題是人教A版必修1的“冪函數(shù)”，本文對(duì)課堂教學(xué)過程進(jìn)行了摘錄，并針對(duì)幾個(gè)主要環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)給出了自己的思考.

[關(guān)鍵詞] 喚醒;自主探究;冪函數(shù);思考

近期，筆者開設(shè)了一節(jié)校際公開課，課題是人教A版必修1的“冪函數(shù)”，本節(jié)課筆者以問題為載體，喚醒學(xué)生進(jìn)行自主探究，注重學(xué)生探究能力與自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了“以生為本”的課改新理念，在經(jīng)歷了多次打磨后，教學(xué)時(shí)取得了較為滿意的效果. 現(xiàn)對(duì)課堂教學(xué)過程摘錄如下，并針對(duì)幾個(gè)主要環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)談一下自己的思考.不足之處，望同行批評(píng)指正.

教學(xué)實(shí)錄

1. 情境創(chuàng)設(shè)

問題1：請(qǐng)寫出下列函數(shù)的解析式：

①如果某人購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么他需要付的錢數(shù)P（元）關(guān)于購買的蔬菜量w（千克）的函數(shù)解析式為_____.

②如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S關(guān)于a的函數(shù)解析式為_____.

③如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V關(guān)于a的函數(shù)解析式為_____.

④如果正方形的面積為S，那么正方形的邊長a關(guān)于S的函數(shù)解析式為_____.

⑤如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 km，那么他騎車的速度v（km/s）關(guān)于t的函數(shù)解析式為___________.

問題2：如果將上述函數(shù)解析式左側(cè)的因變量改成y，右側(cè)的自變量改成x，請(qǐng)仔細(xì)觀察得到的函數(shù)解析式，它們具有什么共同特征？是指數(shù)函數(shù)嗎？

其共同特征是：①冪的形式且系數(shù)為1;②冪的底數(shù)是自變量x;③冪的指數(shù)是常數(shù).它們都不是指數(shù)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，同時(shí)，統(tǒng)一自變量與因變量之后，讓學(xué)生更能直觀地感知冪函數(shù)解析式的共同特征，達(dá)到鍛煉學(xué)生的觀察能力與概括能力的目的.

2. 概念引入

師：經(jīng)過以上的分析，我們把形如y=xα（α∈R）的函數(shù)叫作冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).

問題3：你能說出冪函數(shù)y=xα（α∈R）與指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，a≠1）有什么區(qū)別嗎？

生3：很明顯，這兩個(gè)函數(shù)的自變量的位置與常數(shù)的位置是顛倒過來的.

設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆的情況，組織學(xué)生對(duì)兩類函數(shù)的解析式進(jìn)行對(duì)比，從而達(dá)到強(qiáng)化記憶的目的.

設(shè)計(jì)意圖：通過此題，讓學(xué)生進(jìn)一步了解冪函數(shù)的概念，掌握待定系數(shù)法.

3. 新知探究

問題4：研究函數(shù)一般從哪些方面著手？類比之前研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的方法你準(zhǔn)備怎樣研究冪函數(shù)？

生5：研究函數(shù)一般從其定義域、值域、奇偶性與單調(diào)性等方面著手，考慮借助冪函數(shù)的圖像研究冪函數(shù)的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生類比之前研究指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的思路，去研究冪函數(shù)的圖像與性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：首先引導(dǎo)學(xué)生歸納未知函數(shù)的作圖思路與具體操作方法，其次將五個(gè)冪函數(shù)的圖像放在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，有利于對(duì)比總結(jié)出冪函數(shù)的一些共性.

問題5：根據(jù)上述圖像的特征，填寫下面的表格（生7回答，教師板書）：

設(shè)計(jì)意圖：由形到數(shù)，發(fā)現(xiàn)5個(gè)具體冪函數(shù)的性質(zhì)，為探尋冪函數(shù)的共性做好鋪墊.

師：從以上可以看出，冪函數(shù)隨著冪指數(shù)的取值不同，它們的圖像和性質(zhì)存在著較大的差異，下面就請(qǐng)同學(xué)們通過觀察上述函數(shù)的圖像來探尋冪函數(shù)的一些共性，我們來看以下5個(gè)問題：

問題6：冪函數(shù)圖像過定點(diǎn)及象限的情況.

生8：觀察圖1可知：冪函數(shù)過定點(diǎn)（1，1），不一定過（0，0）;冪函數(shù)圖像過第一象限，不過第四象限.

師：你能利用冪函數(shù)的解析式y(tǒng)=xα（a∈R）解釋其中的原因嗎？

生9：1α=1，因此冪函數(shù)過定點(diǎn)（1，1）;x>0，y=xα=（elnx）α=eαlnx>0，因此冪函數(shù)圖像過第一象限.

問題7：冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性如何？

生10：觀察圖2可知：

α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在（0，+∞）上是增函數(shù);

α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在（0，+∞）上是減函數(shù).

師：你能通過解析式說明以上結(jié)論為何成立嗎？

生11：y=xα=（elnx）α=eαlnx，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，由ex和lnx的遞增性可以得到上述結(jié)論.

師：α=0呢？另外，通過冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，你能判斷冪函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性嗎？

生12：α=0時(shí)，冪函數(shù)變?yōu)閥=x0=1（x≠0），此時(shí)無單調(diào)性. 判斷冪函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性借助函數(shù)的奇偶性判斷即可.

問題8：α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在（0，+∞）上的圖像的高低與指數(shù)的變化有何關(guān)系？

問題9：冪函數(shù)y=xα（x∈（0，+∞）），α>1與0<α<1的圖像有何不同？

生14：觀察圖3可知：當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)y=xα的圖像向下凸出;當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)y=xα的圖像向上凸出. （教師借助幾何畫板動(dòng)態(tài)檢驗(yàn)，如圖4）

問題10：減函數(shù)在（0，+∞）的圖像特征又如何呢？

生15：觀察圖5可知：α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)問題串，利用學(xué)生的自主探究完成冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的梳理，一方面提高學(xué)生對(duì)教學(xué)的參與度，另一方面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何透過圖像研究函數(shù)性質(zhì)的方法.

4. 例題精析

例1：已知冪函數(shù)f（x）=（m-1）xm2-2m-2，請(qǐng)畫出該函數(shù)的草圖. （學(xué)生自行解決，之后教師利用DrawTools軟件進(jìn)行作圖，驗(yàn)證草圖的正確與否）

設(shè)計(jì)意圖：首先利用此題強(qiáng)化了冪函數(shù)的概念，其次使學(xué)生明白為了得到函數(shù)草圖就必須要去研究函數(shù)的一般性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，讓學(xué)生體驗(yàn)得到函數(shù)圖像的過程，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生享受成功帶來的樂趣的同時(shí)，也為高考中一種常見題型（以未知函數(shù)解析式找尋圖像的選擇題）提供了解決思路.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用之前學(xué)過的構(gòu)造函數(shù)法比較大小，此法究其本質(zhì)而言是利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，通過例2使學(xué)生在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要注意考慮定義域，通過拓展延伸使學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn)：一是冪指數(shù)相同時(shí)構(gòu)造成冪函數(shù)，底數(shù)相同時(shí)構(gòu)造成指數(shù)函數(shù);二是對(duì)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行辨析.

思考

布魯納說過：探索是數(shù)學(xué)的生命線，沒有探索就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展. 目前以自主、合作、探究為主的教學(xué)方式已成為課堂教學(xué)中一道亮麗的“景致”，學(xué)生開展自主探究是以問題為載體，喚醒學(xué)生自主探究，在探究活動(dòng)中充分發(fā)揮學(xué)生的自主性和能動(dòng)性，讓學(xué)生經(jīng)歷感悟、體驗(yàn)、反思和矯正的過程，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提高. 本節(jié)課筆者采用學(xué)生自主探究式的教學(xué)方法，重視思維發(fā)生的過程，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，注重發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有效整合，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、思維價(jià)值. 教學(xué)過程中筆者以“問題串”的形式展開教學(xué)，逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、歸納、總結(jié).為了設(shè)計(jì)好本節(jié)課，筆者作了如下的思考：

一個(gè)成功的新課導(dǎo)入能為課堂教學(xué)創(chuàng)設(shè)良好的開端，可以明確學(xué)生的思維方向和學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以拉近學(xué)生與學(xué)習(xí)材料之間的距離，降低理解學(xué)習(xí)材料的難度，同時(shí)能集中學(xué)生的注意力，激發(fā)強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望. 對(duì)于新課的導(dǎo)入，教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的問題情境，最為重要的是切中主題，應(yīng)該堅(jiān)持啟發(fā)性、目的性、關(guān)聯(lián)性和簡短性等原則，要凸顯“數(shù)學(xué)味”. 為此，筆者深入挖掘課本資源，設(shè)計(jì)了一個(gè)問題串，通過從問題情境中抽象出具體函數(shù)，將得到的五個(gè)函數(shù)解析式左側(cè)的因變量改成y，右側(cè)自變量改成x，使函數(shù)的解析式變成統(tǒng)一格式，使學(xué)生通過觀察迅速概括出冪函數(shù)解析式的共同特征，這樣做有效地降低了學(xué)習(xí)難度，“喚醒”了學(xué)生的“食欲”.

在新知探究的過程中，筆者仍然通過“問題串”的形式組織教學(xué). 對(duì)于課堂提問，筆者認(rèn)為不宜過多地放在學(xué)生的“已知區(qū)”與“未知區(qū)”，也就是說問題不能過易或過難. 經(jīng)驗(yàn)豐富的教師經(jīng)常潤物細(xì)無聲，課堂提問的起點(diǎn)雖然不高，但是通過一系列問題串的引導(dǎo)，卻總能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情. 這些教師比較善于在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”與“已知區(qū)”兩者的結(jié)合處（即在知識(shí)的“增長點(diǎn)”上）設(shè)計(jì)問題，這樣處理對(duì)利用學(xué)生的已有知識(shí)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行同化非常有利，有助于學(xué)生形成、鞏固和完善新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生的認(rèn)知能力與思維能力迅速提高，從而實(shí)現(xiàn)將學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“未知區(qū)”轉(zhuǎn)化為“已知區(qū)”的目的. 本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)，研究了三個(gè)特殊函數(shù)：二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)怎樣研究函數(shù)已經(jīng)有了清晰的思路和方法，因此，本節(jié)課筆者考慮放手讓學(xué)生自己進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí). 在本節(jié)課新知探究的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生首先總結(jié)研究函數(shù)的思路和方法，考慮到學(xué)生對(duì)抽象的冪函數(shù)及其圖像缺乏感性的認(rèn)識(shí)，于是，筆者采用從特殊到一般、再從一般到特殊的方式安排教學(xué)，根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)所涉及的相關(guān)知識(shí)都設(shè)計(jì)了問題串.通過這樣的問題串，與學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相銜接，學(xué)生對(duì)未知的情況就有了極大的興趣，同時(shí)學(xué)生對(duì)歸納冪函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)有了明確的目標(biāo)與方向，在一步一步地“自我喚醒”中，完成了對(duì)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的建構(gòu).

高考試題“源于教材，高于教材”，很多試題是對(duì)課本的基礎(chǔ)知識(shí)與例習(xí)題進(jìn)行“深加工”后的成果，因此，筆者認(rèn)為課堂教學(xué)要用教材教，而不僅僅是教教材，在具體的實(shí)踐中絕不能照搬教材，得根據(jù)學(xué)情創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)置例習(xí)題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的綜合應(yīng)用能力，“喚醒”學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)急于解決問題的欲望. 在設(shè)計(jì)例題時(shí)，筆者考慮到學(xué)生已經(jīng)對(duì)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)有了一個(gè)初步的了解，筆者并沒有安排教材中的例題，而是另辟蹊徑，安排例1讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)繪制未知函數(shù)f（x）=x-2的草圖，之后利用信息技術(shù)軟件進(jìn)行現(xiàn)場作圖，檢測結(jié)果正確與否，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的、有價(jià)值的，同時(shí)針對(duì)學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆的情況，安排例2利用構(gòu)造函數(shù)法比較大小，組織學(xué)生對(duì)這兩類函數(shù)的解析式與單調(diào)性進(jìn)行辨析，找出新舊知識(shí)的銜接點(diǎn)，從另一個(gè)層面進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固.