周福云

[摘? 要] 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，概念教學(xué)的途徑是多元的. 課改與核心素養(yǎng)背景下，通過(guò)概念研究型學(xué)習(xí)的范式展開(kāi)教學(xué)，可以提高概念教學(xué)的有效性. 在“集合”概念教學(xué)中，本著研究型學(xué)習(xí)的步驟展開(kāi)教學(xué)，取得了較好的效果;在相關(guān)案例研究中，總結(jié)了概念研究型學(xué)習(xí)的相關(guān)注意點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)概念;研究型學(xué)習(xí);案例研究

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，經(jīng)由什么樣的途徑讓學(xué)生掌握一個(gè)數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的基礎(chǔ)性內(nèi)容. 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)將概念理解為數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)構(gòu)建的基礎(chǔ)，視作對(duì)生活事物進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象或數(shù)學(xué)邏輯推理的結(jié)果，因而概念教學(xué)中也更多的是由教師主導(dǎo)下的學(xué)生對(duì)生活事例的分析，或者是邏輯推理. 這樣的教學(xué)，其好處在于指向性明確，學(xué)生在獲得一個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，往往沒(méi)有其他因素的干擾，教學(xué)的“效率”比較高. 而從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來(lái)看，這樣的教學(xué)思路其實(shí)是教師主動(dòng)地去除了學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中可能遇到的障礙，因而學(xué)生的數(shù)學(xué)理解是單一的，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是難以真正發(fā)生的. 從21世紀(jì)初開(kāi)始推進(jìn)的課程改革強(qiáng)調(diào)研究性學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體地位，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建過(guò)程的完整性，而研究性學(xué)習(xí)對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)來(lái)說(shuō)，更是具有奠基性的作用. 在此基礎(chǔ)上，筆者開(kāi)展了高中數(shù)學(xué)概念研究型學(xué)習(xí)的研究，取得了一些認(rèn)識(shí).

數(shù)學(xué)概念研究型學(xué)習(xí)的理解

基于高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，并從理論上實(shí)現(xiàn)從研究性學(xué)習(xí)到研究型學(xué)習(xí)的概念理解轉(zhuǎn)變，筆者經(jīng)歷了這樣的思考：

初步思考：研究性學(xué)習(xí)是一個(gè)宏觀概念，其更多的是理論指導(dǎo)性. 人們?cè)诮缍ㄑ芯啃詫W(xué)習(xí)時(shí)，往往是指學(xué)生基于某種積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，經(jīng)歷問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決、評(píng)估等環(huán)節(jié)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的學(xué)習(xí)過(guò)程. 從理論上來(lái)看，這樣的描述顯然是概述型的，而數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐需要的是具有操作意義的策略性內(nèi)容，因而筆者提出了研究型學(xué)習(xí)的概念.

進(jìn)一步思考：研究型學(xué)習(xí)是指在具體的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)一種類似于課型的類型劃分，對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提出的具有操作性的學(xué)習(xí)范型. 概念研究型學(xué)習(xí)是指向?qū)W生的，是從學(xué)生的角度看數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)的，因而其通常應(yīng)當(dāng)具有這樣的幾個(gè)基本步驟：首先，研究一個(gè)概念學(xué)習(xí)所需要的支撐性知識(shí);其次，研究一個(gè)概念學(xué)習(xí)所需要的經(jīng)驗(yàn)性知識(shí);再次，研究該數(shù)學(xué)概念所需要的邏輯推理;最后，研究數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，即數(shù)學(xué)定義. 這四個(gè)步驟是指向?qū)W生的，教師做此四步研究，是為了給學(xué)生的數(shù)學(xué)概念構(gòu)建提供更好的支撐，而學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程則相應(yīng)的包括這樣的幾個(gè)過(guò)程：首先，在某情境（由教師創(chuàng)設(shè)）中生成概念描述的需要;其次，根據(jù)自己的已有知識(shí)或先前經(jīng)驗(yàn)對(duì)研究對(duì)象嘗試進(jìn)行描述;再次，思考自己初步形成數(shù)學(xué)概念過(guò)程中的邏輯的嚴(yán)密性;最后，結(jié)合嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念的定義，反思自己運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的優(yōu)點(diǎn)與不足，以為今后的概念學(xué)習(xí)奠定方法基礎(chǔ).

在這里，概念研究型學(xué)習(xí)有一種教學(xué)模式的思路，其作用在于讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的認(rèn)知，只要在教學(xué)中教師不僵化地執(zhí)行，那就不至于陷入模式化的窠臼，因而研究型學(xué)習(xí)就成為高中數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的有效途徑.

數(shù)學(xué)概念研究型學(xué)習(xí)實(shí)踐

這里，筆者以高中數(shù)學(xué)最基本的“集合”概念（包括元素、子集以及集合的其他相關(guān)性質(zhì)，這里統(tǒng)稱為“集合”）教學(xué)為例，來(lái)闡述筆者實(shí)施數(shù)學(xué)概念研究型學(xué)習(xí)的實(shí)踐.

集合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)重要概念，其是后續(xù)很多數(shù)學(xué)概念如函數(shù)等學(xué)習(xí)的基礎(chǔ);同時(shí)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之初就進(jìn)行一次研究型學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生從學(xué)習(xí)品質(zhì)提升的角度理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這樣可以避免傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中過(guò)多講授導(dǎo)致的學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼心理的現(xiàn)象. 具體的教學(xué)過(guò)程如下：

第一步，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生感知生活中的集合. 筆者給學(xué)生創(chuàng)設(shè)的情境有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種. 靜態(tài)的集合包括一個(gè)班的學(xué)生、一個(gè)組的學(xué)生、一個(gè)班男學(xué)生或女學(xué)生等，還包括0，1，2，…等數(shù)集，也包括其他一些集合事例，這里不一一贅述;動(dòng)態(tài)的集合主要是操場(chǎng)上發(fā)布了“集合”的指令之后，許多學(xué)生匯聚成隊(duì)伍，許多隊(duì)伍匯聚成集體等（為了增強(qiáng)趣味性，還可以選擇網(wǎng)絡(luò)上那個(gè)一聲哨子之后，許多鴨子集合到一起的視頻）. 靜態(tài)的集合是為了讓學(xué)生通過(guò)對(duì)集合中元素（概念此時(shí)還沒(méi)有出來(lái)，但已經(jīng)可以作為學(xué)生思維加工的對(duì)象）來(lái)初步形成集合的表象;而動(dòng)態(tài)的集合則是為了讓學(xué)生的思維進(jìn)一步靠向“集合”這個(gè)概念. 有此靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的情境作為基礎(chǔ)，筆者就向?qū)W生明確學(xué)習(xí)任務(wù)：集合是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)概念，現(xiàn)在大家的第一個(gè)任務(wù)，就是用自己的語(yǔ)言去描述“集合”這個(gè)概念. 有了任務(wù)作為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生的思維就會(huì)聚焦到用語(yǔ)言描述集合概念上來(lái)：學(xué)生會(huì)去研究例子中的“群體”，也會(huì)研究“個(gè)體”，更會(huì)研究“群體”與“個(gè)體”的關(guān)系，而這些都是集合與元素概念形成的基礎(chǔ).

在這一步當(dāng)中，情境的創(chuàng)設(shè)是適切的，問(wèn)題的提出是及時(shí)的，因而學(xué)生對(duì)概念的研究也就順利展開(kāi)了，這是概念研究型學(xué)習(xí)的初始一步.

第二步，讓學(xué)生嘗試描述集合. 描述數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，是一個(gè)學(xué)生將自己的數(shù)學(xué)知識(shí)與先前經(jīng)驗(yàn)綜合運(yùn)用到新情境中描述新概念的過(guò)程. 從學(xué)習(xí)心理的角度來(lái)看，則是新的學(xué)習(xí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生有效調(diào)用已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程. 由于“集合”這個(gè)概念在生活中本身就比較常見(jiàn)，因而學(xué)生在描述的時(shí)候更習(xí)慣于用生活語(yǔ)言來(lái)描述，如有學(xué)生說(shuō)“集合就是一群物體”，有學(xué)生說(shuō)“集合就是很多個(gè)體組成的群體”，還有學(xué)生說(shuō)“集合就是將很多東西聚到一起”……這里教師要結(jié)合上述情境中的數(shù)集實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)上的集合與生活中的集合存在的區(qū)別. 事實(shí)上，學(xué)生在用純粹的生活語(yǔ)言描述集合的時(shí)候，本身就有一種自我質(zhì)疑的意識(shí)，用學(xué)生的話說(shuō)“數(shù)學(xué)課上學(xué)的集合，不大可能是我們現(xiàn)在所說(shuō)的意思”. 在實(shí)際教學(xué)中，要抓住學(xué)生的這一心理，驅(qū)動(dòng)概念研究型學(xué)習(xí)進(jìn)一步深入，比如說(shuō)筆者就跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)抽象”的意識(shí)，提醒學(xué)生去掉情境實(shí)例中的非數(shù)學(xué)因素，真正從數(shù)學(xué)的角度來(lái)描述集合. 于是，學(xué)生就認(rèn)識(shí)到在定義集合的時(shí)候，肯定需要忽視具體的事例的屬性，不管是人，還是數(shù)，還是鴨，都需要抽象成一個(gè)具體的概念……

第三步，尋找數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 任何數(shù)學(xué)概念都是通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)定義的，集合的概念也不例外，當(dāng)學(xué)生剝離掉情境中具體事物的自然屬性，只剩下數(shù)學(xué)屬性的時(shí)候，“將研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素”“元素組成的總體叫作集合”的認(rèn)識(shí)就會(huì)慢慢形成. 作為研究型學(xué)習(xí)，這個(gè)環(huán)節(jié)中的重點(diǎn)，是讓學(xué)生比較數(shù)學(xué)語(yǔ)言與自己此前所用的生活語(yǔ)言的區(qū)別. 這種比較既是一種思維，也是一種數(shù)學(xué)方法，比較的目的就是發(fā)現(xiàn)自己所用語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的區(qū)別，從而提升自己運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力. 事實(shí)上，在集合這一概念的研究過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生對(duì)“元素”這一概念進(jìn)行反思時(shí)，他們會(huì)自然感覺(jué)到具體實(shí)例抽象之后用這個(gè)詞來(lái)描述是更為準(zhǔn)確的，而學(xué)生的這種感覺(jué)與此前講授式教學(xué)中的學(xué)生反響是完全不一樣的，傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生在接觸到元素這個(gè)概念時(shí)，是非常難以理解的，他們無(wú)法理解一個(gè)具有化學(xué)意義的概念怎么在數(shù)學(xué)中成為一個(gè)基礎(chǔ)性的概念. 而由于這一概念研究型教學(xué)的開(kāi)展，學(xué)生對(duì)后面集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性的理解變得更加順暢，對(duì)于集合之間的關(guān)系的理解也順利很多.

因此，通過(guò)概念研究型的教學(xué)途徑來(lái)讓學(xué)生掌握一個(gè)概念，確實(shí)可以在學(xué)生的自主努力中化解曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的學(xué)習(xí)障礙. 因而，概念研究型學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要選擇.

數(shù)學(xué)概念研究型學(xué)習(xí)反思

作為一個(gè)一線教師作出的教學(xué)探索，概念研究型教學(xué)是研究性學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，是更具操作性的教學(xué)策略. 在實(shí)踐的過(guò)程中，筆者覺(jué)得還是有不少的地方需要注意的. 比如說(shuō)，研究型學(xué)習(xí)往往是需要更長(zhǎng)時(shí)間的，由于學(xué)生調(diào)用生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的學(xué)前認(rèn)知未必完整，因此不同層次的學(xué)生在研究的過(guò)程中，會(huì)有不同的想法與說(shuō)法，這都是要在小組合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中加以區(qū)分、鑒別、選擇的，這肯定是需要時(shí)間的，這個(gè)時(shí)間是否值得花，又如何讓研究的效率更高，這是需要在學(xué)生的研究型學(xué)習(xí)之后進(jìn)行評(píng)價(jià)的，因而，研究型學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)就是概念教學(xué)之后的一個(gè)重要工作，切不可因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)順利得出了概念，就忽視了教學(xué)效益的進(jìn)一步提升.

再比如說(shuō)，數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建，在不同的情境中，或者對(duì)于不同的學(xué)生個(gè)體，其過(guò)程并不會(huì)完全相同，尤其是在研究型學(xué)習(xí)的過(guò)程中，既然尊重了學(xué)生的主體性，那就要尊重學(xué)生在概念研究過(guò)程中產(chǎn)生的各種不同的認(rèn)識(shí)，如何在課堂上有限的時(shí)空內(nèi)，將不同認(rèn)識(shí)導(dǎo)向同一個(gè)方向，這也是研究型學(xué)習(xí)中需要關(guān)注的具體問(wèn)題. 筆者的經(jīng)驗(yàn)是，遇到此類問(wèn)題時(shí)，思考學(xué)生的答案與數(shù)學(xué)概念之間最短的聯(lián)系，然后進(jìn)行引導(dǎo)，這可能是效益最高的途徑.

總之，高中數(shù)學(xué)概念研究型學(xué)習(xí)，是一個(gè)有效的概念教學(xué)途徑，尤其是對(duì)于像集合、函數(shù)這樣的基礎(chǔ)概念而言，讓學(xué)生有一個(gè)嘗試研究的過(guò)程，可以讓概念認(rèn)識(shí)更深刻，同時(shí)也能提升學(xué)習(xí)品質(zhì)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).