黃丹

[摘? 要] 數(shù)學思想是數(shù)學學習的靈魂與精髓，是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學的基本源泉，在數(shù)學解題方面發(fā)揮了非常重要的作用. 在數(shù)學解題的過程中，教師科學地引導學生巧妙、靈活地通過數(shù)學思想解答數(shù)學試題，有利于提高學生解決問題的能力，拓展學生思維.

[關鍵詞] 數(shù)學思想;高中數(shù)學;解題;應用分析

在高中數(shù)學中，解題能力的高低往往是衡量學生數(shù)學能力的重要標志之一，在教學中，學生的解題能力也是主要的培養(yǎng)目標. 在習題教學中，滲透數(shù)學思想的基本方法是通過分析具體問題，針對不同的問題采用相應的數(shù)學思想.

巧用數(shù)形結合，踐思想之本

將直觀圖形和抽象的數(shù)學語言相結合是數(shù)形結合思想的實質，也是數(shù)學思想的根本所在，它不僅是一種解決數(shù)學問題的基本思路和基本技能，更是揭秘數(shù)學本質的根本所在. 在處理數(shù)學問題過程中，結合起直觀的圖形與抽象的語言，達到抽象概念和實際形象的轉換與聯(lián)系的目的. 互相滲透數(shù)和形的信息，從而把我們的解題思路打開，從而簡單化處理數(shù)學問題.

案例1：在方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）中，x∈（0，3），在此范圍內(nèi)方程有且只有一個解，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：等價變形處理對數(shù)方程，然后用一元二次方程將其表述出來，從而解決實數(shù)解問題，再利用二次函數(shù)圖像進行求解.

將原方程變形為-x2+3x-m=3-x，即（x-2）2=1-m，其中3-x>0.

設曲線y1=（x-2）2和直線y2=1-m，其中x∈（0，3）.

由圖像可知：

①在1≤1-m<4時，只有唯一的一個解，則此時-3<m≤0.

②如果1-m的數(shù)值為0，有且只有一個解，則m=1.

因此，-3<m≤0或m=1.

在數(shù)形結合思想中，圖形與代數(shù)問題之間的轉化是數(shù)形結合思想的關鍵，可以用幾何的思想解決代數(shù)問題，用代數(shù)知識解決幾何問題.在通過數(shù)形結合思想解決和處理問題時，需要做好以下幾點：首先，弄清楚相關概念;曲線的代數(shù)特點以及運算的幾何含義.數(shù)學題目內(nèi)的結論與條件，不但要弄清楚代數(shù)意義，而且還要分析其幾何意義;其次，科學設參，正確用參，構建關系，用形促數(shù)，用數(shù)思形，從而科學地轉換數(shù)形;再次，把參數(shù)取值范圍確定出來.

啟發(fā)分類探討，活思維之舉

分類探討是一種邏輯性方法，也是一種思想方法，這種思想不僅可以啟發(fā)學生思維方向和思想習慣，還能充分引領學生分析其中的邏輯關系，做到由點及線、由線及面. 比如，對難以統(tǒng)一研究的某些問題，就應該依據(jù)某種標準分類處理相關的研究對象，達到化整為零，化繁為簡的目的.

在分類討論過程中，解決問題的原則為：具有統(tǒng)一的標準和明確的分類對象，不重復，不漏項，合理劃分，主次分明，不越級探究.其中，不重不漏是關鍵.

運用轉換思想，悟等價之措

等價轉化思想在數(shù)學問題解決中較為常見，是將陌生的問題轉化為熟知問題的方法. 據(jù)學生反饋，在學習和解決數(shù)學問題時，很難找到突破口，題目中的一些條件，某些時候難以幫助解答問題，遭遇這些抽象化的問題直接影響了解題的效率. 而等價轉化法就能在解決以上問題時提供較大幫助. 靈便地轉化問題與條件，把復雜抽象的問題變得更加清晰具體，從而使問題呈現(xiàn)出明顯的突破口，簡化問題.

在此問題中，通過均值不等式的轉化思想，可以更加迅速、簡捷地處理問題. 因此，在教學期間，教師需要科學地培養(yǎng)學生的判斷能力，從而引導學生將更加準確的轉換策略找出來. 以便更加高效、輕松地解決問題.通過此種方法來強化學生解題的能力.

領悟換元思想，揭變量之聯(lián)

換元思想從某種程度上來講也是轉化思想的一種，但比轉化思想有更強的針對性. 在解決很多高中數(shù)學問題時，都可以應用到換元思想方法，在應用這種方法后，展現(xiàn)出了許多應用優(yōu)點，可以簡化問題，而且可以將題目內(nèi)隱藏的一些條件找出來. 就不同的問題類型而言，換元的方法也不同，教師應該通過具體例子解決問題，使學生真正地認識這一數(shù)學思想. 然后學會利用具體問題選擇合理的換元方法，從而達到高效解決問題的目的.

案例4：已知x>2，y>2，求證：xy>x+y.

解析：從題目表面無法求證此不等式，而且無法運用已知條件，在這種情況下，首選的方法是換元.

令x=m+2，y=n+2且m>0，n>0.

則x+y-xy=m+2+n+2-（m+2）（n+2）=m+n+4-2m-2n-4-mn=-m-n-mn<0，

所以xy>x+y.

引入全新的變量，并顯示出題目中所隱含的條件，從而有效地聯(lián)系其條件和結論，這充分地展現(xiàn)出了換元法的意義.在實踐中應用數(shù)學思想方法，簡單化處理復雜的問題，使學生不知怎樣突破的問題找到了一個新的突破口，從而更加高效、輕松地處理這些問題. 在解題時，通過應用這種換元的方法，有效地提升了學生的解題效率.

建構模型思想，賞數(shù)學之美

模型思想即通過建立數(shù)學模型，將實際問題抽象成數(shù)學問題. 模型主要包括函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、幾何模型等. 例如函數(shù)模型即為利用給出問題的數(shù)學特性，把函數(shù)關系型的數(shù)學模型構建起來，然后展開研究與分析.

案例5：已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，Sn=12n-n2，

（1）求a1+a2+a3;

（2）求a1+a2+…+a10;

（3）求a1+a2+…+an;

（4）記Tn=a1+a1+…+an，求出當Tn取得最大值時n的值.

解析：（1）至（3）均可以通過Sn公示推導出an的公式，再通過各項的符號確定其絕對值與它本身的關系，再求出對應項數(shù)的和即可.

（4）是通過將Tn當作關于n的二次函數(shù)關系，把Tn中哪個值是最大值轉變?yōu)槎魏瘮?shù)y=Tn中當n取何值時函數(shù)值最大的問題求解出來，從而達到解題的目的.

（1）當n≥2時，

an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12（n-1）-（n-1）2]=13-2n.

當n=1時，a1=S1=11適合上式，

所以an=13-2n.

（2）a1+a2+…+a10

=2（a1+a2+…+a6）-（a1+a2+a3…+a10）

=2S6-S10

=52.

（3）當n≤6時，a1+a2+…+an=Sn=12n-n2;

當n≥7時，a1+a2+…+an

=a1+a2+…a6-（a7+a8+…an）

=S6-（Sn-S6）

=2S6-Sn

=72-（12n-n2）

=n2-12n+72，

所以a1+a2+…+an=12n-n2，n≤6，n2-12n+72，n≥7.

（4）由函數(shù)圖像可知，當n≤6時Tn單調遞減，當n≥7時單調遞增，因此，當n=6時Tn最小.

通過函數(shù)與方程思想的結合，使得比較復雜的問題得到了有效的解決和處理，簡化了題目的難度.

類似的方法還有很多，而教師需要將無限的題目轉換為有限的類型，并將思想方法和類型相對接，讓學生在學習中達成巧妙的對接，既減輕學生的負擔，又提升了學生的能力，真正達成減負高效的教學效果.

在學生學習的道路上，教師是學生成長的指導者與領路人，在平時的教學中，教師需要通過我們的教學行為將思想與方法慢慢地滲透給學生，讓學生在學習和訓練的過程中學會感悟、學會積累，久而久之，學生積累的經(jīng)驗和方法就會成為學生的思維中的固有素養(yǎng)，即數(shù)學思想的形成. 而對于教師而言，需要落實和研究的就是結合教學內(nèi)容進行落實，不斷優(yōu)化我們的教學策略，讓學生在學習中樂此不疲.