諶鳳霞++佘朝兵

【摘要】本文討論了一類具對數非線性項擬拋物方程的初邊值問題.

ut-Δut=Δu=uln|u|，Ω×（0，T），

u（x，0）=u0（x），x∈Ω，

u（x，t）=0，Ω×（0，T），（1）

其中，ΩRn為有界域.首先，引入泛函及集合，應用新的方法引進了一族新的位勢井；其次，應用這族新位勢井得到了問題（1）整體解的存在性定理；最后，研究了問題（1）解的不變集合，證明了問題（1）在低初始能量的情況下解在無窮遠處爆破的結果.

【關鍵詞】位勢井族對數Sobolev嵌入不等式；整體解；爆破解

【基金項目】課題：廣東科技學院科研項目，課題編號：GKY-2016KYQN-5.

一、引言

研究問題（1）比較好的一種方法是位勢井方法，由Sattinger和Payne在文獻[1]中提出.針對如下問題ut-Δu=f（u），x∈Rn，t>0，u（x，0）=u0（x），x∈Rn， 若f（u）=|u|p-1u-u，Liu和Xu研究了在初始條件滿足J（u0）0及J（u0）

本文所考慮的問題（1）對應的非線性為f（u）=uln|u|，因f（u）不滿足其中的假設，所以上述考慮的方法對其失效.于是，本文必須引入對數Sobolev嵌入不等式，以及介紹位勢井族和不變集.

二、預備知識

本文中，用‖·‖表示‖·‖2，記（u，v）=∫Ωuvdx.對于問題（1），引入如下泛函和集合：J（u）=14||

?SymbolQC@ u||2-12∫Ωu2ln|u|dx+14||u||2H10，I（u）=||

?SymbolQC@ u||2-∫Ωu2ln|u|dx，W={u∈H10（Ω）|I（u）>0，J（u）0，引入如下的泛函族：

Jδ（u）=δ4‖

?SymbolQC@ u‖2-12∫Ωu2ln|u|dx+114‖u‖2H10，Iδ（u）=δ‖

?SymbolQC@ u‖2-∫Ωu2ln|u|dx，d（δ）= infu∈NδJ（u），Nδ={u∈H10（Ω）|Iδ（u）=0，‖u‖H10≠0}.位勢井族：Wδ={u∈H10（Ω）|Iδ（u）>0，J（u）

引理2.1設u0∈H10（Ω），00（<0）的弱解，則對任意δ1≤δ<δ2（1≤δ<δ1），有u∈Wδ（u∈Vδ）.

三、主要證明如下

定理3.1設u0∈H10（Ω），J（u0）

證明設{ωj（x）}是空間H10（Ω）的基函數系.利用Galerkin近似方法構造問題（1）的近似解：

um（t）=∑mj=1gmj（t）ωj（x），m=1，2，…滿足

（umt，ωs）+（

?SymbolQC@ umt，

?SymbolQC@ ωs）+（

?SymbolQC@ um，

?SymbolQC@ ωs）=（umln|um|，ωs），s=1，2，…，（2）

um（x，0）=∑mj=1amjωj（x）→u0（x） in H10（Ω）.（3）

在（2）式兩邊乘g′ms（t），關于s求和并關于時間t在區(qū)間[0，t]上積分，這樣對充分大的m，可得

∫t0‖umτ‖2H10dτ+J（um）=J（um（0）），0≤t<∞.

由（3）得J（um（0））→J（u0），

對充分大的m有

∫t0‖umτ‖2H10dτ+J（um）

由（2）和引理2.1知，當m充分大時，對0≤t<∞，um（t）∈W.從I（u），J（u）的定義及‖u‖2H10=‖

?SymbolQC@ u‖2+‖u‖2，可得J（um）=12I（um）+14‖um‖2，從而由（4）及上式可得‖um‖2<4J（um）<4M，及‖

?SymbolQC@ um‖2≤CM.

由（4）得∫t0‖umτ‖2H10dτ

∫Ω（umln|um|）2dx=∫{x∈Ω；um（x）<1}（umln|um|）2dx+∫{x∈Ω；um（x）>1}（umln|um|）2dx

≤e-2|Ω|+n-222∫{x∈Ω；um（x）<1}u2nn-2mdx≤e-2|Ω|+n-222C2*‖

?SymbolQC@ um‖2*≤CM，（5）

其中，C是Sobolev嵌入常數H10（Ω）L2nn-2（Ω）.因此，存在u∈H10（Ω）及{um}的子列仍記為{um}，當m→∞時，使得um→u于L∞（0，+∞；H10（Ω））中弱*收斂，且于Ω×[0，+∞）幾乎處處收斂.umln|um|→uln|u|于L∞（0，+∞；H10（Ω））中弱*收斂.

而且，由（3）可知u（x，0）=u0（x）于H10（Ω）中.因此，u（x，t）是問題（1）的整體弱解.

定理3.2設u0∈H10（Ω），J（u0）≤M，I（u0）<0，則問題（1）的解u=u（x，t）在t=+∞處爆破.

證明設u（x，t）是問題（1）滿足初始條件J（u0）

則M′（t）=‖u‖2H10=‖u‖2+‖

?SymbolQC@ u‖2且

M″（t）=2（ut，u）+2（

?SymbolQC@ ut，

?SymbolQC@ u）

=2（uln|u|+Δut+Δu，u）+2（

?SymbolQC@ ut，

?SymbolQC@ u）

=-2（‖

?SymbolQC@ u‖2-∫Ωu2ln|u|dx）=-2I（u）.（6）

由（6）式可得

M′（t）lnM′（t）-M″（t）≥[（2n+nln2π）‖u‖2H10]2≥0.

從而，得（lnM′（t））′≤lnM′（t）.（7）

由（7）式得lnM′（t）≤etlnM′（0）=etln‖u0‖2H10.因此，對t≥0有‖u（·，t）‖H10≤e12et·‖u0‖H10，上式表明u（x，t）不會在有限時間內爆破.另外，由（7）得

M″（t）=-2I（u）=-4J（u）+‖u‖2H10

=4∫t0‖u‖2H10dτ+M′（t）-4J（u0）.

并且∫t0（

?SymbolQC@ uτ，

?SymbolQC@ u）dτ2=12∫t0（‖

?SymbolQC@ u‖2）′τdτ2

=14（‖

?SymbolQC@ u‖4-2‖

?SymbolQC@ u0‖2‖

?SymbolQC@ u‖2+‖

?SymbolQC@ u0‖4）

=14（（M′（t））2-2‖

?SymbolQC@ u0‖2M′（t）+‖

?SymbolQC@ u0‖4），

M（t）M″（t）-（M′（t））2

=∫t0‖u‖2H10dτ4∫t0‖u‖2H10dτ+M′（t）-4J（u0）

-4∫t0（

?SymbolQC@ uτ，

?SymbolQC@ u）dτ2-2‖

?SymbolQC@ u0‖2M′（t）+‖

?SymbolQC@ u0‖4

≥4∫t0‖

?SymbolQC@ u‖2dτ2-∫t0（

?SymbolQC@ uτ，

?SymbolQC@ u）dτ2

+M（t）M′（t）-2‖

?SymbolQC@ u0‖2M′（t）-4J（u0）M（t）

+‖

?SymbolQC@ u0‖4.

對上式，由赫爾德不等式可得M（t）M″（t）-（M′（t））2≥M（t）M′（t）-2‖u0‖2M′（t）-4J（u0）M（t）.（8）

由（8）式可得

M（t）M″（t）-（M′（t））2

≥12M（t）-2‖u0‖2M′（t）+12M′（t）-4J（u0）M（t）

>0.

對充分大的時間t，若J（u0）

有M（t）M″（t）-（M′（t））2>0.觀察到

（lnM（t））′=M′（t）M（t）>0，

（lnM（t））″=[M（t）M″（t）-（M′（t））2]M2（t）>0.

因此，lnM（t）和（lnM（t））′都是關于t≥0的增函數，從而成立如下不等式：

（lnM（t））′=（lnM（t0））′+∫t0[M（τ）M″（τ）-（M′（τ））2]M2（τ）dτ，

lnM（t）-lnM（t0）=∫t0（lnM（τ））′dτ≥M′（t）M（t0）（t-t0）.（9）

由（9）可得當t≥t0≥0時，有

M（t）≥M（t0）exp[M′（t）（t-t0）]M（t0），

因為M（0）=0，M′（0）>0，因此，我們可以取充分小的t0使得M′（t0）>2M（t0）>0.從而，對充分大的t，可得

‖u（·，t）‖2H10=M′（t）≥[M′（t0）M（t）]M（t0）

≥M′（t0）exp[M′（t0）（t-t0）]M（t0）≥Ce2t.（10）

故對充分大的時間t，由（8）和（10）可得

Cet≤‖u（·，t）‖H10≤‖u0‖H10e12et.（11）

（11）表明問題（1）的弱解u=u（x，t）在t=+∞處爆破.證畢.

【參考文獻】

[1]Sattinger D H.On global solution of nonlinear hyperbolic equations[J].Arch.Rat.Mech.Anal.，1968（30）：148-172.

[2]鄭曉陽，劉亞成.一類半線性熱方程整體解的非存在性[J].哈爾濱工程大學學報，1998（3）：90-92.